1. 已知点 $ P $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点,且 $ AP ＞ BP $,则下列比例式能成立的是()
A. $ \frac{AB}{AP} = \frac{BP}{AB} $
B. $ \frac{BP}{AP} = \frac{AB}{BP} $
C. $ \frac{AP}{AB} = \frac{BP}{AP} $
D. $ \frac{AB}{AP} = \frac{BP}{PA} $
A. $ \frac{AB}{AP} = \frac{BP}{AB} $
B. $ \frac{BP}{AP} = \frac{AB}{BP} $
C. $ \frac{AP}{AB} = \frac{BP}{AP} $
D. $ \frac{AB}{AP} = \frac{BP}{PA} $
答案
2. “黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣,巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合,创作出神奇的“叶脉苗绣”作品。实际上,很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例,在大自然中呈现出优美的样子。如图,点 $ P $ 大致是 $ AB $ 的黄金分割点 $ (AP ＞ PB) $,如果 $ AP $ 的长为 $ 4 \text{ cm} $,那么 $ AB $ 的长约为()
A. $ (2\sqrt{5} + 2) \text{ cm} $
B. $ (2\sqrt{5} - 2) \text{ cm} $
C. $ (2\sqrt{5} + 1) \text{ cm} $
D. $ (2\sqrt{5} - 1) \text{ cm} $
![img alt=第2题]
A. $ (2\sqrt{5} + 2) \text{ cm} $
B. $ (2\sqrt{5} - 2) \text{ cm} $
C. $ (2\sqrt{5} + 1) \text{ cm} $
D. $ (2\sqrt{5} - 1) \text{ cm} $
![img alt=第2题]
答案
3. (2023·滕州期中)已知线段 $ AB $ 的长为 $ 2 $,点 $ P $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点,那么线段 $ AP $ 的长等于______(结果保留根号)。
答案
4. (2023·宁波鄞州区期末)如图,折线段 $ AOB $ 将面积为 $ S $ 的 $ \odot O $ 分成两个扇形,大扇形、小扇形的面积分别为 $ S_1 $、$ S_2 $,若 $ \frac{S_1}{S} = \frac{S_2}{S_1} = 0.618 $,则称分成的小扇形为“黄金扇形”,生活中的折扇大致是“黄金扇形”,则“黄金扇形”的圆心角约为______$ ^\circ $(结果保留 $ 1 $ 位小数)。
![img alt=第4题]
![img alt=第4题]
答案
5. 如图,以长为 $ 2 $ 的线段 $ AB $ 为边作正方形 $ ABCD $,取 $ AB $ 的中点 $ P $,连接 $ PD $,在 $ BA $ 的延长线上取点 $ F $,使 $ PF = PD $,以 $ AF $ 为边作正方形 $ AMEF $,点 $ M $ 在 $ AD $ 上。
(1)求 $ AM $、$ DM $ 的长；
(2)求证：$ AM^2 = AD \cdot DM $；
(3)根据(2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
(1)求 $ AM $、$ DM $ 的长；
(2)求证：$ AM^2 = AD \cdot DM $；
(3)根据(2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
答案
6. (2023·绵阳中考)黄金分割由于其美学性质,受到摄影爱好者和艺术家的喜爱,摄影中有一种拍摄手法叫黄
金构图法。其原理是如图,将正方形 $ ABCD $ 的底边 $ BC $ 取中点 $ E $,以 $ E $ 为圆心,线段 $ DE $ 为半径作圆,其与底边 $ BC $ 的延长线交于点 $ F $,这样就把正方形 $ ABCD $ 延伸为矩形 $ ABFG $,称其为黄金矩形。若 $ CF = 4a $,则 $ AB = $()
A. $ (\sqrt{5} - 1)a $
B. $ (2\sqrt{5} - 2)a $
C. $ (\sqrt{5} + 1)a $
D. $ (2\sqrt{5} + 2)a $
金构图法。其原理是如图,将正方形 $ ABCD $ 的底边 $ BC $ 取中点 $ E $,以 $ E $ 为圆心,线段 $ DE $ 为半径作圆,其与底边 $ BC $ 的延长线交于点 $ F $,这样就把正方形 $ ABCD $ 延伸为矩形 $ ABFG $,称其为黄金矩形。若 $ CF = 4a $,则 $ AB = $()A. $ (\sqrt{5} - 1)a $
B. $ (2\sqrt{5} - 2)a $
C. $ (\sqrt{5} + 1)a $
D. $ (2\sqrt{5} + 2)a $
答案
7. 已知线段 $ AB $,点 $ P $ 是它的黄金分割点,$ AP ＞ BP $,设以 $ AP $ 为边的等边三角形的面积为 $ S_1 $,以 $ PB $、$ AB $ 为直角边的直角三角形的面积为 $ S_2 $,则 $ S_1 $ 与 $ S_2 $ 的关系是()
A. $ S_1 ＞ S_2 $
B. $ S_1 ＜ S_2 $
C. $ S_1 = S_2 $
D. $ S_1 \geq S_2 $
A. $ S_1 ＞ S_2 $
B. $ S_1 ＜ S_2 $
C. $ S_1 = S_2 $
D. $ S_1 \geq S_2 $
答案
