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10. 如图, $ \angle AOC $ 与 $ \angle BOC $ 互为补角, $ \angle BOC $ 与 $ \angle BOD $ 互为余角,且 $ \angle BOC= 4\angle BOD $.
(1) 求 $ \angle BOC $ 的度数；
(2) 若 $ OE $ 平分 $ \angle AOC $,求 $ \angle BOE $ 的度数.
(1) 求 $ \angle BOC $ 的度数；
(2) 若 $ OE $ 平分 $ \angle AOC $,求 $ \angle BOE $ 的度数.
答案
[解]
(1)因为∠BOC与∠BOD互为余角，所以∠BOC + ∠BOD = 90°.因为∠BOC = 4∠BOD，所以∠BOC = $\frac{4}{5}$×90° = 72°.
(2)因为∠AOC与∠BOC互为补角，所以∠AOC + ∠BOC = 180°，所以∠AOC = 180°−∠BOC = 180°−72° = 108°.因为OE平分∠AOC，所以∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×108° = 54°，所以∠BOE = ∠COE + ∠BOC = 54° + 72° = 126°.
(1)因为∠BOC与∠BOD互为余角，所以∠BOC + ∠BOD = 90°.因为∠BOC = 4∠BOD，所以∠BOC = $\frac{4}{5}$×90° = 72°.
(2)因为∠AOC与∠BOC互为补角，所以∠AOC + ∠BOC = 180°，所以∠AOC = 180°−∠BOC = 180°−72° = 108°.因为OE平分∠AOC，所以∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$×108° = 54°，所以∠BOE = ∠COE + ∠BOC = 54° + 72° = 126°.
11. 如图,点 $ O $ 是直线 $ CE $ 上一点,以 $ O $ 为顶点作 $ \angle AOB= 90^{\circ} $,且 $ OA,OB $ 位于直线 $ CE $ 两侧, $ OB $ 平分 $ \angle COD $.
(1) ① 当 $ \angle AOC= 50^{\circ} $ 时, $ \angle DOE $ 的度数为______；
② 当 $ \angle AOC= 72^{\circ} $ 时, $ \angle DOE $ 的度数为______；
(2) 通过 (1) 的计算,请你猜想 $ \angle AOC $ 和 $ \angle DOE $ 的数量关系,并说明理由.
(1) ① 当 $ \angle AOC= 50^{\circ} $ 时, $ \angle DOE $ 的度数为______；
② 当 $ \angle AOC= 72^{\circ} $ 时, $ \angle DOE $ 的度数为______；
(2) 通过 (1) 的计算,请你猜想 $ \angle AOC $ 和 $ \angle DOE $ 的数量关系,并说明理由.
答案
[解]
(1)①100° ②144°
(2)∠DOE = 2∠AOC.理由：因为∠AOB = 90°，所以∠BOC = ∠AOB−∠AOC = 90°−∠AOC.因为OB平分∠COD，所以∠COD = 2∠BOC = 2(90°−∠AOC) = 180°−2∠AOC，所以∠DOE = 180°−∠COD = 180°−(180°−2∠AOC) = 2∠AOC.
(1)①100° ②144°
(2)∠DOE = 2∠AOC.理由：因为∠AOB = 90°，所以∠BOC = ∠AOB−∠AOC = 90°−∠AOC.因为OB平分∠COD，所以∠COD = 2∠BOC = 2(90°−∠AOC) = 180°−2∠AOC，所以∠DOE = 180°−∠COD = 180°−(180°−2∠AOC) = 2∠AOC.
12. 如图①,直角三角尺 $ ABC $ 和直角三角尺 $ ADE $ 的顶点 $ A $ 重合,且顶点 $ E,A,C $ 在一条直线上, $ \angle C= \angle E= 90^{\circ} $, $ \angle BAC= 60^{\circ} $, $ \angle DAE= 45^{\circ} $,保持三角尺 $ ABC $ 不动,将三角尺 $ ADE $ 绕顶点 $ A $ 顺时针旋转(旋转至点 $ E $ 落在射线 $ AC $ 上时停止).
(1) 当三角尺 $ ADE $ 旋转至如图②所示的位置时,若 $ \angle BAE= 80^{\circ} $,求 $ \angle CAD $ 的度数.
(2) 当三角尺 $ ADE $ 旋转至 $ AD $ 在 $ \angle BAC $ 内时(如图③), $ \angle CAD $ 与 $ \angle BAE $ 之间有何数量关系？请说明理由.
(3) 在旋转的过程中,当 $ \angle CAD $ 与 $ \angle BAE $ 互余时,直接写出 $ \angle BAD $ 的度数.
(1) 当三角尺 $ ADE $ 旋转至如图②所示的位置时,若 $ \angle BAE= 80^{\circ} $,求 $ \angle CAD $ 的度数.
(2) 当三角尺 $ ADE $ 旋转至 $ AD $ 在 $ \angle BAC $ 内时(如图③), $ \angle CAD $ 与 $ \angle BAE $ 之间有何数量关系？请说明理由.
(3) 在旋转的过程中,当 $ \angle CAD $ 与 $ \angle BAE $ 互余时,直接写出 $ \angle BAD $ 的度数.
答案
[解]
(1)因为∠DAE = 45°，∠BAE = 80°，所以∠BAD = ∠BAE−∠DAE = 35°，所以∠CAD = ∠BAC + ∠BAD = 60° + 35° = 95°.
(2)∠CAD−∠BAE = 15°.理由：由题图得∠CAD = ∠BAC−∠BAD = 60°−∠BAD，∠BAE = ∠DAE−∠BAD = 45°−∠BAD，所以∠CAD−∠BAE = 60°−∠BAD−(45°−∠BAD) = 15°.
(3)∠BAD的度数为7.5°或97.5°.
[点拨]设∠BAD = α.分4种情况：
①当AD在AB左边时，∠CAD + ∠BAE = ∠BAC + ∠BAD + ∠BAD + ∠DAE = 60° + 2∠BAD + 45° = 105° + 2∠BAD≠90°，所以不存在∠CAD与∠BAE互余.
②如图①，当AE在AB左边，AD在AB右边时，∠CAD = ∠BAC−∠BAD = 60°−α，∠BAE = ∠DAE−∠BAD = 45°−α.因为∠CAD与∠BAE互余，所以∠CAD + ∠BAE = 90°，即60°−α + 45°−α = 90°，解得α = 7.5°.
③当AE在AB右边，AD在AC上边，即∠DAE在∠BAC内部时，∠CAD + ∠BAE = ∠CAB−∠DAE = 60°−45° = 15°≠90°，所以不存在∠CAD与∠BAE互余.
④如图②，当AE在AB右边，AD在AC下边时，∠CAD = ∠BAD−∠BAC = α−60°，∠BAE = ∠BAD−∠DAE = α−45°.因为∠CAD与∠BAE互余，所以∠CAD + ∠BAE = 90°，即α−60° + α−45° = 90°.解得α = 97.5°.综上，当∠CAD与∠BAE互余时，∠BAD的度数为7.5°或97.5°.
(1)因为∠DAE = 45°，∠BAE = 80°，所以∠BAD = ∠BAE−∠DAE = 35°，所以∠CAD = ∠BAC + ∠BAD = 60° + 35° = 95°.
(2)∠CAD−∠BAE = 15°.理由：由题图得∠CAD = ∠BAC−∠BAD = 60°−∠BAD，∠BAE = ∠DAE−∠BAD = 45°−∠BAD，所以∠CAD−∠BAE = 60°−∠BAD−(45°−∠BAD) = 15°.
(3)∠BAD的度数为7.5°或97.5°.
[点拨]设∠BAD = α.分4种情况：
①当AD在AB左边时，∠CAD + ∠BAE = ∠BAC + ∠BAD + ∠BAD + ∠DAE = 60° + 2∠BAD + 45° = 105° + 2∠BAD≠90°，所以不存在∠CAD与∠BAE互余.
②如图①，当AE在AB左边，AD在AB右边时，∠CAD = ∠BAC−∠BAD = 60°−α，∠BAE = ∠DAE−∠BAD = 45°−α.因为∠CAD与∠BAE互余，所以∠CAD + ∠BAE = 90°，即60°−α + 45°−α = 90°，解得α = 7.5°.
③当AE在AB右边，AD在AC上边，即∠DAE在∠BAC内部时，∠CAD + ∠BAE = ∠CAB−∠DAE = 60°−45° = 15°≠90°，所以不存在∠CAD与∠BAE互余.
④如图②，当AE在AB右边，AD在AC下边时，∠CAD = ∠BAD−∠BAC = α−60°，∠BAE = ∠BAD−∠DAE = α−45°.因为∠CAD与∠BAE互余，所以∠CAD + ∠BAE = 90°，即α−60° + α−45° = 90°.解得α = 97.5°.综上，当∠CAD与∠BAE互余时，∠BAD的度数为7.5°或97.5°.
