8. (2023·达州中考)如图,乐器上的一根弦 $ AB = 80 \text{ cm} $,两个端点 $ A $、$ B $ 固定在乐器面板上,支撑点 $ C $ 是靠近点 $ B $ 的黄金分割点,支撑点 $ D $ 是靠近点 $ A $ 的黄金分割点,则支撑点 $ C $、$ D $ 之间的距离为______$ \text{cm} $(结果保留根号)。
答案
9. 新题型 新定义(2024·上海期末)新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数(黄金
数),那么称这个等腰三角形为“精准三角形”。如图,$ \triangle ABC $ 是“精准三角形”,$ AB = AC = 2 $,$ CD \perp AB $,垂足为点 $ D $,那么 $ BD $ 的长度为______。
数),那么称这个等腰三角形为“精准三角形”。如图,$ \triangle ABC $ 是“精准三角形”,$ AB = AC = 2 $,$ CD \perp AB $,垂足为点 $ D $,那么 $ BD $ 的长度为______。答案
10. 新趋势 尺规作图(2023·连云港月考)
(1)在图①中按下列步骤作图：
第一步：过点 $ C $ 画 $ CD \perp AC $,使 $ CD = \frac{1}{2}AC $；
第二步：连接 $ AD $,以点 $ D $ 为圆心,$ DC $ 的长为半径画弧,交 $ AD $ 于点 $ E $；
第三步：以点 $ A $ 为圆心,$ AE $ 的长为半径画弧,交 $ AC $ 于点 $ B $。
(2)在所画图中,点 $ B $ 是线段 $ AC $ 的黄金分割点吗？为什么？
(3)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比,那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形。请你在图②中以线段 $ AB $ 为腰,用直尺和圆规,作一个黄金三角形 $ ABC $。(不写作法,保留作图痕迹)
![img alt=图①]
![img alt=图②]
(1)在图①中按下列步骤作图：
第一步：过点 $ C $ 画 $ CD \perp AC $,使 $ CD = \frac{1}{2}AC $；
第二步：连接 $ AD $,以点 $ D $ 为圆心,$ DC $ 的长为半径画弧,交 $ AD $ 于点 $ E $；
第三步：以点 $ A $ 为圆心,$ AE $ 的长为半径画弧,交 $ AC $ 于点 $ B $。
(2)在所画图中,点 $ B $ 是线段 $ AC $ 的黄金分割点吗？为什么？
(3)如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比,那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形。请你在图②中以线段 $ AB $ 为腰,用直尺和圆规,作一个黄金三角形 $ ABC $。(不写作法,保留作图痕迹)![img alt=图①]
![img alt=图②]
答案
11. 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,点 $ C $ 在 $ \odot O $ 上,$ \angle BOC = 108^\circ $,过点 $ C $ 作直线 $ CD $ 分别交直线 $ AB $ 和 $ \odot O $ 于点 $ D $、$ E $,连接 $ OE $,$ DE = \frac{1}{2}AB $,$ OD = 2 $。
(1)求 $ \angle CDB $ 的度数。
(2)我们把有一个内角等于 $ 36^\circ $ 的等腰三角形称为黄金三角形。它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金分割比 $ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $。
①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由。
②求弦 $ CE $ 的长。
③在直线 $ AB $ 或 $ CD $ 上是否存在点 $ P $(点 $ C $、$ D $ 除外),使 $ \triangle POE $ 是黄金三角形？若存在,画出点 $ P $,简要说明画出点 $ P $ 的方法(不要求证明)；若不存在,说明理由。
![img alt=第11题]
(1)求 $ \angle CDB $ 的度数。
(2)我们把有一个内角等于 $ 36^\circ $ 的等腰三角形称为黄金三角形。它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金分割比 $ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $。
①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由。
②求弦 $ CE $ 的长。
③在直线 $ AB $ 或 $ CD $ 上是否存在点 $ P $(点 $ C $、$ D $ 除外),使 $ \triangle POE $ 是黄金三角形？若存在,画出点 $ P $,简要说明画出点 $ P $ 的方法(不要求证明)；若不存在,说明理由。
![img alt=第11题]
答案
