1. 如图,OB是∠AOC的平分线,∠COD= $\frac{1}{3}$∠BOD,∠COD= 17°,则∠AOD的度数是( )

A.70°
B.83°
C.68°
D.85°

类型2 分类讨论问题

1.D　[点拨]因为∠COD=$\frac{1}{3}$∠BOD，∠COD = 17°，所以∠BOC = 2∠COD = 2×17° = 34°。因为OB是∠AOC的平分线，所以∠AOC = 2∠BOC = 2×34° = 68°，所以∠AOD = ∠AOC + ∠COD = 68° + 17° = 85°。

2. [2025北京西城区期末]已知∠AOB= 60°,自∠AOB的顶点O引射线OC,若∠AOC：∠AOB= 1：4,那么∠BOC的度数是( )

A.48°
B.45°
C.48°或75°
D.45°或75°

2.D　[点拨]因为∠AOC:∠AOB = 1:4，∠AOB = 60°，所以∠AOC = 15°。如图①，当OC在∠AOB内时，∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = 45°；如图②，当OC在∠AOB外时，∠BOC = ∠AOB + ∠AOC = 75°。所以∠BOC = 45°或75°，故选D。

⚡点方法：当射线OC的位置不确定时，要分两种情况求解：①当OC在∠AOB内时；②当OC在∠AOB外时。分别画图求出∠BOC即可。

3. 定义：从一个角的顶点出发,把这个角分成1：2两个部分的射线,叫作这个角的三分线,一个角的三分线有两条.如图①,∠AOB= 2∠BOC,则OB是∠AOC的一条三分线.
(1)若∠AOC= 66°,则∠BOC= ______；
(2)如图②,若∠AOB= 120°,OC,OD是∠AOB的两条三分线,且∠BOC＜∠AOC.若以点O为中心,将∠COD顺时针旋转n°(0＜n＜90)得到∠C'OD',当OA恰好是∠C'OD'的三分线时,n的值为______.

类型3 折叠问题

3.
(1)22°
(2)$\frac{160}{3}$或$\frac{200}{3}$　[点拨]因为∠AOB = 120°，OC，OD是∠AOB的两条三分线，所以易得∠AOD = ∠COD = $\frac{1}{3}$∠AOB = 40°。所以∠C'OD' = ∠COD = 40°。分两种情况：
①当OA是∠COD'的三分线，且∠AOD'＞∠AOC时，如图①，所以∠AOC = $\frac{1}{3}$∠C'OD' = $\frac{40°}{3}$，所以∠DOC' = ∠AOD - ∠AOC' = 40° - $\frac{40°}{3}$ = $\frac{80°}{3}$，所以∠DOD' = ∠DOC' + ∠C'OD' = $\frac{80°}{3}$ + 40° = $\frac{200°}{3}$；
②当OA是∠COD'的三分线，且∠AOD'＜∠AOC时，如图②，所以∠AOD' = $\frac{1}{3}$∠C'OD' = $\frac{40°}{3}$，所以∠DOD' = ∠AOD + ∠AOD' = 40° + $\frac{40°}{3}$ = $\frac{160°}{3}$。
综上可知，n的值为$\frac{160}{3}$或$\frac{200}{3}$。
　　　 　　

4. 如图①,将正方形纸片ABCD的∠A,∠C分别沿BE,BF折叠,使点A,C分别落在A',C'处,点C'与点A'重合.如图②,将该纸片展平后,将∠A,∠C分别沿BG,BH再折叠,使点A,C分别落在BE上的点A''处和BF上的点C''处.如图③,纸片展平后,将∠ABG和∠CBH分别记为α和β,则α和β的数量关系一定成立的是( )
A. β= 2α
B. α+β= 22.5°
C. β-α= 22.5°
D. α+β= 45°
类型4 探究性问题

4.B　[点拨]根据折叠的性质，结合题图①可知，∠ABE = ∠EBA'，∠CBF = ∠FBA'，根据折叠的性质，结合题图②可知，∠ABG = ∠EBG = α，∠CBH = ∠FBH = β，所以∠ABE = ∠ABG + ∠EBG = 2α，∠CBF = ∠CBH + ∠FBH = 2β，所以易得∠ABC = 4α + 4β。因为四边形ABCD为正方形，所以∠ABC = 90°，所以4α + 4β = 90°，所以α + β = 22.5°。故选B。

由折叠性质及图①得：∠ABE=∠EBA'，∠CBF=∠FBA'。
由折叠性质及图②得：∠ABG=∠EBG=α，∠CBH=∠FBH=β。
∴∠ABE=∠ABG+∠EBG=2α，∠CBF=∠CBH+∠FBH=2β。
∵∠ABC=∠ABE+∠EBA'+∠CBF+∠FBA'=4α+4β，
四边形ABCD为正方形，∠ABC=90°，
∴4α+4β=90°，
∴α+β=22.5°。
故选B。

5. [2025许昌期末]将一副三角尺(直角三角尺ABC和直角三角尺ADE,∠BAC= 45°,∠DAE= 30°)按如图①所示的方式摆放,点E,A,B在同一条直线上,AM和AN分别平分∠BAE和∠CAD.然后,将三角尺ADE绕点A沿顺时针方向旋转α°(0＜α＜60)至图②的位置,三角尺ABC保持不动.
(1)若图②中,∠DAC= 75°.
①求α的值.
②分别求图①和图②中∠MAN的度数.
(2)在旋转过程中,∠MAN的度数是否发生变化？如果不变化,请求出∠MAN的度数；如果变化,请说明理由.

5.[解]
(1)①在题图①中，因为∠BAE = 180°，∠BAC = 45°，∠DAE = 30°，所以∠DAC = 180° - ∠BAC - ∠DAE = 105°。在题图②中，∠DAC = 75°，所以三角尺ADE的旋转角的度数为105° - 75° = 30°，所以α的值为30。
②在题图①中，因为∠BAE = 180°，AM平分∠BAE，所以∠MAE = $\frac{1}{2}$∠BAE = 90°。因为∠DAC = 105°，AN平分∠CAD，所以∠NAD = $\frac{1}{2}$∠DAC = 52.5°。所以∠MAN = ∠MAE - ∠DAE - ∠NAD = 90° - 30° - 52.5° = 7.5°。
在题图②中，因为∠BAE = 180° - 30° = 150°，AM平分∠BAE，所以∠MAE = $\frac{1}{2}$∠BAE = 75°。因为∠DAC = 75°，AN平分∠CAD，所以∠NAD = $\frac{1}{2}$∠DAC = 37.5°。所以∠MAN = ∠MAE - ∠DAE - ∠NAD = 7.5°。
(2)∠MAN不会变化。因为AN平分∠CAD，所以∠CAD = 2∠NAD，所以∠BAE = ∠EAD + ∠DAC + ∠CAB = 30° + 2∠NAD + 45° = 75° + 2∠NAD。因为AM平分∠BAE，所以∠MAE = $\frac{1}{2}$∠BAE = 37.5° + ∠NAD，所以∠MAN = ∠MAE - ∠DAE - ∠NAD = 37.5° + ∠NAD - 30° - ∠NAD = 7.5°，所以∠MAN不会变化，恒为7.5°。