典例1（2023·镇江）若$x = 1$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx - 6 = 0$的一个根，则$m =$_______.

5.

[变式1]（2024·扬州江都模拟）若关于$x$的一元二次方程$(k - 1)x^{2}+x - k^{2}= 0$的一个根为1，则$k$的值为_______.

0.

[变式2]（2024·宿迁三模）若关于$x$的一元二次方程$mx^{2}+nx - 2023 = 0(m\neq0)$的一个解是$x = 1$，则$m + n + 1$的值为_______.

2024.

典例2 解方程：
（1）（2024·无锡梁溪二模）$x^{2}-3x + 1 = 0$；
（2）（2024·宿迁宿城模拟）$(2y - 5)^{2}= 4(3y - 1)^{2}$.

(1) $x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$. (2) $y_1 = \frac{7}{8}, y_2 = -\frac{3}{4}$.

典例3（2023·连云港）若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x + a = 0$有两个不相等的实数根，则$a$的取值范围是___________.

$a ＜ 1$.

[变式]（2024·扬州邗江模拟）若关于$x$的一元二次方程$kx^{2}+x - 2 = 0$有两个实数根，则实数$k$的取值范围是___________.

$k \geq -\frac{1}{8}$且$k \neq 0$.

典例4（2024·扬州二模）若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+kx + 3 = 0(k\gt0)$有实数根，则此方程的根可能是 （ ）
A. $x_{1}=1,x_{2}=3$
B. $x_{1}=1,x_{2}=-3$
C. $x_{1}=-1,x_{2}=3$
D. $x_{1}=-1,x_{2}=-3$

D.

典例5（2024·淮安涟水模拟）已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(k + 1)x + k^{2}+2 = 0$有实数根.
（1）求$k$的取值范围；
（2）若方程的两个实数根分别为$\alpha,\beta$，且$(2\alpha + 1)(2\beta + 1)=21$，求$k$的值.

(1) ∵关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(k + 1)x + k^2 + 2 = 0$有实数根，∴$b^2 - 4ac = [-2(k + 1)]^2 - 4 \times 1 \times (k^2 + 2) \geq 0$，解得$k \geq \frac{1}{2}$. ∴$k$的取值范围是$k \geq \frac{1}{2}$. (2) ∵方程的两个实数根分别为$\alpha, \beta$，∴$\alpha + \beta = -\frac{-2(k + 1)}{1} = 2k + 2$，$\alpha\beta = \frac{k^2 + 2}{1} = k^2 + 2$. 又∵$(2\alpha + 1)(2\beta + 1) = 21$，∴$4\alpha\beta + 2(\alpha + \beta) + 1 = 21$，即$4(k^2 + 2) + 2(2k + 2) + 1 = 21$，解得$k = 1$或$k = -2$. 由(1)知，$k \geq \frac{1}{2}$，∴$k = 1$.