1[2025 昆明三中期末]等腰三角形的周长为 13 cm，其中一边长为 5 cm，则该等腰三角形的底边长为()

A.3 cm
B.5 cm
C.3 cm 或 5 cm
D.4 cm 或 5 cm

1 C 当5cm是等腰三角形的底边长时，其腰长是$\frac{1}{2}×(13 - 5) = 4(cm)$，且$4 + 4 ＞ 5$，能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰长时，其底边长是$13 - 5×2 = 3(cm)$，且$5 + 3 ＞ 5$，能够组成三角形。综上，该等腰三角形的底边长为3cm或5cm。

2[2025 德阳五中月考]已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为 12 cm 和 15 cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长为。

2 7cm或11cm 如图,设$AD = x cm$，分两种情况：①当$2x + x = 12$时，解得$x = 4$，所以$AB = AC = 8 cm$，又因为三角形的周长为$12 + 15 = 27(cm)$，所以$BC = 11 cm$；②当$2x + x = 15$时，解得$x = 5$，所以$AB = AC = 10 cm$，又因为三角形的周长为$12 + 15 = 27(cm)$，所以$BC = 7 cm$。综上，这个等腰三角形的底边长为7cm或11cm。

3[2024 郴州期末]已知等腰三角形 ABC 中，∠A = 50°，则∠B 的度数为()

A.50°
B.65°
C.50°或 65°
D.50°或 65°或 80°

3 D 当$∠A$为顶角时，$∠B = \frac{180^{\circ} - ∠A}{2} = 65^{\circ}$；当$∠B$为顶角时，$∠B = 180^{\circ} - 2∠A = 80^{\circ}$；当$∠A$，$∠B$为底角时，$∠B = ∠A = 50^{\circ}$。

[变式[2025 平顶山期中]在等腰三角形 ABC 中，已知它的一个内角比另一个内角大 30°，则这个等腰三角形的底角度数是()

A.50°
B.80°
C.50°或 70°
D.80°或 40°

变式 C 在$△ ABC$中，设$∠A = x$，$∠B = x + 30^{\circ}$，分两种情况：①当$∠A$为底角时，可得$2x + (x + 30^{\circ}) = 180^{\circ}$，解得$x = 50^{\circ}$；②当$∠B$为底角时，可得$2(x + 30^{\circ}) + x = 180^{\circ}$，解得$x = 40^{\circ}$，所以$∠B = 70^{\circ}$。综上，这个等腰三角形的底角度数为$50^{\circ}$或$70^{\circ}$。

4 [2025 曲靖期中]已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1 : 4，则这个等腰三角形顶角的度数是()

A.20°或 120°
B.30°或 120°
C.20°或 100°
D.30°或 100°

4 A 由等腰三角形两内角的度数之比为$1:4$，可设两内角的度数分别为$x$，$4x$。当等腰三角形的顶角的度数为$x$时，$x + 4x + 4x = 180^{\circ}$，解得$x = 20^{\circ}$；当等腰三角形的顶角的度数为$4x$时，$4x + x + x = 180^{\circ}$，解得$x = 30^{\circ}$，所以$4x = 120^{\circ}$。所以这个等腰三角形的顶角度数为$20^{\circ}$或$120^{\circ}$。

5[2024 广州广雅中学期中]已知△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 40°，点 D 为直线 BC 上异于 B，C 的一点，若△ABD 是等腰三角形，则∠D 的度数为。

5 $40^{\circ}$或$55^{\circ}$或$35^{\circ}$ 因为$AB = AC$，$∠BAC = 40^{\circ}$，所以$∠ABC = 70^{\circ}$。①当$DA = BD$时，如图1，因为$∠BAD = ∠ABC = 70^{\circ}$，所以$∠D = 180^{\circ} - 70^{\circ}×2 = 40^{\circ}$；②当$BD = BA$时，如图2，$∠D = \frac{1}{2}×(180^{\circ} - 70^{\circ}) = 55^{\circ}$；③当$AB = BD$时，如图3，因为$∠ABC = 70^{\circ}$，所以$∠ABD = 110^{\circ}$，所以$∠D = \frac{1}{2}×(180^{\circ} - 110^{\circ}) = 35^{\circ}$。综上所述，$∠D$的度数为$40^{\circ}$或$55^{\circ}$或$35^{\circ}$。

6[2025 上海位育中学月考]在△ABC 中，AB = AC，把△ABC 折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕交 AB 于点 M，交 AC 于点 N。若△CBN 是等腰三角形，则∠C 的度数为。

6 $72^{\circ}$或$(\frac{540}{7})^{\circ}$ 如图，设$∠A = α$，因为$AB = AC$，所以$∠ABC = ∠C = \frac{180^{\circ} - α}{2}$，因为把$△ ABC$折叠，使点$A$与点$B$重合，所以$AN = BN$，所以$∠NBA = ∠A = α$，所以$∠BNC = 180^{\circ} - ∠ANB = ∠NBA + ∠A = α + α = 2α$，所以$∠NBC = 180^{\circ} - ∠C - ∠BNC = 180^{\circ} - \frac{180^{\circ} - α}{2} - 2α = \frac{180^{\circ} - 3α}{2}$。当$△ CBN$是等腰三角形时，分三种情况：①若$NB = NC$，则$∠NBC = ∠C$，即$\frac{180^{\circ} - 3α}{2} = \frac{180^{\circ} - α}{2}$，解得$α = 0^{\circ}$，不符合题意；②若$BN = BC$，则$∠C = ∠BNC$，即$\frac{180^{\circ} - α}{2} = 2α$，解得$α = 36^{\circ}$，所以$∠C = \frac{180^{\circ} - α}{2} = \frac{180^{\circ} - 36^{\circ}}{2} = 72^{\circ}$；③若$CB = CN$，则$∠NBC = ∠BNC$，即$\frac{180^{\circ} - 3α}{2} = 2α$，解得$α = (\frac{180}{7})^{\circ}$，所以$∠C = \frac{180^{\circ} - α}{2} = \frac{180^{\circ} - (\frac{180}{7})^{\circ}}{2} = (\frac{540}{7})^{\circ}$。综上所述，$∠C$的度数为$72^{\circ}$或$(\frac{540}{7})^{\circ}$。

7在△ABC 中，AB = AC，AC 的垂直平分线与 AB 所在直线相交所得的锐角为 40°，求∠C 的度数。

7 解：当$△ ABC$为锐角三角形时，如图1，设$AC$的垂直平分线交线段$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$。因为$∠ADE = 40^{\circ}$，$DE⊥AC$，所以$∠A = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}$。因为$AB = AC$，所以$∠C = \frac{1}{2}(180^{\circ} - ∠A) = 65^{\circ}$。
当$△ ABC$为钝角三角形时，如图2，设$AC$的垂直平分线交$AC$于点$E$，交$BA$的延长线于点$D$，因为$∠ADE = 40^{\circ}$，$DE⊥AC$，所以$∠DAC = 50^{\circ}$，所以$∠BAC = 130^{\circ}$。因为$AB = AC$，所以$∠B = ∠C = 25^{\circ}$。
综上，$∠C$的度数为$65^{\circ}$或$25^{\circ}$。

易错分析
当运用分类讨论的思想解决问题时，弄清分类的依据是解决问题的关键。如本题未给出图形，需要我们对三角形是锐角三角形或钝角三角形两种情况进行分类讨论，根据不同情况分别画出图形求解，否则容易产生漏解，导致错误。

8等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25°，求这个三角形各个内角的度数。

8 解：设$AB = AC$，$BD⊥AC$于点$D$。
①当高与底边的夹角为$25^{\circ}$时，高一定在$△ ABC$的内部，如图1，因为$∠DBC = 25^{\circ}$，$BD⊥AC$，所以$∠C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - ∠DBC = 65^{\circ}$。因为$AB = AC$，所以$∠ABC = ∠C = 65^{\circ}$，所以$∠A = 180^{\circ} - 2×65^{\circ} = 50^{\circ}$。
②当高与另一腰的夹角为$25^{\circ}$，且高在$△ ABC$的内部时，如图2，因为$∠ABD = 25^{\circ}$，$BD⊥AC$，所以$∠A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - ∠ABD = 65^{\circ}$。因为$AB = AC$，所以$∠C = ∠ABC = \frac{1}{2}(180^{\circ} - ∠A) = 57.5^{\circ}$。
③当高与另一腰的夹角为$25^{\circ}$，且高在$△ ABC$的外部时，如图3，因为$∠ABD = 25^{\circ}$，$BD⊥AC$，所以$∠BAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - ∠ABD = 65^{\circ}$，所以$∠BAC = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}$。因为$AB = AC$，所以$∠ABC = ∠C = \frac{1}{2}(180^{\circ} - ∠BAC) = 32.5^{\circ}$。
综上，这个三角形各个内角的度数分别为$65^{\circ}$，$65^{\circ}$，$50^{\circ}$或$65^{\circ}$，$57.5^{\circ}$，$57.5^{\circ}$或$115^{\circ}$，$32.5^{\circ}$，$32.5^{\circ}$。

名师点睛
由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外。