1 [2025 长春慧仁学校期末]如图，在△ABC 中，∠C = 90°，将△ABC 沿 DE 折叠，使点 B 落在边 AC 上的点 F 处，若∠CFD = 57°，且△AEF 为等腰三角形，则∠A 是度数为()


A.49°
B.52°
C.52°或 41°
D.49°或 38°

1 D 分三种情况:①当AE=AF时,∠AFE=∠AEF=$\frac{1}{2}$(180°−∠A),因为∠CFD=57°,所以∠AFD=123°,因为∠B=∠EFD=90°−∠A,∠AFD=∠AFE+∠EFD,所以$\frac{1}{2}$(180°−∠A)+90°−∠A=123°,所以∠A=38°;②当AF=EF时,∠AFE=180°−2∠A,因为∠CFD=57°,所以∠AFD=123°,因为∠B=∠EFD=90°−∠A,∠AFD=∠AFE+∠EFD,所以180°−2∠A+90°−∠A=123°,所以∠A=49°;③当AE=EF时,∠A=∠AFE,因为∠EFD=∠B,所以∠AFD=∠AFE+∠EFD=∠A+∠B=90°,所以∠AFD+∠CFD=147°≠180°,不符合题意。综上,∠A=38°或49°。

2 (1) 小明同学把三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠，如图 1 所示，当点 A 落在四边形 BCED 的内部时，经过多次折叠，他发现了 2∠A = ∠1 + ∠2，试说明其中的原因。
(2) 如果把三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠，如图 2 所示，当点 A 落在四边形 BCED 的外部时，∠A 与∠1，∠2 之间有一种数量关系也始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律和(1)中的一样吗？请说明理由。

2 解:(1)由题意可知∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED,所以∠ADA'=2∠ADE,∠AEA'=2∠AED。因为点A落在四边形BCED的内部A'处,所以∠1+∠2=180°−∠ADA'+180°−∠AEA'=360°−2(∠ADE+∠AED)=360°−2(180°−∠A)=2∠A,所以2∠A=∠1+∠2。
(2)当点A落在四边形BCED的外部时,寻找的规律是∠A=$\frac{1}{2}$(∠1−∠2),与(1)中的规律不一样。理由如下:如图,因为△A'DE是△ADE沿DE折叠得到的,所以∠A'=∠A,易得∠3=∠A'+∠2=∠A+∠2。因为∠ADA'=180°−∠1,∠A+∠ADA'+∠3=180°,所以∠A+180°−∠1+∠A+∠2=180°,整理,得2∠A=∠1−∠2,即∠A=$\frac{1}{2}$(∠1−∠2)。
　　　　　　　　　　　

3 如图，已知 P 为△ABC 的边 BC 的垂直平分线上一点，G 是 BC 的垂直平分线与 BC 的交点，且∠PBG = $\frac{1}{2}$∠A，BP，CP 的延长线分别交 AC，AB 于点 D，E。试说明：BE = CD。

3 解:如图,过点B作BF⊥CE交CE的延长线于点F,过点C作CM⊥BD于点M,则∠PFB=∠PMC=90°。
　　　　　　　　　　　
因为PG是BC的垂直平分线,所以PB=PC。在△PBF和△PCM中,$\{\begin{array}{l} ∠PFB=∠PMC,\\ ∠BPF=∠CPM,\\ PB=PC,\end{array} $所以△PBF≌△PCM(AAS),所以BF=CM。由PB=PC,易知∠PBC=∠PCB=$\frac{1}{2}$∠BPE。因为∠PBC=$\frac{1}{2}$∠A,所以∠A=∠BPE。易知∠BEF=∠PBE+∠BPE,∠CDM=∠A+∠PBE,所以∠BEF=∠CDM。在△BEF和△CDM中,$\{\begin{array}{l} ∠BEF=∠CDM,\\ ∠F=∠CMD,\\ BF=CM,\end{array} $所以△BEF≌△CDM(AAS),所以BE=CD。
名师点睛:通过构造全等三角形,把两条本无直接联系的线段转化为全等三角形的对应边,从而使问题顺利解决。