8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D是斜边AB的中点，把△BCD沿BC翻折得到△BCE，作EF⊥AB于点F.
（1）求证：四边形BDCE是菱形；
（2）若AC = 12，AB = 20，求EF的长.
　　　　　　　　　　　　　

(1)在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$.$\because D$是斜边$AB$的中点，$\therefore AD = DB = CD$.$\because\triangle BCD$沿$BC$翻折得到$\triangle BCE$，$\therefore CD = CE$，$BD = BE$，$\therefore DB = CD = CE = BE$，$\therefore$四边形$BDCE$是菱形.
(2)在$Rt\triangle ABC$中，$\because AC = 12$，$AB = 20$，$\therefore BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{20^{2}-12^{2}} = 16$，连接$DE$，如图.$\because AD// CE$，$AD = CE$，$\therefore$四边形$ADEC$是平行四边形，$\therefore DE = AC = 12$，$\therefore$菱形$DCEB$的面积为$\frac{1}{2}BC\cdot DE = BD\cdot EF=\frac{1}{2}\times16\times12 = 96$.$\because BD=\frac{1}{2}AB = 10$，$\therefore EF = 9.6$.

9.（2024·南京校级月考）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′ = 16°，则∠EAF的度数为（ ）
A. 56°
B. 45°
C. 40°
D. 37°
　　

D

10.（2024·枣庄模拟）如图，边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM = ________.
　　

$\sqrt{2}-1$ 解析：$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB = AD = BC = CD=\sqrt{2}$，$\angle DCB=\angle COD=\angle BOC = 90^{\circ}$，$OD = OC$，$\therefore BD = 2$，$OD = BO = OC = 1$.$\because$将正方形$ABCD$沿直线$DF$折叠，点$C$落在对角线$BD$上的点$E$处，$\therefore DE = DC=\sqrt{2}$，$DF\perp CE$，$\therefore OE=\sqrt{2}-1$，$\angle EDF+\angle FED=\angle ECO+\angle OEC = 90^{\circ}$，$\therefore\angle ODM=\angle ECO$.在$\triangle OEC$和$\triangle OMD$中，$\begin{cases}\angle EOC=\angle MOD = 90^{\circ},\\OC = OD,\\\angle OCE=\angle ODM,\end{cases}$ $\therefore\triangle OEC\cong\triangle OMD(ASA)$，$\therefore OM = OE=\sqrt{2}-1$.

11.（2024·开封期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动.在正方形ABCD的边AD上选一点F，沿BF折叠，使点A落在正方形ABCD的内部.
（1）操作判断
①如图①，当点A落在正方形ABCD的对角线BD上的点E处时，连接CE并延长，交BF的延长线于点M，则∠M = ________°.
②如图②，改变点F的位置，当点A落在正方形ABCD的内部任意一点E处时，∠M = ________°.
（2）迁移探究
如图③，当点A落在正方形ABCD的对角线BD上的点E处时，过点E作EG⊥CD于点G，EH⊥BC于点H，连接AE，GH，试猜想AE，GH的数量关系并证明.
（3）拓展应用
延长BE交正方形ABCD的一边于点N，已知正方形ABCD的边长为8，当△DEN是等腰三角形时，直接写出AN的长.
　　　　

(1)①$45$ ②$45$
(2)$AE = GH$，证明：如图①，连接$CE$.$\because$四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AB = BC$，$\angle ABE=\angle CBE = 45^{\circ}$，$\angle BCD = 90^{\circ}$.在$\triangle ABE$和$\triangle CBE$中，$\begin{cases}AB = CB,\\\angle ABE=\angle CBE,\\BE = BE,\end{cases}$ $\therefore\triangle ABE\cong\triangle CBE(SAS)$，$\therefore AE = CE$.$\because EG\perp CD$，$EH\perp BC$，$\therefore\angle EGC=\angle EHC=\angle HCG = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$CGEH$是矩形，$\therefore CE = GH$，$\therefore AE = GH$.

(3)$6$或$2\sqrt{17}$. 解析：$\because$正方形$ABCD$的边长为$8$，$\therefore AB = AD = BC = CD = 8$，$\angle BAD=\angle BCD = 90^{\circ}$.由折叠的性质可知，$BE = AB = 8$.当$\triangle DEN$是等腰三角形时，由题意可知，$\angle DNE＞90^{\circ}$，即只有$ND = NE$时，等腰三角形$DEN$存在.①如图②，当点$N$在$AD$边上时，设$ND = NE = a$，则$AN = AD - ND = 8 - a$，$BN = BE + NE = 8 + a$.在$Rt\triangle BAN$中，$AB^{2}+AN^{2}=BN^{2}$，$\therefore8^{2}+(8 - a)^{2}=(8 + a)^{2}$，解得$a = 2$，即$ND = 2$，$\therefore AN = 8 - 2 = 6$；

②如图③，当点$N$在$CD$边上时，设$ND = NE = a$，则$CN = CD - ND = 8 - a$，$BN = BE + NE = 8 + a$.在$Rt\triangle BCN$中，$BC^{2}+CN^{2}=BN^{2}$，$\therefore8^{2}+(8 - a)^{2}=(8 + a)^{2}$，解得$a = 2$，即$ND = 2$，$\therefore AN=\sqrt{AD^{2}+ND^{2}}=2\sqrt{17}$.
综上可知，当$\triangle DEN$是等腰三角形时，$AN$的长为$6$或$2\sqrt{17}$.