登录
(1)已知$a$，$b$都是非零的自然数，且$a÷ b = 4$，则$a$与$b$的最大公因数是()，最小公倍数是()。
答案
因为$a÷b=4$（$a$，$b$都是非零自然数），所以$a$是$b$的倍数。
$a$与$b$的最大公因数是$b$，最小公倍数是$a$。
$a$与$b$的最大公因数是$b$，最小公倍数是$a$。
解析
【分析】
首先，根据已知条件$a÷b=4$（$a$、$b$为非零自然数），可以判断出$a$是$b$的倍数，$b$是$a$的因数。接下来回忆倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的规律：当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数，较大的数就是它们的最小公倍数。这里$b$比$a$小，所以直接利用这个规律就能得出结果。
【解析】
因为$a÷b=4$（$a$，$b$都是非零自然数），所以$a$是$b$的倍数。
根据倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的规律：成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
因此，$a$与$b$的最大公因数是$b$，最小公倍数是$a$。
【答案】
$b$；$a$
【知识点】
倍数关系的数的最大公因数；倍数关系的数的最小公倍数
【点评】
本题考查倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的规律应用，属于基础题型，只要牢记相关规律就能轻松解答，需要学生熟练掌握因数与倍数的基本概念及相关性质。
【难度系数】
0.8
首先，根据已知条件$a÷b=4$（$a$、$b$为非零自然数），可以判断出$a$是$b$的倍数，$b$是$a$的因数。接下来回忆倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的规律：当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数，较大的数就是它们的最小公倍数。这里$b$比$a$小，所以直接利用这个规律就能得出结果。
【解析】
因为$a÷b=4$（$a$，$b$都是非零自然数），所以$a$是$b$的倍数。
根据倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的规律：成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
因此，$a$与$b$的最大公因数是$b$，最小公倍数是$a$。
【答案】
$b$；$a$
【知识点】
倍数关系的数的最大公因数；倍数关系的数的最小公倍数
【点评】
本题考查倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的规律应用，属于基础题型，只要牢记相关规律就能轻松解答，需要学生熟练掌握因数与倍数的基本概念及相关性质。
【难度系数】
0.8
(2)小温的生活非常有规律，左下图是他睡觉和起床的时间。小温睡觉时间占全天的$\frac{(\ )}{(\ )}$。
答案
24时 - 21时 = 3时
3时 + 7时 = 10时
$10÷24=\frac{5}{12}$
答：小温睡觉时间占全天的$\frac{5}{12}$。
3时 + 7时 = 10时
$10÷24=\frac{5}{12}$
答：小温睡觉时间占全天的$\frac{5}{12}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要计算小温的总睡觉时长。由于睡觉时间跨了两天，所以要分成两段计算：第一段是第一天晚上21时（晚上9点）到当天24时的时长，第二段是第二天0时到7时的时长，将两段时长相加得到总睡觉时间。再用总睡觉时间除以全天24小时，即可得到睡觉时间占全天的比例。
【解析】
1. 将第一天晚上睡觉时间转换为24小时制：晚上9时 = 21时
2. 计算第一天晚上的睡觉时长：24时 - 21时 = 3时
3. 计算第二天早上的睡觉时长：7时 - 0时 = 7时
4. 总睡觉时长：3时 + 7时 = 10时
5. 计算睡觉时间占全天的比例：$10÷24=\frac{5}{12}$
答：小温睡觉时间占全天的$\frac{5}{12}$。
【答案】
$\frac{5}{12}$
【知识点】
24时计时法应用、分数占比计算、时间分段计算
【点评】
本题考查了24小时计时法的转换、时间的分段计算以及分数意义的综合运用，需要学生掌握跨天时间的计算方法，并能结合分数概念求解占比，理清时间分段的思路是解题关键。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要计算小温的总睡觉时长。由于睡觉时间跨了两天，所以要分成两段计算：第一段是第一天晚上21时（晚上9点）到当天24时的时长，第二段是第二天0时到7时的时长，将两段时长相加得到总睡觉时间。再用总睡觉时间除以全天24小时，即可得到睡觉时间占全天的比例。
【解析】
1. 将第一天晚上睡觉时间转换为24小时制：晚上9时 = 21时
2. 计算第一天晚上的睡觉时长：24时 - 21时 = 3时
3. 计算第二天早上的睡觉时长：7时 - 0时 = 7时
4. 总睡觉时长：3时 + 7时 = 10时
5. 计算睡觉时间占全天的比例：$10÷24=\frac{5}{12}$
答：小温睡觉时间占全天的$\frac{5}{12}$。
【答案】
$\frac{5}{12}$
【知识点】
24时计时法应用、分数占比计算、时间分段计算
【点评】
本题考查了24小时计时法的转换、时间的分段计算以及分数意义的综合运用，需要学生掌握跨天时间的计算方法，并能结合分数概念求解占比，理清时间分段的思路是解题关键。
【难度系数】
0.7
(3)将一个从里面量长$6\mathrm{cm}$、宽$5\mathrm{cm}$、高$10\mathrm{cm}$的长方体饮料盒装满果汁。小宁喝了一些(右上图中空白部分)，她大约喝了()$\mathrm{mL}$果汁。
答案
$6×5×(10-6)÷2$
$=30×4÷2$
$=60$（$\mathrm{cm^3}$）
$60\mathrm{cm^3}=60\mathrm{mL}$
答：她大约喝了$60\mathrm{mL}$果汁。
$=30×4÷2$
$=60$（$\mathrm{cm^3}$）
$60\mathrm{cm^3}=60\mathrm{mL}$
答：她大约喝了$60\mathrm{mL}$果汁。
解析
【分析】
首先观察图形可知，空白部分的形状可转化为长6cm、宽5cm、高为(10-6)cm的长方体体积的一半。解题思路如下：
1. 先求出空白部分对应长方体的高：用饮料盒总高10cm减去剩余果汁高度6cm，得到4cm；
2. 根据长方体体积公式计算该长方体的体积；
3. 由于空白部分是该长方体的一半，将长方体体积除以2得到喝掉果汁的体积；
4. 最后进行单位换算，利用1cm³=1mL将体积单位转换为容积单位mL。
【解析】
$6×5×(10-6)÷2$
$=30×4÷2$
$=120÷2$
$=60$（$\mathrm{cm^3}$）
因为$1\mathrm{cm^3}=1\mathrm{mL}$，所以$60\mathrm{cm^3}=60\mathrm{mL}$
答：她大约喝了$60\mathrm{mL}$果汁。
【答案】
60
【知识点】
1. 长方体体积计算
2. 体积单位换算
【点评】
本题考查不规则物体体积的转化方法，需要学生通过观察图形将空白部分转化为规则长方体体积的一半，灵活运用长方体体积公式解决问题，同时掌握体积与容积单位的换算关系，培养空间想象能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
首先观察图形可知，空白部分的形状可转化为长6cm、宽5cm、高为(10-6)cm的长方体体积的一半。解题思路如下：
1. 先求出空白部分对应长方体的高：用饮料盒总高10cm减去剩余果汁高度6cm，得到4cm；
2. 根据长方体体积公式计算该长方体的体积；
3. 由于空白部分是该长方体的一半，将长方体体积除以2得到喝掉果汁的体积；
4. 最后进行单位换算，利用1cm³=1mL将体积单位转换为容积单位mL。
【解析】
$6×5×(10-6)÷2$
$=30×4÷2$
$=120÷2$
$=60$（$\mathrm{cm^3}$）
因为$1\mathrm{cm^3}=1\mathrm{mL}$，所以$60\mathrm{cm^3}=60\mathrm{mL}$
答：她大约喝了$60\mathrm{mL}$果汁。
【答案】
60
【知识点】
1. 长方体体积计算
2. 体积单位换算
【点评】
本题考查不规则物体体积的转化方法，需要学生通过观察图形将空白部分转化为规则长方体体积的一半，灵活运用长方体体积公式解决问题，同时掌握体积与容积单位的换算关系，培养空间想象能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
(4)如果$m - 3$的差是偶数，那么$m$是()数，$m + 99$的和是()数。(填“奇”或“偶”)
答案
m-3是偶数，3是奇数，所以m是奇数。
m是奇数，99是奇数，所以m+99的和是偶数。
答：奇；偶。
m是奇数，99是奇数，所以m+99的和是偶数。
答：奇；偶。
解析
【分析】
首先回忆奇数和偶数的运算性质：奇数-奇数=偶数，奇数+奇数=偶数。题目中$m - 3$的差是偶数，3是奇数，根据运算性质逆向推导，被减数$m$必须是奇数才能让差为偶数；接着已知$m$是奇数，99也是奇数，根据奇数加奇数的运算结果，可判断$m + 99$的和是偶数。
【解析】
1. 已知$m - 3$是偶数，3是奇数，根据“奇数 - 奇数 = 偶数”，可得$m$是奇数。
2. 因为$m$是奇数，99是奇数，根据“奇数 + 奇数 = 偶数”，可得$m + 99$的和是偶数。
【答案】
奇；偶
【知识点】
奇偶运算性质
【点评】
本题主要考查奇数和偶数的运算规律，需要熟练掌握不同奇偶性的数进行加减运算后的结果，通过逆向和正向推理即可得出答案，属于基础题型，有助于巩固对奇偶性的理解。
【难度系数】
0.8
首先回忆奇数和偶数的运算性质：奇数-奇数=偶数，奇数+奇数=偶数。题目中$m - 3$的差是偶数，3是奇数，根据运算性质逆向推导，被减数$m$必须是奇数才能让差为偶数；接着已知$m$是奇数，99也是奇数，根据奇数加奇数的运算结果，可判断$m + 99$的和是偶数。
【解析】
1. 已知$m - 3$是偶数，3是奇数，根据“奇数 - 奇数 = 偶数”，可得$m$是奇数。
2. 因为$m$是奇数，99是奇数，根据“奇数 + 奇数 = 偶数”，可得$m + 99$的和是偶数。
【答案】
奇；偶
【知识点】
奇偶运算性质
【点评】
本题主要考查奇数和偶数的运算规律，需要熟练掌握不同奇偶性的数进行加减运算后的结果，通过逆向和正向推理即可得出答案，属于基础题型，有助于巩固对奇偶性的理解。
【难度系数】
0.8
(5)$A□B$是一个三位数，已知$A + B = 11$，要使这个三位数是$3$的倍数，$□$中可以填的数字有()个。
答案
设□中的数字为x。
11+x需是3的倍数：
11+x=12时，x=1；
11+x=15时，x=4；
11+x=18时，x=7；
□中可填1、4、7，共3个。
答：3。
11+x需是3的倍数：
11+x=12时，x=1；
11+x=15时，x=4；
11+x=18时，x=7；
□中可填1、4、7，共3个。
答：3。
解析
【分析】
首先回忆3的倍数的特征：一个数是3的倍数，当且仅当它各个数位上的数字之和是3的倍数。题目中三位数$A□B$的百位数字与个位数字之和$A+B=11$，设$□$中的数字为$x$，那么这个三位数的数位和为$11+x$，我们需要找出0-9之间满足$11+x$是3的倍数的$x$的个数。先确定$11+x$的取值范围在11到20之间，在这个范围内找出3的倍数，再计算对应的$x$值，最后统计符合条件的$x$的数量。
【解析】
设$□$中的数字为$x$（$x$为0-9的整数）。
根据3的倍数的特征，三位数$A□B$的各数位数字之和需是3的倍数，即：
$11 + x$是3的倍数。
在11到20之间（因为$x$最小为0，最大为9），3的倍数有12、15、18：
当$11+x=12$时，$x=12-11=1$；
当$11+x=15$时，$x=15-11=4$；
当$11+x=18$时，$x=18-11=7$；
所以$□$中可填的数字为1、4、7，共3个。
【答案】
3
【知识点】
3的倍数的特征
【点评】
本题主要考查3的倍数的特征的实际应用，解题关键是利用已知的$A+B=11$，结合数位和为3的倍数这一条件，找出符合要求的数字，需要学生熟练掌握3的倍数的判定方法，计算过程简单，需注意$x$的取值范围是0-9的整数。
【难度系数】
0.7
首先回忆3的倍数的特征：一个数是3的倍数，当且仅当它各个数位上的数字之和是3的倍数。题目中三位数$A□B$的百位数字与个位数字之和$A+B=11$，设$□$中的数字为$x$，那么这个三位数的数位和为$11+x$，我们需要找出0-9之间满足$11+x$是3的倍数的$x$的个数。先确定$11+x$的取值范围在11到20之间，在这个范围内找出3的倍数，再计算对应的$x$值，最后统计符合条件的$x$的数量。
【解析】
设$□$中的数字为$x$（$x$为0-9的整数）。
根据3的倍数的特征，三位数$A□B$的各数位数字之和需是3的倍数，即：
$11 + x$是3的倍数。
在11到20之间（因为$x$最小为0，最大为9），3的倍数有12、15、18：
当$11+x=12$时，$x=12-11=1$；
当$11+x=15$时，$x=15-11=4$；
当$11+x=18$时，$x=18-11=7$；
所以$□$中可填的数字为1、4、7，共3个。
【答案】
3
【知识点】
3的倍数的特征
【点评】
本题主要考查3的倍数的特征的实际应用，解题关键是利用已知的$A+B=11$，结合数位和为3的倍数这一条件，找出符合要求的数字，需要学生熟练掌握3的倍数的判定方法，计算过程简单，需注意$x$的取值范围是0-9的整数。
【难度系数】
0.7
(6)小舟喝一杯纯果汁，他第一次喝了$\frac{1}{2}$杯，然后加满水，第二次又喝了$\frac{1}{2}$杯，再加满水，第三次喝了半杯。小舟一共喝了()杯纯果汁，()杯水。
答案
$\frac{1}{2}+(1-\frac{1}{2})×\frac{1}{2}+(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4})×\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$
$=\frac{7}{8}$（杯）
$\frac{1}{2}×3-\frac{7}{8}$
$=\frac{3}{2}-\frac{7}{8}$
$=\frac{5}{8}$（杯）
答：小舟一共喝了$\frac{7}{8}$杯纯果汁，$\frac{5}{8}$杯水。
$=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$
$=\frac{7}{8}$（杯）
$\frac{1}{2}×3-\frac{7}{8}$
$=\frac{3}{2}-\frac{7}{8}$
$=\frac{5}{8}$（杯）
答：小舟一共喝了$\frac{7}{8}$杯纯果汁，$\frac{5}{8}$杯水。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分两部分思考：一是计算喝的纯果汁总量，二是计算喝的水的总量。
1. 纯果汁部分：因为一开始是纯果汁，每次喝半杯后加满水，所以每次喝的纯果汁是当时杯子里剩余纯果汁的$\frac{1}{2}$。第一次直接喝$\frac{1}{2}$杯纯果汁；第一次喝完后剩下$\frac{1}{2}$杯纯果汁，第二次喝的半杯里纯果汁是$\frac{1}{2}$的$\frac{1}{2}$；第二次喝完后剩下$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$杯纯果汁，第三次喝的半杯里纯果汁是$\frac{1}{4}$的$\frac{1}{2}$，把这三次的纯果汁量相加就是总纯果汁量。
2. 水的部分：每次喝半杯，一共喝了3次，总液体量是$3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$杯，用总液体量减去喝的纯果汁量，就能得到喝的水的量，这样比分步算水更简便。
【解析】
计算纯果汁总量：
第一次喝的纯果汁：$\frac{1}{2}$杯
第二次喝的纯果汁：$(1-\frac{1}{2})×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$杯
第三次喝的纯果汁：$(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4})×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$杯
总纯果汁量：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$杯
计算水的总量：
总共喝的液体量：$\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$杯
总水量：$\frac{3}{2}-\frac{7}{8}=\frac{12}{8}-\frac{7}{8}=\frac{5}{8}$杯
答：小舟一共喝了$\frac{7}{8}$杯纯果汁，$\frac{5}{8}$杯水。
【答案】
$\frac{7}{8}$；$\frac{5}{8}$
【知识点】
分数乘法应用、分数加减法运算、分数复合应用题
【点评】
本题的核心是理解每次喝的纯果汁量随剩余纯果汁量变化的规律，通过分数乘法逐步计算每次的纯果汁摄入量；计算水量时利用“总液体量-纯果汁量”的思路，简化了计算过程，避免了分步计算水的繁琐，考查了学生对分数运算的灵活运用能力。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，我们可以分两部分思考：一是计算喝的纯果汁总量，二是计算喝的水的总量。
1. 纯果汁部分：因为一开始是纯果汁，每次喝半杯后加满水，所以每次喝的纯果汁是当时杯子里剩余纯果汁的$\frac{1}{2}$。第一次直接喝$\frac{1}{2}$杯纯果汁；第一次喝完后剩下$\frac{1}{2}$杯纯果汁，第二次喝的半杯里纯果汁是$\frac{1}{2}$的$\frac{1}{2}$；第二次喝完后剩下$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$杯纯果汁，第三次喝的半杯里纯果汁是$\frac{1}{4}$的$\frac{1}{2}$，把这三次的纯果汁量相加就是总纯果汁量。
2. 水的部分：每次喝半杯，一共喝了3次，总液体量是$3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$杯，用总液体量减去喝的纯果汁量，就能得到喝的水的量，这样比分步算水更简便。
【解析】
计算纯果汁总量：
第一次喝的纯果汁：$\frac{1}{2}$杯
第二次喝的纯果汁：$(1-\frac{1}{2})×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$杯
第三次喝的纯果汁：$(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4})×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$杯
总纯果汁量：$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}+\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$杯
计算水的总量：
总共喝的液体量：$\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$杯
总水量：$\frac{3}{2}-\frac{7}{8}=\frac{12}{8}-\frac{7}{8}=\frac{5}{8}$杯
答：小舟一共喝了$\frac{7}{8}$杯纯果汁，$\frac{5}{8}$杯水。
【答案】
$\frac{7}{8}$；$\frac{5}{8}$
【知识点】
分数乘法应用、分数加减法运算、分数复合应用题
【点评】
本题的核心是理解每次喝的纯果汁量随剩余纯果汁量变化的规律，通过分数乘法逐步计算每次的纯果汁摄入量；计算水量时利用“总液体量-纯果汁量”的思路，简化了计算过程，避免了分步计算水的繁琐，考查了学生对分数运算的灵活运用能力。
【难度系数】
0.4
(1)嵊州竹编是国家级非物质文化遗产项目之一，一位嵊州竹编手艺传承人用$72\mathrm{dm}$长的竹条编制了一个长方体工艺品框架，已知它的长、宽、高是连续的三个偶数，则这个长方体工艺品框架的长、宽、高分别是()。
A.$6\mathrm{dm}$，$4\mathrm{dm}$，$2\mathrm{dm}$
B.$8\mathrm{dm}$，$6\mathrm{dm}$，$4\mathrm{dm}$
C.$10\mathrm{dm}$，$8\mathrm{dm}$，$6\mathrm{dm}$
D.$26\mathrm{dm}$，$24\mathrm{dm}$，$22\mathrm{dm}$
A.$6\mathrm{dm}$，$4\mathrm{dm}$，$2\mathrm{dm}$
B.$8\mathrm{dm}$，$6\mathrm{dm}$，$4\mathrm{dm}$
C.$10\mathrm{dm}$，$8\mathrm{dm}$，$6\mathrm{dm}$
D.$26\mathrm{dm}$，$24\mathrm{dm}$，$22\mathrm{dm}$
答案
B
解析
根据长方体棱长总和公式，长+宽+高=棱长总和÷4=72÷4=18(dm)。依次计算各选项的长、宽、高之和：A选项6+4+2=12(dm)≠18(dm)；B选项8+6+4=18(dm)，且是连续三个偶数；C选项10+8+6=24(dm)≠18(dm)；D选项26+24+22=72(dm)≠18(dm)。因此符合条件的是B选项。
(2)小嘉在一条板凳上做摆卡片游戏(如左下图)，他用三种摆法都正好从板凳的一端摆到另一端而无剩余。如果卡片长$18\mathrm{cm}$，宽$12\mathrm{cm}$，那么板凳至少长()$\mathrm{cm}$。
A.$36$
B.$72$
C.$90$
D.$180$
A.$36$
B.$72$
C.$90$
D.$180$
答案
D
解析
要使三种摆法都正好摆完，板凳长度需同时是18、12、18+12=30的公倍数。分解质因数：18=2×3²，12=2²×3，30=2×3×5，三者的最小公倍数为2²×3²×5=180，即板凳至少长180cm。
(3)如右上图，用$27$个棱长为$1\mathrm{cm}$的小正方体拼成大正方体，再从一个顶点处拿走$1$个小正方体后，把剩下的几何体涂上颜色，剩下的几何体中三面涂色的小正方体的个数是()。
A.$8$
B.$9$
C.$10$
D.$11$
A.$8$
B.$9$
C.$10$
D.$11$
答案
C
解析
首先，由27个小正方体拼成的是3×3×3的大正方体，原本三面涂色的小正方体是8个顶点处的。从一个顶点拿走1个小正方体后，原有的7个顶点小正方体仍为三面涂色；同时，与被拿走小正方体相邻的3个棱中间的小正方体，因新的面暴露，变为三面涂色。总计三面涂色的小正方体个数为7+3=10个。
