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9[2025 清远清城区期末]如图，某小区有一块三角形绿地$ABC$，现需要在绿地上建一个凉亭$M$，使它到$AB$，$BC$，$AC$三边的距离相等，下列方案能满足项目要求的是(
A.
B.
C.
D.
A
)A.
B.
C.
D.
答案
9 A
10[2025 重庆黔江区期末]如图，$AB// CD$，$BP$和$CP$分别平分$∠ABC$和$∠DCB$，$AD$过点$P$，且与$AB$垂直，若$AD = 8$，则点$P$到$BC$的距离是(
A.8
B.6
C.4
D.2
C
)A.8
B.6
C.4
D.2
答案
10 C 如图，过点 P 作 PE⊥BC 于点 E，结合 PD⊥CD，BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，所以 PA = PE，PD = PE，所以 PE = PA = PD，又因为 PA + PD = AD = 8，所以 PA = PD = 4，所以 PE = 4，即点 P 到 BC 的距离是 4。
11[2025 乌鲁木齐七十中期末]如图，在$△ABC$中，$∠B = 90^{\circ}$，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：①$BD = DE$；②$∠CDE = ∠CAB$；③$AB + CE = AC$。下列判断正确的是(
A.只有①对
B.只有②对
C.只有③对
D.三种说法都对
D
)A.只有①对
B.只有②对
C.只有③对
D.三种说法都对
答案
11 D 由题中作图可得，AD 平分∠BAC，DE⊥AC，因为∠B = 90°，所以 BD = DE，所以①正确；因为∠CDE + ∠C = ∠CAB + ∠C = 90°，所以∠CDE = ∠CAB，所以②正确；在△ABD 和△AED 中，由 AAS 可得△ABD≌△AED，所以 AB = AE，所以 AC = AE + CE = AB + CE，所以③正确。
12[2025 合肥期末]如图，在$△ABC$中，$∠A = 90^{\circ}$，$AB = 1$，$BC = 2$，$BD$是$∠ABC$的平分线，设$△ABD$和$△BDC$的面积分别是$S_1$，$S_2$，则$S_1:S_2 =$
1:2
。答案
12 1:2 如图，过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，因为 DA⊥BA，DE⊥BC，BD 是∠ABC 的平分线，所以 DE = DA，又因为 S₁ = $\frac{1}{2}$AB·DA，S₂ = $\frac{1}{2}$BC·DE，所以 S₁:S₂ = AB:BC = 1:2。
变式 如图，$BD$是$∠ABC$的平分线，交$AC$于点$D$，$DE⊥AB$于点$E$，$DF⊥BC$于点$F$，$S_{△ABC} = 36\ cm^2$，$AB = 8\ cm$，$BC = 10\ cm$，则$DE$的长为
4
$cm$。答案
变式 4 因为 BD 平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，所以 DE = DF，设 DE = DF = x cm，因为 S_{△ABC} = S_{△ABD} + S_{△BCD} = $\frac{1}{2}$AB·DE + $\frac{1}{2}$BC·DF，所以 36 = $\frac{1}{2}$x·(10 + 8)，解得 x = 4，所以 DE 的长为 4 cm。
13 [2025 南通期中]如图，在$△ABC$中，$S_{△ABC} = 21$，$∠BAC$的平分线$AD$交$BC$于点$D$，点$E$为$AD$的中点，连接$BE$，点$F$为$BE$上一点，且$BF = 2EF$。若$S_{△DEF} = 2$，则$AB:AC =$
4:3
。答案
13 4:3 因为 BF = 2EF，S_{△DEF} = 2，所以 S_{△BDE} = 3S_{△DEF} = 3×2 = 6，因为点 E 为 AD 的中点，所以 S_{△ABD} = 2S_{△BDE} = 2×6 = 12，因为 S_{△ABC} = 21，所以 S_{△ACD} = 21 - 12 = 9。过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M，DN⊥AC 于点 N，因为 AD 是∠BAC 的平分线，所以 DM = DN，所以 $\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}} = \frac{\frac{1}{2}AB·DM}{\frac{1}{2}AC·DN} = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$，所以 AB:AC = 4:3。
14 [2025 四平月考]如图，$D$是$∠EAF$平分线上的一点，若$∠ACD + ∠ABD = 180^{\circ}$。试说明：$CD = BD$。
答案
14 解：如图，过点 D 分别作 DM⊥AE 于点 M，DN⊥AF 于点 N，则∠CMD = ∠BND = 90°。
因为 AD 是∠EAF 的平分线，DM⊥AE，DN⊥AF，所以 DM = DN。
因为∠ACD + ∠ABD = 180°，∠ACD + ∠MCD = 180°，
所以∠MCD = ∠ABD。
在△CDM 和△BDN 中，$\{\begin{array}{l}∠CMD = ∠BND,\\∠MCD = ∠NBD,\\DM = DN,\end{array} $
所以△CDM≌△BDN，
所以 CD = BD。
