登录
(1) 在算式 $7×9 = 63$ 中，7 和 9 是 63 的()，63 是 7 和 9 的()。
答案
7 和 9 是 63 的(因数)，63 是 7 和 9 的(倍数)。
解析
【分析】
首先回忆因数和倍数的定义：当整数a×整数b=整数c（a、b、c均不为0）时，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。观察题目中的算式7×9=63，7、9、63都是非零整数，完全符合这个定义，因此可以根据定义直接判断填空。
【解析】
根据因数和倍数的定义：在非零整数乘法运算中，相乘的两个数是积的因数，积是相乘两个数的倍数。
在算式7×9=63中，7和9是相乘的两个非零整数，63是它们的积，所以7和9是63的因数，63是7和9的倍数。
【答案】
因数；倍数
【知识点】
因数与倍数的定义
【点评】
本题考查因数和倍数的基础概念，重点在于理解因数和倍数的相互依存关系，不能孤立地说某个数是因数或倍数，必须明确谁是谁的因数、谁是谁的倍数，属于基础必掌握的知识点。
【难度系数】
0.9
首先回忆因数和倍数的定义：当整数a×整数b=整数c（a、b、c均不为0）时，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。观察题目中的算式7×9=63，7、9、63都是非零整数，完全符合这个定义，因此可以根据定义直接判断填空。
【解析】
根据因数和倍数的定义：在非零整数乘法运算中，相乘的两个数是积的因数，积是相乘两个数的倍数。
在算式7×9=63中，7和9是相乘的两个非零整数，63是它们的积，所以7和9是63的因数，63是7和9的倍数。
【答案】
因数；倍数
【知识点】
因数与倍数的定义
【点评】
本题考查因数和倍数的基础概念，重点在于理解因数和倍数的相互依存关系，不能孤立地说某个数是因数或倍数，必须明确谁是谁的因数、谁是谁的倍数，属于基础必掌握的知识点。
【难度系数】
0.9
(2) 先从下列数中选出三个数组成除法算式，再填一填。
1236 6 18 3 2 除法算式：。
()是()的因数，()是()的倍数。
1236 6 18 3 2 除法算式：。
()是()的因数，()是()的倍数。
答案
除法算式：18÷3=6
3是18的因数，18是3的倍数。
（或除法算式：18÷6=3
6是18的因数，18是6的倍数。
或除法算式：12÷2=6
2是12的因数，12是2的倍数等，任选其一即可）
3是18的因数，18是3的倍数。
（或除法算式：18÷6=3
6是18的因数，18是6的倍数。
或除法算式：12÷2=6
2是12的因数，12是2的倍数等，任选其一即可）
解析
【分析】
首先回忆因数和倍数的定义：在整数除法中，若商是整数且没有余数，那么除数和商是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。接下来从给定的数中筛选出存在整除关系的三个数，比如18、3、6，18除以3的商是整数6且无余数，符合整除要求；也可选择12、2、6，12除以2商6无余数。确定三个数后写出除法算式，再依据定义判断因数和倍数即可。
【解析】
1. 从给定数中选取存在整除关系的三个数，例如18、3、6；
2. 组成除法算式：$\boldsymbol{18÷3=6}$；
3. 根据因数和倍数的定义，在该算式中，3是18的因数，18是3的倍数。
（也可选取18、6、3，组成算式$18÷6=3$，则6是18的因数，18是6的倍数；或选取12、2、6，组成算式$12÷2=6$，则2是12的因数，12是2的倍数，任选其一即可）
【答案】
除法算式：$\boldsymbol{18÷3=6}$
$\boldsymbol{3}$是$\boldsymbol{18}$的因数，$\boldsymbol{18}$是$\boldsymbol{3}$的倍数。
（或除法算式：$18÷6=3$，6是18的因数，18是6的倍数；或除法算式：$12÷2=6$，2是12的因数，12是2的倍数等，任选其一即可）
【知识点】
因数与倍数的概念、整除的除法运算
【点评】
本题考查因数和倍数概念的理解与应用，解题关键是先找出能组成整除除法算式的三个数，再依据概念判断因数和倍数，答案不唯一，只要符合整数除法且无余数的关系即可，属于基础巩固题型。
【难度系数】
0.9
首先回忆因数和倍数的定义：在整数除法中，若商是整数且没有余数，那么除数和商是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。接下来从给定的数中筛选出存在整除关系的三个数，比如18、3、6，18除以3的商是整数6且无余数，符合整除要求；也可选择12、2、6，12除以2商6无余数。确定三个数后写出除法算式，再依据定义判断因数和倍数即可。
【解析】
1. 从给定数中选取存在整除关系的三个数，例如18、3、6；
2. 组成除法算式：$\boldsymbol{18÷3=6}$；
3. 根据因数和倍数的定义，在该算式中，3是18的因数，18是3的倍数。
（也可选取18、6、3，组成算式$18÷6=3$，则6是18的因数，18是6的倍数；或选取12、2、6，组成算式$12÷2=6$，则2是12的因数，12是2的倍数，任选其一即可）
【答案】
除法算式：$\boldsymbol{18÷3=6}$
$\boldsymbol{3}$是$\boldsymbol{18}$的因数，$\boldsymbol{18}$是$\boldsymbol{3}$的倍数。
（或除法算式：$18÷6=3$，6是18的因数，18是6的倍数；或除法算式：$12÷2=6$，2是12的因数，12是2的倍数等，任选其一即可）
【知识点】
因数与倍数的概念、整除的除法运算
【点评】
本题考查因数和倍数概念的理解与应用，解题关键是先找出能组成整除除法算式的三个数，再依据概念判断因数和倍数，答案不唯一，只要符合整数除法且无余数的关系即可，属于基础巩固题型。
【难度系数】
0.9
(3) 在 2，5，7，8，10，14，16，20，35，40，49，56 中。
40的因数：；5 的倍数：。
40的因数：；5 的倍数：。
答案
40的因数：2，5，8，10，20，40
5的倍数：5，10，20，35，40
5的倍数：5，10，20，35，40
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确因数和倍数的概念：
1. 找40的因数：若一个数能整除40（即40除以这个数的商是整数且没有余数），这个数就是40的因数。我们可以依次用40除以题目给出的每个数，判断是否能整除。
2. 找5的倍数：若一个数能被5整除（即这个数除以5的商是整数且没有余数），这个数就是5的倍数，也可以根据5的倍数特征（个位是0或5的整数）快速筛选，再验证。
【解析】
1. 找40的因数：
40÷2=20，商是整数且无余数，所以2是40的因数；
40÷5=8，商是整数且无余数，所以5是40的因数；
40÷7≈5.71，有余数，7不是40的因数；
40÷8=5，商是整数且无余数，所以8是40的因数；
40÷10=4，商是整数且无余数，所以10是40的因数；
40÷14≈2.86，有余数，14不是40的因数；
40÷16=2.5，商不是整数，16不是40的因数；
40÷20=2，商是整数且无余数，所以20是40的因数；
40÷35≈1.14，有余数，35不是40的因数；
40÷40=1，商是整数且无余数，所以40是40的因数；
40÷49≈0.82，有余数，49不是40的因数；
40÷56≈0.71，有余数，56不是40的因数；
因此40的因数为：2，5，8，10，20，40。
2. 找5的倍数：
根据5的倍数特征（个位为0或5），从给出的数中筛选出5，10，20，35，40，验证：
5÷5=1，10÷5=2，20÷5=4，35÷5=7，40÷5=8，均为整数且无余数，所以这些数是5的倍数。
【答案】
40的因数：2，5，8，10，20，40；5的倍数：5，10，20，35，40
【知识点】
因数的概念、倍数的概念
【点评】
本题考查因数和倍数的基本概念及判定方法，解题时需准确理解概念，通过除法运算或倍数特征进行判断，注意不要遗漏符合条件的数，也不要误判不符合的数，属于基础题型，有助于巩固数论的基础知识。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确因数和倍数的概念：
1. 找40的因数：若一个数能整除40（即40除以这个数的商是整数且没有余数），这个数就是40的因数。我们可以依次用40除以题目给出的每个数，判断是否能整除。
2. 找5的倍数：若一个数能被5整除（即这个数除以5的商是整数且没有余数），这个数就是5的倍数，也可以根据5的倍数特征（个位是0或5的整数）快速筛选，再验证。
【解析】
1. 找40的因数：
40÷2=20，商是整数且无余数，所以2是40的因数；
40÷5=8，商是整数且无余数，所以5是40的因数；
40÷7≈5.71，有余数，7不是40的因数；
40÷8=5，商是整数且无余数，所以8是40的因数；
40÷10=4，商是整数且无余数，所以10是40的因数；
40÷14≈2.86，有余数，14不是40的因数；
40÷16=2.5，商不是整数，16不是40的因数；
40÷20=2，商是整数且无余数，所以20是40的因数；
40÷35≈1.14，有余数，35不是40的因数；
40÷40=1，商是整数且无余数，所以40是40的因数；
40÷49≈0.82，有余数，49不是40的因数；
40÷56≈0.71，有余数，56不是40的因数；
因此40的因数为：2，5，8，10，20，40。
2. 找5的倍数：
根据5的倍数特征（个位为0或5），从给出的数中筛选出5，10，20，35，40，验证：
5÷5=1，10÷5=2，20÷5=4，35÷5=7，40÷5=8，均为整数且无余数，所以这些数是5的倍数。
【答案】
40的因数：2，5，8，10，20，40；5的倍数：5，10，20，35，40
【知识点】
因数的概念、倍数的概念
【点评】
本题考查因数和倍数的基本概念及判定方法，解题时需准确理解概念，通过除法运算或倍数特征进行判断，注意不要遗漏符合条件的数，也不要误判不符合的数，属于基础题型，有助于巩固数论的基础知识。
【难度系数】
0.8
(1) 下列说法中，正确的是()。
A.因为 $12.5×8 = 100$，所以 12.5 和 8 是 100 的因数。100 是 8 的倍数，100 也是 12.5 的倍数
B.因为 $45÷5 = 9$，所以 45 是倍数，5 是因数
C.因为 $29÷4 = 7······1$，所以 29 不是 7 的倍数，也不是 4 的倍数
A.因为 $12.5×8 = 100$，所以 12.5 和 8 是 100 的因数。100 是 8 的倍数，100 也是 12.5 的倍数
B.因为 $45÷5 = 9$，所以 45 是倍数，5 是因数
C.因为 $29÷4 = 7······1$，所以 29 不是 7 的倍数，也不是 4 的倍数
答案
C
解析
根据因数和倍数的定义，因数和倍数是在非0整数的整除关系中讨论的，且二者相互依存。
A选项：12.5是小数，不符合因数和倍数的研究范围（非0整数），说法错误；
B选项：因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说“45是倍数，5是因数”，说法错误；
C选项：29÷4和29÷7都有余数，不属于整除关系，所以29不是7和4的倍数，说法正确。
A选项：12.5是小数，不符合因数和倍数的研究范围（非0整数），说法错误；
B选项：因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说“45是倍数，5是因数”，说法错误；
C选项：29÷4和29÷7都有余数，不属于整除关系，所以29不是7和4的倍数，说法正确。
(2) $a$，$b$，$c$ 为不同的非零自然数，如果 $a$ 是 $b$ 的倍数，$c$ 是 $b$ 的因数，那么 $a$ 和 $c$ 的关系是()。
A.$a$ 是 $c$ 的倍数
B.$a$ 是 $c$ 的因数
C.$a$ 是倍数，$c$ 是因数
A.$a$ 是 $c$ 的倍数
B.$a$ 是 $c$ 的因数
C.$a$ 是倍数，$c$ 是因数
答案
A
解析
根据因数和倍数的意义：
1. 因为a是b的倍数，所以存在非零自然数k，使得$a = b×k$；
2. 因为c是b的因数，所以存在非零自然数m，使得$b = c×m$；
3. 将$b = c×m$代入$a = b×k$，可得$a = c×(m×k)$，其中$m×k$是非零自然数，因此a是c的倍数。
同时，因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是倍数或因数，故C选项表述错误。
1. 因为a是b的倍数，所以存在非零自然数k，使得$a = b×k$；
2. 因为c是b的因数，所以存在非零自然数m，使得$b = c×m$；
3. 将$b = c×m$代入$a = b×k$，可得$a = c×(m×k)$，其中$m×k$是非零自然数，因此a是c的倍数。
同时，因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是倍数或因数，故C选项表述错误。
3. 小马过河。(圈一圈)
答案
16÷4=4
24÷4=6
48÷4=12
4÷4=1
52÷4=13
36÷4=9
40÷4=10
答：圈出的数是16、24、48、4、52、36、40。
24÷4=6
48÷4=12
4÷4=1
52÷4=13
36÷4=9
40÷4=10
答：圈出的数是16、24、48、4、52、36、40。
解析
【分析】
这道题的任务是找出所有4的倍数，让小马沿着这些数过河。解题的核心思路是：判断一个数是否是4的倍数，就用这个数除以4，如果计算结果是整数且没有余数，那么这个数就是4的倍数。我们需要逐个对图中的数进行这样的判断，筛选出符合条件的数。首先明确判断方法：对每个数执行“数÷4”的运算，观察商是否为整数且无余数；再依次对图中的所有数进行判断，挑出符合条件的数。
【解析】
我们逐个对图中的数进行判断：
1. $16÷4=4$，商是整数且无余数，所以16是4的倍数；
2. $18÷4=4.5$，商不是整数，所以18不是4的倍数；
3. $22÷4=5.5$，商不是整数，所以22不是4的倍数；
4. $24÷4=6$，商是整数且无余数，所以24是4的倍数；
5. $48÷4=12$，商是整数且无余数，所以48是4的倍数；
6. $31÷4=7.75$，商不是整数，所以31不是4的倍数；
7. $4÷4=1$，商是整数且无余数，所以4是4的倍数；
8. $9÷4=2.25$，商不是整数，所以9不是4的倍数；
9. $52÷4=13$，商是整数且无余数，所以52是4的倍数；
10. $36÷4=9$，商是整数且无余数，所以36是4的倍数；
11. $40÷4=10$，商是整数且无余数，所以40是4的倍数。
【答案】
圈出的数是：16、24、48、4、52、36、40
【知识点】
4的倍数判断、整数整除、倍数的概念
【点评】
本题主要考查学生对4的倍数的判断能力，需要结合整数除法运算筛选符合条件的数，注重基础概念的应用，能帮助学生巩固倍数与整除的相关知识。
【难度系数】
0.9
这道题的任务是找出所有4的倍数，让小马沿着这些数过河。解题的核心思路是：判断一个数是否是4的倍数，就用这个数除以4，如果计算结果是整数且没有余数，那么这个数就是4的倍数。我们需要逐个对图中的数进行这样的判断，筛选出符合条件的数。首先明确判断方法：对每个数执行“数÷4”的运算，观察商是否为整数且无余数；再依次对图中的所有数进行判断，挑出符合条件的数。
【解析】
我们逐个对图中的数进行判断：
1. $16÷4=4$，商是整数且无余数，所以16是4的倍数；
2. $18÷4=4.5$，商不是整数，所以18不是4的倍数；
3. $22÷4=5.5$，商不是整数，所以22不是4的倍数；
4. $24÷4=6$，商是整数且无余数，所以24是4的倍数；
5. $48÷4=12$，商是整数且无余数，所以48是4的倍数；
6. $31÷4=7.75$，商不是整数，所以31不是4的倍数；
7. $4÷4=1$，商是整数且无余数，所以4是4的倍数；
8. $9÷4=2.25$，商不是整数，所以9不是4的倍数；
9. $52÷4=13$，商是整数且无余数，所以52是4的倍数；
10. $36÷4=9$，商是整数且无余数，所以36是4的倍数；
11. $40÷4=10$，商是整数且无余数，所以40是4的倍数。
【答案】
圈出的数是：16、24、48、4、52、36、40
【知识点】
4的倍数判断、整数整除、倍数的概念
【点评】
本题主要考查学生对4的倍数的判断能力，需要结合整数除法运算筛选符合条件的数，注重基础概念的应用，能帮助学生巩固倍数与整除的相关知识。
【难度系数】
0.9
4. 情境创设 临近清明，小雁和妈妈一起制作了 48 个软糯可口的青团。如果将这些青团装在盒子里，且每个盒子装得同样多，每盒的数量不少于 4 个但又不多于 10 个，那么有几种装法？每种装法各需要多少个盒子？
答案
48÷4=12（个）
48÷6=8（个）
48÷8=6（个）
答：有3种装法。每盒装4个时需要12个盒子，每盒装6个时需要8个盒子，每盒装8个时需要6个盒子。
48÷6=8（个）
48÷8=6（个）
答：有3种装法。每盒装4个时需要12个盒子，每盒装6个时需要8个盒子，每盒装8个时需要6个盒子。
解析
【分析】
首先，题目要求将48个青团平均分装在盒子里，每盒数量相同，说明每盒的数量必须是48的因数（因为只有能整除48才能实现平均分）。同时每盒数量要满足不少于4个且不多于10个，所以我们需要先找出48在4到10之间的因数，再用青团总数除以每盒数量得到对应的盒子数量，最后统计符合条件的装法种类。
【解析】
1. 找出48的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
2. 筛选出满足“不少于4个且不多于10个”的因数：4、6、8。
3. 分别计算每种装法所需盒子数：
当每盒装4个时，盒子数为：$48÷4=12$（个）
当每盒装6个时，盒子数为：$48÷6=8$（个）
当每盒装8个时，盒子数为：$48÷8=6$（个）
4. 统计装法种类：共有3种装法。
【答案】
有3种装法。每盒装4个时需要12个盒子，每盒装6个时需要8个盒子，每盒装8个时需要6个盒子。
【知识点】
因数的应用、除法的实际应用
【点评】
本题考查因数概念在实际问题中的应用，需要学生先明确平均分的本质是找总数的因数，再结合题目限定条件筛选出符合要求的因数，最后通过除法计算对应盒子数量，锻炼了学生分析问题和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先，题目要求将48个青团平均分装在盒子里，每盒数量相同，说明每盒的数量必须是48的因数（因为只有能整除48才能实现平均分）。同时每盒数量要满足不少于4个且不多于10个，所以我们需要先找出48在4到10之间的因数，再用青团总数除以每盒数量得到对应的盒子数量，最后统计符合条件的装法种类。
【解析】
1. 找出48的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
2. 筛选出满足“不少于4个且不多于10个”的因数：4、6、8。
3. 分别计算每种装法所需盒子数：
当每盒装4个时，盒子数为：$48÷4=12$（个）
当每盒装6个时，盒子数为：$48÷6=8$（个）
当每盒装8个时，盒子数为：$48÷8=6$（个）
4. 统计装法种类：共有3种装法。
【答案】
有3种装法。每盒装4个时需要12个盒子，每盒装6个时需要8个盒子，每盒装8个时需要6个盒子。
【知识点】
因数的应用、除法的实际应用
【点评】
本题考查因数概念在实际问题中的应用，需要学生先明确平均分的本质是找总数的因数，再结合题目限定条件筛选出符合要求的因数，最后通过除法计算对应盒子数量，锻炼了学生分析问题和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
