1[2024南宁期中]如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80°，AD⊥BC，AD = AB，连接BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠ADE的度数。

解:因为AB=AC,∠BAC=80°,AD⊥BC,
所以∠BAD=∠CAD= $\frac{1}{2}$∠BAC=40°。
因为AD=AB,
所以∠BDA= $\frac{1}{2}$×(180°-40°)=70°,
所以∠ADE=180°-∠BDA=180°-70°=110°。

2[2025咸阳期末]如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 80°，AD是△ABC的高线，边AB的垂直平分线EF分别交AB，AD于点E，F，连接BF，CF。
(1)若AF = 3，求CF的长度；
(2)求∠FCA的度数。

解:(1)因为AB=AC,AD是△ABC的高线,
所以DB=DC= $\frac{1}{2}$BC,
所以AD垂直平分BC,所以BF=CF,
又因为EF是边AB的垂直平分线,AF=3,
所以BF=AF,所以CF=AF=3。
(2)因为AB=AC,∠BAC=80°,AD是△ABC的高线,
所以∠FAC=∠FAB= $\frac{1}{2}$∠BAC=40°,
由(1)知CF=AF,所以∠FCA=∠FAC=40°。

3一题多解 如图，在等腰三角形ABC中，CH是底边AB上的高，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP并延长交BC于点E，连接BP并延长交AC于点F。
试说明：(1)∠CAE = ∠CBF；
(2)AE = BF。

解:(1)通解 因为△ABC是等腰三角形,CH是底边AB上的高,所以∠ACH=∠BCH。
在△ACP和△BCP中,$\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ ∠ACP=∠BCP,\\ CP=CP,\end{array} $
所以△ACP≌△BCP,所以∠CAE=∠CBF。
另解 因为△ABC是等腰三角形,CH是底边AB上的高,
所以∠CAB=∠CBA,AH=BH,
所以CH是AB的垂直平分线,
所以AP=BP,所以∠PAB=∠PBA,
所以∠CAB-∠PAB=∠CBA-∠PBA,
即∠CAE=∠CBF。
(2)由(1)知∠CAE=∠CBF,
在△AEC和△BFC中,$\{\begin{array}{l} ∠ACE=∠BCF,\\ AC=BC,\\ ∠CAE=∠CBF,\end{array} $
所以△AEC≌△BFC,所以AE=BF。
策略点拨
说明两条线段相等的方法
(1)若两条线段在两个三角形中,通过两个三角形全等说明; (2)若两条线段在同一个三角形中,可借助等腰三角形“三线合一”的性质说明。

4一题多解 如图，在△ABC中，AB = AC，CD⊥AB于点D。试说明：∠BAC = 2∠DCB。

解:通解 如图,过点A作AE⊥BC于点E,
则∠BAE+∠B=90°。
因为AB=AC,AE⊥BC,

所以AE平分∠BAC,
所以∠BAC=2∠BAE。
因为CD⊥AB,所以∠DCB+∠B=90°,
所以∠BAE=∠DCB,所以∠BAC=2∠DCB。
另解 因为CD⊥AB,
所以∠BDC=90°,所以∠B+∠DCB=90°,
所以∠DCB=90°-∠B。
因为AB=AC,所以∠B=∠ACB,
所以∠BAC=180°-2∠B=2(90°-∠B)=2∠DCB,
即∠BAC=2∠DCB。