1. (2023·宿迁模拟)如图①,在矩形 $ABCD$ 中, $AD = nAB$,点 $M$、$P$ 分别在边 $AB$、$AD$ 上(均不与端点重合),且 $AP = nAM$,以 $AP$ 和 $AM$ 为邻边作矩形 $AMNP$,连接 $AN$、$CN$.
【问题发现】
(1)如图②,当 $n = 1$ 时,$BM$ 与 $PD$ 的数量关系为____, $CN$ 与 $PD$ 的数量关系为____.
【类比探究】
(2)如图③,当 $n = 3$ 时,矩形 $AMNP$ 绕点 $A$ 顺时针旋转,连接 $PD$,则 $CN$ 与 $PD$ 之间的数量关系是否发生变化? 若不变,请就图③给出证明;若变化,请写出数量关系,并就图③说明理由.
【拓展延伸】
(3)在(2)的条件下,已知 $AD = 6$,$AP = 3$,当矩形 $AMNP$ 旋转至 $C$、$N$、$M$ 三点共线时,请直接写出线段 $CN$ 的长.
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2. (2023·南京校级模拟)【初步感知】
如图①,在正方形 $ABCD$ 中,$AD = 6$,点 $P$ 是对角线 $BD$ 上任意一点(不与 $B$、$D$ 重合),点 $O$ 是 $BD$ 的中点,连接 $PC$,过点 $P$ 作 $PE\perp PC$ 交直线 $AB$ 于点 $E$.
当点 $P$ 与点 $O$ 重合时,比较:$PC$____$PE$(选填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).
【再次感知】
如图①,当点 $P$ 在线段 $OD$ 上时,如何判断 $PC$ 和 $PE$ 的数量关系呢?
甲同学通过点 $P$ 分别向 $AB$ 和 $BC$ 作垂线,构造全等三角形,证明出 $PC = PE$;
乙同学通过连接 $PA$,证明出 $PA = PC$,$\angle PAE= \angle PEA$,从而证明出 $PC = PE$.
【联想感悟】
如图②,当点 $P$ 落在线段 $OB$ 上时,判断 $PC$ 和 $PE$ 的数量关系,并说明理由.
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【拓展应用】
如图③,连接 $AP$,并延长 $AP$ 交直线 $CD$ 于点 $F$.
(1)若 $\frac{DF}{CF}= \frac{1}{2}$,求 $AE$ 的长;
(2)若 $\triangle APE$ 的面积是 $\frac{216}{25}$,则 $DF$ 的长为____;
(3)直接写出 $\triangle APE$ 面积 $S$ 的取值范围:____.
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