1. (2024·邯郸期中)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE + PF等于________。
　　　　　　　

8

2. (2024·杭州校级月考)如图，在矩形ABCD中，AD = 6，AB = 4，点E、G、H、F分别在边AB、BC、CD、AD上，且AF = CG = 2，BE = DH = 1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则图中阴影面积(△PEF和△PGH的面积和)等于 ( )
A. 7
B. 8
C. 12
D. 14
　　

A 解析：连接EG，FH. ∵在矩形ABCD中，AD = 6，AB = 4，AF = CG = 2，BE = DH = 1，∴AE = AB - BE = 4 - 1 = 3，CH = CD - DH = 4 - 1 = 3，∴AE = CH. 在△AEF与△CHG中，$\left\{\begin{array}{l}AE = CH,\\\angle A=\angle C = 90^{\circ},\\AF = CG,\end{array}\right.$∴△AEF≌△CHG(SAS)，∴EF = GH. 同理可得，△BGE≌△DFH，∴EG = FH，∴四边形EGHF是平行四边形. ∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，∴△PEF和△PGH的面积和=$\frac{1}{2}$×平行四边形EGHF的面积. 平行四边形EGHF的面积 = 4×6 - $\frac{1}{2}$×2×3 - $\frac{1}{2}$×1×(6 - 2) - $\frac{1}{2}$×2×3 - $\frac{1}{2}$×1×(6 - 2)=24 - 3 - 2 - 3 - 2 = 14，∴△PEF和△PGH的面积和 = $\frac{1}{2}$×14 = 7. 故选A.

3. 正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为________。
　　

16 解析：如图，连接DB、GE、FK，则DB//GE//FK. 在梯形GDBE中，$S_{\triangle DGE}=S_{\triangle GEB}$(同底等高的两三角形面积相等). 同理，$S_{\triangle GKE}=S_{\triangle GFE}$，∴$S_{\triangle DEK}=S_{\triangle DGE}+S_{\triangle GKE}=S_{\triangle GEB}+S_{\triangle GEF}=S_{正方形BEFG}=4×4 = 16$.

4. 如图，矩形ABCD中，∠DAB = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，AD = BC = 16，AB = CD = 34.点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD'E关于直线AE对称，当△AD'B为直角三角形时，DE的长为________。
　　　　　　　

4或64 解析：如图①，∵△ADE与△AD'E关于直线AE对称，∴△AD'E≌△ADE，∴∠AD'E = ∠D = 90°. ∵∠AD'B = 90°，∴B、D'、E三点共线. ∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AD = BC，∠C = 90°，∴∠CEB = ∠D'BA，AD' = BC，∴△ABD'≌△BEC，∴BE = AB = 34. ∵BD' = $\sqrt{AB^{2}-AD'^{2}}=\sqrt{34^{2}-16^{2}} = 30$，∴DE = D'E = 34 - 30 = 4.

如图②，∵∠ABD'' + ∠CBE = ∠ABD'' + ∠BAD'' = 90°，∴∠CBE = ∠BAD''. 在△ABD''和△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}\angle D''=\angle BCE,\\AD'' = BC,\\\angle BAD''=\angle EBC,\end{array}\right.$∴△ABD''≌△BEC，∴BE = AB = 34. 在Rt△AD''B中，AD'' = AD = 16，BD'' = $\sqrt{AB^{2}-AD''^{2}} = 30$，∴DE = DC + CE = AB + BD'' = BE + BD'' = D''E = 34 + 30 = 64. 综上所述，DE的长为4或64.

5. (2024·牡丹江中考)在Rt△ACB中，∠ACB = 90°，BC = 12，AC = 8，以BC为边向△ACB外作有一个内角为60°的菱形BCDE，对角线BD，CE交于点O，连接OA，请用尺规和三角板作出图形，并直接写出△AOC的面积。

如图①②. △AOC的面积为12或36. 解析：当∠CBE = 60°时，所作图形如图①，作OF⊥BC，垂足为F. ∵∠ACB = 90°，∴AC//OF，∴CF为AC、OF两平行线之间的距离. ∵四边形BCDE是菱形，∠CBE = 60°，∴∠COB = 90°，∠CBO = 30°，∴∠OCB = 60°. ∵BC = 12，∴OC = $\frac{1}{2}$BC = 6. ∵∠OCB = 60°，∴∠COF = 30°，∴CF = $\frac{1}{2}$OC = 3，∴△AOC的面积为$\frac{1}{2}$×8×3 = 12.
　　
当∠BCD = 60°时，所作图形如图②，作OF⊥BC，垂足为F. ∵∠ACB = 90°，∴AC//OF，∴CF为AC、OF两平行线之间的距离. ∵四边形BCDE是菱形，∠BCD = 60°，∴∠COB = 90°，∠BCO = 30°，∴∠COF = 60°，∴∠BOF = 30°. ∵BC = 12，∴OB = $\frac{1}{2}$BC = 6，∴BF = $\frac{1}{2}$OB = 3，∴CF = CB - BF = 9，∴△AOC的面积为$\frac{1}{2}$×8×9 = 36. 综上所述，△AOC的面积为12或36.

6. (2024·深圳期中)如图，在正方形ABCD中，AB = 6，点E在BC边上，点G在CD边上，连接AE、AG、EG，过点A作AF⊥EG于点F，连接FC，BE = EF = 2，则△CEF的面积为 ( )
A. 2
B. $\frac{12}{5}$
C. $\frac{18}{5}$
D. 4
　　　　　　　　

B 解析：∵AF⊥EG且AB⊥BC，∴∠ABC = ∠AFE = 90°. 又∵BE = EF，AE = AE，∴△ABE≌△AFE，∴AB = AF. ∵AB = AD，∴AF = AD. ∵∠AFG = ∠D = 90°，AG = AG，∴△AFG≌△ADG(HL)，∴DG = FG. 设DG = FG = x，∴CG = 6 - x，EG = 2 + x. ∵BE = 2，∴CE = 4. 在Rt△ECG中，$4^{2}+(6 - x)^{2}=(2 + x)^{2}$，解得x = 3，即FG = 3，∴$\frac{EF}{FG}=\frac{2}{3}$，$\frac{S_{\triangle CEF}}{S_{\triangle CFG}}=\frac{2}{3}$. ∵CG = 6 - 3 = 3，∴$S_{\triangle ECG}=\frac{1}{2}$×4×3 = 6，∴$S_{\triangle ECF}=\frac{2}{5}$×6 = $\frac{12}{5}$. 故选B.

7. (2024·临夏中考)如图①，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q.设点P的运动路程为x，PQ - DQ为y，y与x的函数图像如图②，则AD的长为________。
　　　　　　　　　　　　　　　
　　

$\frac{8}{3}$ 解析：由图像得CD = 2. 当BD + BP = 4时，PQ = CD = 2，此时点P在BC边上，设此时BP = a，则BD = 4 - a，AD = BC = 2 + a. 在Rt△BCD中，$BD^{2}-BC^{2}=CD^{2}$，即$(4 - a)^{2}-(a + 2)^{2}=2^{2}$，解得a = $\frac{2}{3}$，∴AD = a + 2 = $\frac{8}{3}$.