3. (2023·连云港校级模拟)“关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有很多……
【问题提出】
(1)如图①,$PC$ 是 $\triangle PAB$ 的角平分线,求证: $\frac{PA}{PB}= \frac{AC}{BC}$.
小明思路:关联“平行线、等腰三角形”,过点 $B$ 作 $BD// PA$,交 $PC$ 的延长线于点 $D$,利用“三角形相似”.
小红思路:关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”,过点 $C$ 分别作 $CD\perp PA$ 交 $PA$ 于点 $D$,作 $CE\perp PB$ 交 $PB$ 于点 $E$,利用“等面积法”.
请根据小明或小红的思路,选择一种并完成证明.
【理解应用】
(2)如图②,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$D$ 是边 $BC$ 上一点.连接 $AD$,将 $\triangle ACD$ 沿 $AD$ 所在直线折叠,使点 $C$ 恰好落在边 $AB$ 上的点 $E$ 处,若 $AC = 1$,$AB = 2$,则 $DE$ 的长为____.
【深度思考】
(3)如图③,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 6$,$AC = 4$,$AD$ 为 $\angle BAC$ 的平分线.$AD$ 的垂直平分线 $EF$ 交 $BC$ 延长线于点 $F$,连接 $AF$,当 $BD = 3$ 时,$AF$ 的长为____.
【拓展升华】
(4)如图④,$PC$ 是 $\triangle PAB$ 的角平分线,若 $AC = 3$,$BC = 1$,则 $\triangle PAB$ 的面积最大值是____.
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