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3. 解方程。
$x+\frac{3}{5}=\frac{7}{8}$
$1\frac{1}{4}-x=\frac{2}{5}$
$2(x+\frac{5}{6}) = 8$
$x+\frac{3}{5}=\frac{7}{8}$
$1\frac{1}{4}-x=\frac{2}{5}$
$2(x+\frac{5}{6}) = 8$
答案
解：
$x=\frac{7}{8}-\frac{3}{5}$
$x=\frac{35}{40}-\frac{24}{40}$
$x=\frac{11}{40}$
解：
$1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$
$x=\frac{5}{4}-\frac{2}{5}$
$x=\frac{25}{20}-\frac{8}{20}$
$x=\frac{17}{20}$
解：
$x+\frac{5}{6}=8÷2$
$x+\frac{5}{6}=4$
$x=4-\frac{5}{6}$
$x=\frac{24}{6}-\frac{5}{6}$
$x=\frac{19}{6}$
$x=\frac{7}{8}-\frac{3}{5}$
$x=\frac{35}{40}-\frac{24}{40}$
$x=\frac{11}{40}$
解：
$1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$
$x=\frac{5}{4}-\frac{2}{5}$
$x=\frac{25}{20}-\frac{8}{20}$
$x=\frac{17}{20}$
解：
$x+\frac{5}{6}=8÷2$
$x+\frac{5}{6}=4$
$x=4-\frac{5}{6}$
$x=\frac{24}{6}-\frac{5}{6}$
$x=\frac{19}{6}$
解析
【分析】
这是三道一元一次方程求解的题目，解题核心是利用等式的基本性质，逐步将方程变形为$x=$某个数的形式：
1. 对于方程$x+\frac{3}{5}=\frac{7}{8}$，根据“等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立”，只需在等式两边同时减去$\frac{3}{5}$，即可得到$x$的表达式，再通过分数通分计算出结果。
2. 对于方程$1\frac{1}{4}-x=\frac{2}{5}$，先将带分数$1\frac{1}{4}$化为假分数，再根据“减数=被减数-差”，将方程变形为$x=1\frac{1}{4}-\frac{2}{5}$，最后通分计算分数减法得到$x$的值。
3. 对于方程$2(x+\frac{5}{6}) = 8$，先根据“等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立”，两边同时除以2，去掉括号外的系数，得到$x+\frac{5}{6}=4$，再按照第一题的方法，两边同时减去$\frac{5}{6}$，通分计算得出$x$的值。
【解析】
1. 解方程$x+\frac{3}{5}=\frac{7}{8}$：
$\begin{aligned}x&=\frac{7}{8}-\frac{3}{5}\\x&=\frac{35}{40}-\frac{24}{40}\\x&=\frac{11}{40}\end{aligned}$
2. 解方程$1\frac{1}{4}-x=\frac{2}{5}$：
$\begin{aligned}1\frac{1}{4}&=\frac{5}{4}\\x&=\frac{5}{4}-\frac{2}{5}\\x&=\frac{25}{20}-\frac{8}{20}\\x&=\frac{17}{20}\end{aligned}$
3. 解方程$2(x+\frac{5}{6}) = 8$：
$\begin{aligned}x+\frac{5}{6}&=8÷2\\x+\frac{5}{6}&=4\\x&=4-\frac{5}{6}\\x&=\frac{24}{6}-\frac{5}{6}\\x&=\frac{19}{6}\end{aligned}$
【答案】
$x=\frac{11}{40}$；$x=\frac{17}{20}$；$x=\frac{19}{6}$
【知识点】
等式的基本性质、分数加减法运算、带分数与假分数互化
【点评】
本题考查一元一次方程的基础解法，重点在于灵活运用等式性质对方程进行变形，同时需要熟练掌握分数通分、带分数与假分数互化的运算技巧，计算过程中需注意通分的准确性，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
这是三道一元一次方程求解的题目，解题核心是利用等式的基本性质，逐步将方程变形为$x=$某个数的形式：
1. 对于方程$x+\frac{3}{5}=\frac{7}{8}$，根据“等式两边同时减去同一个数，等式仍然成立”，只需在等式两边同时减去$\frac{3}{5}$，即可得到$x$的表达式，再通过分数通分计算出结果。
2. 对于方程$1\frac{1}{4}-x=\frac{2}{5}$，先将带分数$1\frac{1}{4}$化为假分数，再根据“减数=被减数-差”，将方程变形为$x=1\frac{1}{4}-\frac{2}{5}$，最后通分计算分数减法得到$x$的值。
3. 对于方程$2(x+\frac{5}{6}) = 8$，先根据“等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍然成立”，两边同时除以2，去掉括号外的系数，得到$x+\frac{5}{6}=4$，再按照第一题的方法，两边同时减去$\frac{5}{6}$，通分计算得出$x$的值。
【解析】
1. 解方程$x+\frac{3}{5}=\frac{7}{8}$：
$\begin{aligned}x&=\frac{7}{8}-\frac{3}{5}\\x&=\frac{35}{40}-\frac{24}{40}\\x&=\frac{11}{40}\end{aligned}$
2. 解方程$1\frac{1}{4}-x=\frac{2}{5}$：
$\begin{aligned}1\frac{1}{4}&=\frac{5}{4}\\x&=\frac{5}{4}-\frac{2}{5}\\x&=\frac{25}{20}-\frac{8}{20}\\x&=\frac{17}{20}\end{aligned}$
3. 解方程$2(x+\frac{5}{6}) = 8$：
$\begin{aligned}x+\frac{5}{6}&=8÷2\\x+\frac{5}{6}&=4\\x&=4-\frac{5}{6}\\x&=\frac{24}{6}-\frac{5}{6}\\x&=\frac{19}{6}\end{aligned}$
【答案】
$x=\frac{11}{40}$；$x=\frac{17}{20}$；$x=\frac{19}{6}$
【知识点】
等式的基本性质、分数加减法运算、带分数与假分数互化
【点评】
本题考查一元一次方程的基础解法，重点在于灵活运用等式性质对方程进行变形，同时需要熟练掌握分数通分、带分数与假分数互化的运算技巧，计算过程中需注意通分的准确性，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
4. 李老师家要装修书房(如下图)，地面准备铺方砖。下面有三种不同规格的方砖，选择哪种方砖才能正好铺满(不能有剩余)?至少要用多少块这种方砖?
A种规格：$5\mathrm{dm}×5\mathrm{dm}$
B种规格：$6\mathrm{dm}×6\mathrm{dm}$
C种规格：$8\mathrm{dm}×8\mathrm{dm}$
A种规格：$5\mathrm{dm}×5\mathrm{dm}$
B种规格：$6\mathrm{dm}×6\mathrm{dm}$
C种规格：$8\mathrm{dm}×8\mathrm{dm}$
答案
36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36
30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30
36和30的公因数有1、2、3、6，故选择B种规格的方砖。
36÷6=6（块）
30÷6=5（块）
6×5=30（块）
答：选择B种规格的方砖才能正好铺满，至少要用30块这种方砖。
30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30
36和30的公因数有1、2、3、6，故选择B种规格的方砖。
36÷6=6（块）
30÷6=5（块）
6×5=30（块）
答：选择B种规格的方砖才能正好铺满，至少要用30块这种方砖。
解析
【分析】
要想正好铺满书房地面且没有剩余，方砖的边长必须是书房长（36dm）和宽（30dm）的公因数，因为只有这样，长和宽都能被方砖边长整除，不会有剩余。所以我们先找出36和30的所有因数，再确定它们的公因数，对比三种方砖的边长，找到符合条件的方砖；之后分别计算长和宽方向各能铺多少块方砖，两者相乘就是总共需要的方砖块数。
【解析】
1. 找出36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36
2. 找出30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30
3. 确定36和30的公因数：1、2、3、6，对比三种方砖的边长，只有B种方砖的边长6dm是它们的公因数，所以选择B种规格的方砖。
4. 计算长方向可铺的块数：$36÷6=6$（块）
5. 计算宽方向可铺的块数：$30÷6=5$（块）
6. 计算总块数：$6×5=30$（块）
答：选择B种规格的方砖才能正好铺满，至少要用30块这种方砖。
【答案】
选择B种规格的方砖才能正好铺满，至少要用30块这种方砖。
【知识点】
公因数的应用、铺砖问题
【点评】
本题考查公因数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正好铺满无剩余”的条件是方砖边长为地面长和宽的公因数，通过因数、公因数的计算确定合适的方砖，再结合除法和乘法计算所需块数，提升了将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
要想正好铺满书房地面且没有剩余，方砖的边长必须是书房长（36dm）和宽（30dm）的公因数，因为只有这样，长和宽都能被方砖边长整除，不会有剩余。所以我们先找出36和30的所有因数，再确定它们的公因数，对比三种方砖的边长，找到符合条件的方砖；之后分别计算长和宽方向各能铺多少块方砖，两者相乘就是总共需要的方砖块数。
【解析】
1. 找出36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36
2. 找出30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30
3. 确定36和30的公因数：1、2、3、6，对比三种方砖的边长，只有B种方砖的边长6dm是它们的公因数，所以选择B种规格的方砖。
4. 计算长方向可铺的块数：$36÷6=6$（块）
5. 计算宽方向可铺的块数：$30÷6=5$（块）
6. 计算总块数：$6×5=30$（块）
答：选择B种规格的方砖才能正好铺满，至少要用30块这种方砖。
【答案】
选择B种规格的方砖才能正好铺满，至少要用30块这种方砖。
【知识点】
公因数的应用、铺砖问题
【点评】
本题考查公因数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正好铺满无剩余”的条件是方砖边长为地面长和宽的公因数，通过因数、公因数的计算确定合适的方砖，再结合除法和乘法计算所需块数，提升了将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.8
5. 小温将右图所示的长方体石块$(a＞b＞c)$放入一圆柱形玻璃水槽内，并向水槽内匀速注水，速度为$v$立方厘米/秒，直到注满水槽为止。石块可以用三种不同的方式完全放入水槽内，如图①～③所示。在这三种情况下，水槽内的水深$h$(单位：厘米)与注水时间$t$(单位：秒)的关系如图④～⑥所示。根据图象回答下列问题。
(1)请分别将三种放置方式的示意图和与之相对应的关系图象用线连起来。
(2)水槽的高为()厘米。从这三种放置方式的示意图和与之相对应的关系图象中找出这个长方体石块的长、宽、高，并求出它的体积。
(1)请分别将三种放置方式的示意图和与之相对应的关系图象用线连起来。
(2)水槽的高为()厘米。从这三种放置方式的示意图和与之相对应的关系图象中找出这个长方体石块的长、宽、高，并求出它的体积。
答案
(1) 连线：
①与④相连，②与⑥相连，③与⑤相连
(2) 10
$a=10$厘米，$b=9$厘米，$c=6$厘米
体积：$10×9×6=540$（立方厘米）
答：水槽的高为10厘米，长方体石块的长是10厘米，宽是9厘米，高是6厘米，体积是540立方厘米。
①与④相连，②与⑥相连，③与⑤相连
(2) 10
$a=10$厘米，$b=9$厘米，$c=6$厘米
体积：$10×9×6=540$（立方厘米）
答：水槽的高为10厘米，长方体石块的长是10厘米，宽是9厘米，高是6厘米，体积是540立方厘米。
解析
【分析】
(1) 解题思路：长方体石块三种放置方式的底面积不同（$S_{①}=ab$、$S_{②}=ac$、$S_{③}=bc$，且$ab＞ac＞bc$）。注水时，水没过石块前，水槽有效底面积为水槽底面积减去石块底面积，石块底面积越大，有效底面积越小，相同注水速度下水深上升越快（图像斜率越大）；同时，石块放置的高度决定了水没过石块时的水深（即图像第一段的终点水深）：①的高度为$c$，②的高度为$b$，③的高度为$a$。结合图像特征：④的第一段终点水深为6，对应高度$c$；⑥的第一段终点水深为9，对应高度$b$；⑤无第二段（直接到水槽高度），对应石块高度等于水槽高度$a=10$，据此完成连线。
(2) 解题思路：观察三个图像的最终水深，可知水槽的高为10厘米。根据石块不同放置方式对应的图像，水没过石块时的水深即为石块该放置方式下的高度，结合$a＞b＞c$确定长、宽、高，再用长方体体积公式计算体积。
【解析】
(1) 连线如下：
①与④相连，②与⑥相连，③与⑤相连。
(2) ①观察水深与时间的关系图，三种情况下最终水深均为10厘米，因此水槽的高为10厘米。
②分析对应图像：
放置方式①对应图像④，水没过石块时水深为6厘米，即石块此放置方式的高度$c=6$厘米；
放置方式②对应图像⑥，水没过石块时水深为9厘米，即石块此放置方式的高度$b=9$厘米；
放置方式③对应图像⑤，水没过石块时水深为10厘米（与水槽高度相同），即石块此放置方式的高度$a=10$厘米；
③长方体石块体积：$V = a×b×c = 10×9×6 = 540$（立方厘米）。
答：水槽的高为10厘米，长方体石块的长是10厘米，宽是9厘米，高是6厘米，体积是540立方厘米。
【答案】
(1) ①与④相连，②与⑥相连，③与⑤相连
(2) 10；长10厘米，宽9厘米，高6厘米；体积540立方厘米
【知识点】
1. 长方体体积计算
2. 函数图像实际应用
3. 数形结合思想
【点评】
本题结合几何图形与函数图像，考查长方体体积公式的应用及对函数图像实际意义的理解。解题关键是建立石块放置方式与图像特征的对应关系，通过图像分析几何量的数值，考验学生的数形结合能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
(1) 解题思路：长方体石块三种放置方式的底面积不同（$S_{①}=ab$、$S_{②}=ac$、$S_{③}=bc$，且$ab＞ac＞bc$）。注水时，水没过石块前，水槽有效底面积为水槽底面积减去石块底面积，石块底面积越大，有效底面积越小，相同注水速度下水深上升越快（图像斜率越大）；同时，石块放置的高度决定了水没过石块时的水深（即图像第一段的终点水深）：①的高度为$c$，②的高度为$b$，③的高度为$a$。结合图像特征：④的第一段终点水深为6，对应高度$c$；⑥的第一段终点水深为9，对应高度$b$；⑤无第二段（直接到水槽高度），对应石块高度等于水槽高度$a=10$，据此完成连线。
(2) 解题思路：观察三个图像的最终水深，可知水槽的高为10厘米。根据石块不同放置方式对应的图像，水没过石块时的水深即为石块该放置方式下的高度，结合$a＞b＞c$确定长、宽、高，再用长方体体积公式计算体积。
【解析】
(1) 连线如下：
①与④相连，②与⑥相连，③与⑤相连。
(2) ①观察水深与时间的关系图，三种情况下最终水深均为10厘米，因此水槽的高为10厘米。
②分析对应图像：
放置方式①对应图像④，水没过石块时水深为6厘米，即石块此放置方式的高度$c=6$厘米；
放置方式②对应图像⑥，水没过石块时水深为9厘米，即石块此放置方式的高度$b=9$厘米；
放置方式③对应图像⑤，水没过石块时水深为10厘米（与水槽高度相同），即石块此放置方式的高度$a=10$厘米；
③长方体石块体积：$V = a×b×c = 10×9×6 = 540$（立方厘米）。
答：水槽的高为10厘米，长方体石块的长是10厘米，宽是9厘米，高是6厘米，体积是540立方厘米。
【答案】
(1) ①与④相连，②与⑥相连，③与⑤相连
(2) 10；长10厘米，宽9厘米，高6厘米；体积540立方厘米
【知识点】
1. 长方体体积计算
2. 函数图像实际应用
3. 数形结合思想
【点评】
本题结合几何图形与函数图像，考查长方体体积公式的应用及对函数图像实际意义的理解。解题关键是建立石块放置方式与图像特征的对应关系，通过图像分析几何量的数值，考验学生的数形结合能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.4
