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1 母题 [2025 天津静海区月考] 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC，AD 平分∠CAB，交 BC 于点 D，DE ⊥ AB 于点 E，且 AB = 10 cm，则△DEB 的周长为(
A.4 cm
B.6 cm
C.10 cm
D.20 cm
C
)A.4 cm
B.6 cm
C.10 cm
D.20 cm
答案
1 C 因为AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，所以∠EAD=∠CAD，∠C=∠AED=90°，CD=DE。在△DCA和△DEA中，
$\{ \begin{array} { l } { ∠ C A D = ∠ E A D, } \\ { ∠ C = ∠ A E D, } \\ { A D = A D, } \end{array} $
所以△DCA≌△DEA（AAS），所以AC=AE。
因为AC=BC，所以AE=AC=BC，又因为AB=10 cm，所以△DEB的周长为BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=10 cm。
$\{ \begin{array} { l } { ∠ C A D = ∠ E A D, } \\ { ∠ C = ∠ A E D, } \\ { A D = A D, } \end{array} $
所以△DCA≌△DEA（AAS），所以AC=AE。
因为AC=BC，所以AE=AC=BC，又因为AB=10 cm，所以△DEB的周长为BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=10 cm。
2 变为交点在三角形内 [2025 庆阳期末] 如图，已知△ABC 的周长是 20，BO，CO 分别平分∠ABC，∠ACB，OD ⊥ BC 于点 D，且 OD = 3，则△ABC 的面积是(
A.20
B.25
C.30
D.35
C
)A.20
B.25
C.30
D.35
答案
2 C 如图，连接OA，过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，因为BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OD⊥BC，所以OE=OD，OD=OF，所以OE=OF=OD=3，所以S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△AOC}+S_{△BOC}=$\frac { 1 } { 2 } A B · O E + \frac { 1 } { 2 } A C · O F + \frac { 1 } { 2 } B C · O D = \frac { 1 } { 2 } O D ( A B + A C + B C ) = \frac { 1 } { 2 } × 3 × 20 = 30$。
3 变为交点在三角形外 [2025 绍兴期中] 如图，在△ABC 中，E 为∠BAC 的平分线上一点，EF ⊥ AB，交 AB 于点 F，EG ⊥ AC，交 AC 的延长线于点 G，BF = CG，连接 EB，EC。
(1) 试说明：∠BEC = ∠FEG。
(2) 若 AB = 5，AC = 3，求 AF，BF 的长。
(1) 试说明：∠BEC = ∠FEG。
(2) 若 AB = 5，AC = 3，求 AF，BF 的长。
答案
3 解：（1）因为AE是∠BAC的平分线，EF⊥AB，EG⊥AC，所以EF=EG，∠EFB=∠EGC=90°。
在△EFB和△EGC中，
$\{ \begin{array} { l } { E F = E G, } \\ { ∠ E F B = ∠ E G C, } \\ { B F = C G, } \end{array} $
所以△EFB≌△EGC，所以∠BEF=∠CEG，
所以∠BEF+∠FEC=∠CEG+∠FEC，
所以∠BEC=∠FEG。
（2）因为AE平分∠BAC，所以∠FAE=∠GAE。
因为EF⊥AB，EG⊥AC，所以∠AFE=∠AGE=90°。
在△AEF和△AEG中，
$\{ \begin{array} { l } { ∠ A F E = ∠ A G E, } \\ { ∠ F A E = ∠ G A E, } \\ { A E = A E, } \end{array} $
所以△AEF≌△AEG，所以AF=AG。
设BF=x，则CG=x，
因为AB=5，AC=3，AF=AB−BF，AG=AC+CG，
所以5−x=3+x，所以x=1，
所以AF=4，BF=1。
在△EFB和△EGC中，
$\{ \begin{array} { l } { E F = E G, } \\ { ∠ E F B = ∠ E G C, } \\ { B F = C G, } \end{array} $
所以△EFB≌△EGC，所以∠BEF=∠CEG，
所以∠BEF+∠FEC=∠CEG+∠FEC，
所以∠BEC=∠FEG。
（2）因为AE平分∠BAC，所以∠FAE=∠GAE。
因为EF⊥AB，EG⊥AC，所以∠AFE=∠AGE=90°。
在△AEF和△AEG中，
$\{ \begin{array} { l } { ∠ A F E = ∠ A G E, } \\ { ∠ F A E = ∠ G A E, } \\ { A E = A E, } \end{array} $
所以△AEF≌△AEG，所以AF=AG。
设BF=x，则CG=x，
因为AB=5，AC=3，AF=AB−BF，AG=AC+CG，
所以5−x=3+x，所以x=1，
所以AF=4，BF=1。
4 变为动点问题 [2025 广州期中] 如图，在△ABC 中，∠BAD = ∠DAC，DF ⊥ AB 于点 F，DM ⊥ AC 于点 M，AB = 16 cm，AF = 10 cm，AC = 14 cm，动点 E 以 2 cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动，同时动点 G 以 1 cm/s 的速度从 C 点向 A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t s。
(1) 求 $ S_{△ ABD} : S_{△ ACD} $。
(2) 试说明：在运动过程中，无论 t 取何值，都有 $ S_{△ AED} = 2S_{△ DGC} $。
(3) 当 t 取何值时，△DFE 与△DMG 全等？
(1) 求 $ S_{△ ABD} : S_{△ ACD} $。
(2) 试说明：在运动过程中，无论 t 取何值，都有 $ S_{△ AED} = 2S_{△ DGC} $。
(3) 当 t 取何值时，△DFE 与△DMG 全等？
答案
4 解：（1）因为∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
所以DF=DM。
因为$S _ { △ A B D } = \frac { 1 } { 2 } A B · D F$，$S _ { △ A C D } = \frac { 1 } { 2 } A C · D M$，
所以S_{△ABD}：S_{△ACD}=AB：AC=8：7。
（2）因为$S _ { △ A E D } = \frac { 1 } { 2 } A E · D F$，$S _ { △ D G C } = \frac { 1 } { 2 } C G · D M$，DF=DM，
所以S_{△AED}：S_{△DGC}=AE：CG。
因为动点E以2 cm/s的速度从A点向F点运动，同时动点G以1 cm/s的速度从C点向A点运动，
所以AE=2t cm，CG=t cm，
所以AE：CG=2：1，所以S_{△AED}=2S_{△DGC}。
所以在运动过程中，无论t取何值，都有S_{△AED}=2S_{△DGC}。
（3）因为DF⊥AB，DM⊥AC，所以∠AFD=∠AMD=90°。
在△ADF和△ADM中，
$\{ \begin{array} { l } { ∠ A F D = ∠ A M D, } \\ { ∠ F A D = ∠ M A D, } \\ { A D = A D, } \end{array} $
所以△ADF≌△ADM（AAS），
所以AF=AM=10 cm。
所以0≤t≤5。
由题意知EF=AF−AE=(10−2t)cm，CG=t cm。
①当点G在线段AM上时，MG=CG−CM=CG−(AC−AM)=(t−4)cm。
当EF=GM时，△DFE与△DMG全等，
所以10−2t=t−4，解得$t = \frac { 14 } { 3 }$。
②当点G在线段CM上时，MG=(4−t)cm，
当EF=GM时，△DFE与△DMG全等，
所以10−2t=4−t，解得t=6（舍去）。
综上，当$t = \frac { 14 } { 3 }$时，△DFE与△DMG全等。
所以DF=DM。
因为$S _ { △ A B D } = \frac { 1 } { 2 } A B · D F$，$S _ { △ A C D } = \frac { 1 } { 2 } A C · D M$，
所以S_{△ABD}：S_{△ACD}=AB：AC=8：7。
（2）因为$S _ { △ A E D } = \frac { 1 } { 2 } A E · D F$，$S _ { △ D G C } = \frac { 1 } { 2 } C G · D M$，DF=DM，
所以S_{△AED}：S_{△DGC}=AE：CG。
因为动点E以2 cm/s的速度从A点向F点运动，同时动点G以1 cm/s的速度从C点向A点运动，
所以AE=2t cm，CG=t cm，
所以AE：CG=2：1，所以S_{△AED}=2S_{△DGC}。
所以在运动过程中，无论t取何值，都有S_{△AED}=2S_{△DGC}。
（3）因为DF⊥AB，DM⊥AC，所以∠AFD=∠AMD=90°。
在△ADF和△ADM中，
$\{ \begin{array} { l } { ∠ A F D = ∠ A M D, } \\ { ∠ F A D = ∠ M A D, } \\ { A D = A D, } \end{array} $
所以△ADF≌△ADM（AAS），
所以AF=AM=10 cm。
所以0≤t≤5。
由题意知EF=AF−AE=(10−2t)cm，CG=t cm。
①当点G在线段AM上时，MG=CG−CM=CG−(AC−AM)=(t−4)cm。
当EF=GM时，△DFE与△DMG全等，
所以10−2t=t−4，解得$t = \frac { 14 } { 3 }$。
②当点G在线段CM上时，MG=(4−t)cm，
当EF=GM时，△DFE与△DMG全等，
所以10−2t=4−t，解得t=6（舍去）。
综上，当$t = \frac { 14 } { 3 }$时，△DFE与△DMG全等。
