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4 右图所示的网格是由边长为 1 cm 的小正方形组成的。
(1)图形 2 是由图形 1 先向右平移 7 格,再绕点 A 按()时针方向旋转()°得到的。
(2)在图形 1 中标出点 A 的位置。
(3)一个由小正方体搭成的几何体,如果从正面和上面看到的都是图形 1,那么这个几何体的表面积最小是()cm²。
(1)图形 2 是由图形 1 先向右平移 7 格,再绕点 A 按()时针方向旋转()°得到的。
(2)在图形 1 中标出点 A 的位置。
(3)一个由小正方体搭成的几何体,如果从正面和上面看到的都是图形 1,那么这个几何体的表面积最小是()cm²。
答案
(1) 顺；90
(2) 在图形1最下方一行最右侧小正方形的右下角顶点处标注点A。
(3)
$4×6=24$（个）
$2×3=6$（个）
$24-6=18$（$\mathrm{cm}^2$）
答：18。
(2) 在图形1最下方一行最右侧小正方形的右下角顶点处标注点A。
(3)
$4×6=24$（个）
$2×3=6$（个）
$24-6=18$（$\mathrm{cm}^2$）
答：18。
解析
【分析】
1. 第(1)题：先确定图形1向右平移7格后的位置，对比图形2的形状与方向，结合旋转的特征，可判断出旋转方向和角度，图形1平移后绕点A顺时针旋转90°能与图形2重合。
2. 第(2)题：依据旋转中心是图形旋转时的固定点，结合图形1旋转得到图形2的对应关系，可确定点A在图形1的具体位置。
3. 第(3)题：根据正面和上面的视图都是图形1，明确几何体的基础结构，要使表面积最小，需让小正方体重合面最多，先计算总表面积，再减去重合面的面积得到结果。
【解析】
(1) 观察图形可得，图形1向右平移7格后，绕点A按顺时针方向旋转90°可得到图形2，故填顺、90。
(2) 在图形1最下方一行最右侧小正方形的右下角顶点处标注点A（标注位置参考对应图示）。
(3) 要使几何体表面积最小，需让重合面最多，此时几何体由4个小正方体组成：
① 计算4个小正方体的总表面积：每个小正方体每个面面积为$1×1=1\mathrm{cm}^2$，总表面积为$4×6×1=24\mathrm{cm}^2$；
② 计算重合面的总面积：底层3个小正方体有2处相邻重合，上方小正方体与底层左侧小正方体重合，共重合$3×2=6$个面，重合面总面积为$6×1=6\mathrm{cm}^2$；
③ 计算最小表面积：$24-6=18\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 顺；90
(2) 在图形1最下方一行最右侧小正方形的右下角顶点处标注点A（标注略）
(3) 18
【知识点】
图形平移与旋转；根据视图确定几何体；几何体表面积计算
【点评】
本题综合考查图形变换、视图与几何体的关系及表面积计算，需要学生具备空间想象能力，解题时要结合图形特征和空间结构分析，理清重合面的数量是计算最小表面积的关键。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)题：先确定图形1向右平移7格后的位置，对比图形2的形状与方向，结合旋转的特征，可判断出旋转方向和角度，图形1平移后绕点A顺时针旋转90°能与图形2重合。
2. 第(2)题：依据旋转中心是图形旋转时的固定点，结合图形1旋转得到图形2的对应关系，可确定点A在图形1的具体位置。
3. 第(3)题：根据正面和上面的视图都是图形1，明确几何体的基础结构，要使表面积最小，需让小正方体重合面最多，先计算总表面积，再减去重合面的面积得到结果。
【解析】
(1) 观察图形可得，图形1向右平移7格后，绕点A按顺时针方向旋转90°可得到图形2，故填顺、90。
(2) 在图形1最下方一行最右侧小正方形的右下角顶点处标注点A（标注位置参考对应图示）。
(3) 要使几何体表面积最小，需让重合面最多，此时几何体由4个小正方体组成：
① 计算4个小正方体的总表面积：每个小正方体每个面面积为$1×1=1\mathrm{cm}^2$，总表面积为$4×6×1=24\mathrm{cm}^2$；
② 计算重合面的总面积：底层3个小正方体有2处相邻重合，上方小正方体与底层左侧小正方体重合，共重合$3×2=6$个面，重合面总面积为$6×1=6\mathrm{cm}^2$；
③ 计算最小表面积：$24-6=18\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 顺；90
(2) 在图形1最下方一行最右侧小正方形的右下角顶点处标注点A（标注略）
(3) 18
【知识点】
图形平移与旋转；根据视图确定几何体；几何体表面积计算
【点评】
本题综合考查图形变换、视图与几何体的关系及表面积计算，需要学生具备空间想象能力，解题时要结合图形特征和空间结构分析，理清重合面的数量是计算最小表面积的关键。
【难度系数】
0.6
5 王叔叔利用互联网线上销售水果,第一周卖出各种水果$\frac{13}{20}$t,比第二周少卖出$\frac{1}{5}$t。这两周一共卖出多少吨水果?
答案
$\frac{13}{20} + \frac{1}{5} = \frac{17}{20}$（吨）
$\frac{13}{20} + \frac{17}{20} = \frac{3}{2}$（吨）
答：这两周一共卖出$\frac{3}{2}$吨水果。
$\frac{13}{20} + \frac{17}{20} = \frac{3}{2}$（吨）
答：这两周一共卖出$\frac{3}{2}$吨水果。
解析
【分析】
要解决这两周一共卖出多少吨水果的问题，首先需要求出第二周卖出的水果吨数。已知第一周卖出$\frac{13}{20}$t，且第一周比第二周少卖出$\frac{1}{5}$t，那么第二周卖出的量就是第一周的销量加上第一周比第二周少卖的量。求出第二周的销量后，再将两周的销量相加，就能得到两周一共卖出的水果总量。
【解析】
1. 计算第二周卖出的水果吨数：
因为第一周比第二周少卖出$\frac{1}{5}$t，所以第二周卖出的量为第一周的量加上$\frac{1}{5}$t，即：
$\frac{13}{20} + \frac{1}{5} = \frac{13}{20} + \frac{4}{20} = \frac{17}{20}$（吨）
2. 计算两周一共卖出的水果吨数：
将第一周和第二周的销量相加：
$\frac{13}{20} + \frac{17}{20} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}$（吨）
答：这两周一共卖出$\frac{3}{2}$吨水果。
【答案】
$\frac{3}{2}$吨
【知识点】
1. 异分母分数加减法
2. 分数应用题数量关系
【点评】
本题属于基础的分数加减法应用题，关键是理清“第一周比第二周少卖出$\frac{1}{5}$t”这一数量关系，准确求出第二周的销量。计算时需注意异分母分数相加减要先通分，化为同分母分数后再进行计算。
【难度系数】
0.8
要解决这两周一共卖出多少吨水果的问题，首先需要求出第二周卖出的水果吨数。已知第一周卖出$\frac{13}{20}$t，且第一周比第二周少卖出$\frac{1}{5}$t，那么第二周卖出的量就是第一周的销量加上第一周比第二周少卖的量。求出第二周的销量后，再将两周的销量相加，就能得到两周一共卖出的水果总量。
【解析】
1. 计算第二周卖出的水果吨数：
因为第一周比第二周少卖出$\frac{1}{5}$t，所以第二周卖出的量为第一周的量加上$\frac{1}{5}$t，即：
$\frac{13}{20} + \frac{1}{5} = \frac{13}{20} + \frac{4}{20} = \frac{17}{20}$（吨）
2. 计算两周一共卖出的水果吨数：
将第一周和第二周的销量相加：
$\frac{13}{20} + \frac{17}{20} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}$（吨）
答：这两周一共卖出$\frac{3}{2}$吨水果。
【答案】
$\frac{3}{2}$吨
【知识点】
1. 异分母分数加减法
2. 分数应用题数量关系
【点评】
本题属于基础的分数加减法应用题，关键是理清“第一周比第二周少卖出$\frac{1}{5}$t”这一数量关系，准确求出第二周的销量。计算时需注意异分母分数相加减要先通分，化为同分母分数后再进行计算。
【难度系数】
0.8
6 有一堆乒乓球,4 个 4 个地数,余 3 个,5 个 5 个地数,余 4 个。这堆乒乓球最少有多少个?
答案
4×5=20（个）
20-1=19（个）
答：这堆乒乓球最少有19个。
20-1=19（个）
答：这堆乒乓球最少有19个。
解析
【分析】
首先观察余数与除数的关系：4个4个地数余3个，说明乒乓球数量比4的倍数少1；5个5个地数余4个，说明乒乓球数量比5的倍数少1。由此可推断，乒乓球数量加1后就是4和5的公倍数。要求最少数量，只需先求出4和5的最小公倍数，再减去1即可。
【解析】
1. 计算4和5的最小公倍数：
因为4和5是互质数，互质数的最小公倍数为它们的乘积，即 $4×5=20$（个）。
2. 计算乒乓球的最少数量：
乒乓球数量比4和5的最小公倍数少1，所以 $20-1=19$（个）。
答：这堆乒乓球最少有19个。
【答案】
19个
【知识点】
1. 最小公倍数应用
2. 余数问题转化
【点评】
本题考查余数与倍数关系的逻辑转化，解题关键是发现乒乓球数量与4、5公倍数的关联，锻炼学生的转化思维能力，属于基础拓展类题目。
【难度系数】
0.6
首先观察余数与除数的关系：4个4个地数余3个，说明乒乓球数量比4的倍数少1；5个5个地数余4个，说明乒乓球数量比5的倍数少1。由此可推断，乒乓球数量加1后就是4和5的公倍数。要求最少数量，只需先求出4和5的最小公倍数，再减去1即可。
【解析】
1. 计算4和5的最小公倍数：
因为4和5是互质数，互质数的最小公倍数为它们的乘积，即 $4×5=20$（个）。
2. 计算乒乓球的最少数量：
乒乓球数量比4和5的最小公倍数少1，所以 $20-1=19$（个）。
答：这堆乒乓球最少有19个。
【答案】
19个
【知识点】
1. 最小公倍数应用
2. 余数问题转化
【点评】
本题考查余数与倍数关系的逻辑转化，解题关键是发现乒乓球数量与4、5公倍数的关联，锻炼学生的转化思维能力，属于基础拓展类题目。
【难度系数】
0.6
7 体育老师对小杭和小温进行了 1 分钟仰卧起坐测试,下图所示为他们五次测试成绩的统计图。
(1)小杭和小温第()次成绩相差最大,第()次成绩相同。
(2)小杭成绩上升得最快的是第()次。
(3)小温第二次仰卧起坐的数量是小杭第二次仰卧起坐数量的几分之几?
(1)小杭和小温第()次成绩相差最大,第()次成绩相同。
(2)小杭成绩上升得最快的是第()次。
(3)小温第二次仰卧起坐的数量是小杭第二次仰卧起坐数量的几分之几?
答案
(1)
$25-12=13$（个）
$28-20=8$（个）
$33-18=15$（个）
$30-30=0$（个）
$41-35=6$（个）
答：三；四
(2)
$20-12=8$（个）
$18-20=-2$（个）
$30-18=12$（个）
$41-30=11$（个）
答：四
(3)
$28÷20=\frac{7}{5}$
答：小温第二次仰卧起坐的数量是小杭第二次仰卧起坐数量的$\frac{7}{5}$。
$25-12=13$（个）
$28-20=8$（个）
$33-18=15$（个）
$30-30=0$（个）
$41-35=6$（个）
答：三；四
(2)
$20-12=8$（个）
$18-20=-2$（个）
$30-18=12$（个）
$41-30=11$（个）
答：四
(3)
$28÷20=\frac{7}{5}$
答：小温第二次仰卧起坐的数量是小杭第二次仰卧起坐数量的$\frac{7}{5}$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：要找出成绩相差最大和相同的次数，需分别计算每次测试两人成绩的差值，通过比较差值大小，差值最大的对应相差最大的次数，差值为0的对应成绩相同的次数。
2. 第(2)问：要找小杭成绩上升最快的次数，需计算小杭每次测试与前一次的成绩变化量，正数表示上升，比较上升数值的大小，最大的那次就是上升最快的。
3. 第(3)问：求小温第二次成绩是小杭第二次成绩的几分之几，根据分数的意义，用小温第二次的成绩除以小杭第二次的成绩，化简结果即可。
【解析】
(1) 计算每次两人成绩的差值：
第一次：$25-12=13$（个）
第二次：$28-20=8$（个）
第三次：$33-18=15$（个）
第四次：$30-30=0$（个）
第五次：$41-35=6$（个）
比较差值大小：$15＞13＞8＞6＞0$，可知第三次相差最大，第四次成绩相同。
(2) 计算小杭每次成绩的变化量：
第二次与第一次：$20-12=8$（个）
第三次与第二次：$18-20=-2$（个），成绩下降
第四次与第三次：$30-18=12$（个）
第五次与第四次：$41-30=11$（个）
比较上升数值：$12＞11＞8$，可知小杭成绩上升得最快的是第四次。
(3) 小温第二次成绩为28个，小杭第二次成绩为20个，列式计算：
$28÷20=\frac{28}{20}=\frac{7}{5}$
【答案】
(1) 三；四
(2) 四
(3) $\frac{7}{5}$
【知识点】
折线统计图分析、分数的意义、整数运算
【点评】
本题考查折线统计图的解读与运用，通过计算成绩差值、变化量及分数除法，考查学生的数据分析能力与基本运算能力，解题关键是准确提取统计图中的数据并进行正确计算。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：要找出成绩相差最大和相同的次数，需分别计算每次测试两人成绩的差值，通过比较差值大小，差值最大的对应相差最大的次数，差值为0的对应成绩相同的次数。
2. 第(2)问：要找小杭成绩上升最快的次数，需计算小杭每次测试与前一次的成绩变化量，正数表示上升，比较上升数值的大小，最大的那次就是上升最快的。
3. 第(3)问：求小温第二次成绩是小杭第二次成绩的几分之几，根据分数的意义，用小温第二次的成绩除以小杭第二次的成绩，化简结果即可。
【解析】
(1) 计算每次两人成绩的差值：
第一次：$25-12=13$（个）
第二次：$28-20=8$（个）
第三次：$33-18=15$（个）
第四次：$30-30=0$（个）
第五次：$41-35=6$（个）
比较差值大小：$15＞13＞8＞6＞0$，可知第三次相差最大，第四次成绩相同。
(2) 计算小杭每次成绩的变化量：
第二次与第一次：$20-12=8$（个）
第三次与第二次：$18-20=-2$（个），成绩下降
第四次与第三次：$30-18=12$（个）
第五次与第四次：$41-30=11$（个）
比较上升数值：$12＞11＞8$，可知小杭成绩上升得最快的是第四次。
(3) 小温第二次成绩为28个，小杭第二次成绩为20个，列式计算：
$28÷20=\frac{28}{20}=\frac{7}{5}$
【答案】
(1) 三；四
(2) 四
(3) $\frac{7}{5}$
【知识点】
折线统计图分析、分数的意义、整数运算
【点评】
本题考查折线统计图的解读与运用，通过计算成绩差值、变化量及分数除法，考查学生的数据分析能力与基本运算能力，解题关键是准确提取统计图中的数据并进行正确计算。
【难度系数】
0.7
8 一个长方体鱼缸,从里面量长 50 cm,宽 25 cm,高 35 cm。向鱼缸里注入 37 L 水后,又放入一些鹅卵石,此时水面距缸口还有 5 cm,放入鹅卵石的体积是多少立方分米?
答案
50cm=5dm，25cm=2.5dm，35cm=3.5dm，5cm=0.5dm
3.5-0.5=3(dm)
5×2.5×3=37.5(dm³)
37L=37dm³
37.5-37=0.5(dm³)
答：放入鹅卵石的体积是0.5立方分米。
3.5-0.5=3(dm)
5×2.5×3=37.5(dm³)
37L=37dm³
37.5-37=0.5(dm³)
答：放入鹅卵石的体积是0.5立方分米。
解析
【分析】
要计算放入鹅卵石的体积，我们可以利用“排水法”的思路：鹅卵石的体积等于放入鹅卵石后水与鹅卵石的总体积减去注入水的体积。首先需要统一单位，将题目中的厘米换算成分米、升换算成立方分米，方便计算；接着求出放入鹅卵石后水面的高度（鱼缸总高度减去水面距缸口的距离）；再根据长方体体积公式计算出此时水和鹅卵石的总体积；最后用总体积减去注入水的体积，就能得到鹅卵石的体积。
【解析】
1. 单位换算：
$50\mathrm{cm}=5\mathrm{dm}$，$25\mathrm{cm}=2.5\mathrm{dm}$，$35\mathrm{cm}=3.5\mathrm{dm}$，$5\mathrm{cm}=0.5\mathrm{dm}$，$37\mathrm{L}=37\mathrm{dm}^3$
2. 计算放入鹅卵石后水面的高度：
$3.5 - 0.5 = 3(\mathrm{dm})$
3. 计算水和鹅卵石的总体积（长方体体积公式：$V=长×宽×高$）：
$5×2.5×3 = 37.5(\mathrm{dm}^3)$
4. 计算鹅卵石的体积：
$37.5 - 37 = 0.5(\mathrm{dm}^3)$
答：放入鹅卵石的体积是0.5立方分米。
【答案】
0.5立方分米
【知识点】
长方体体积计算，体积单位换算，排水法求体积
【点评】
本题考查不规则物体体积的计算，核心是运用排水法，明确鹅卵石体积等于水和鹅卵石的总体积减去原有水的体积。解题过程中需注意单位的统一，这是容易出错的关键点，同时要熟练掌握长方体体积公式的应用。
【难度系数】
0.6
要计算放入鹅卵石的体积，我们可以利用“排水法”的思路：鹅卵石的体积等于放入鹅卵石后水与鹅卵石的总体积减去注入水的体积。首先需要统一单位，将题目中的厘米换算成分米、升换算成立方分米，方便计算；接着求出放入鹅卵石后水面的高度（鱼缸总高度减去水面距缸口的距离）；再根据长方体体积公式计算出此时水和鹅卵石的总体积；最后用总体积减去注入水的体积，就能得到鹅卵石的体积。
【解析】
1. 单位换算：
$50\mathrm{cm}=5\mathrm{dm}$，$25\mathrm{cm}=2.5\mathrm{dm}$，$35\mathrm{cm}=3.5\mathrm{dm}$，$5\mathrm{cm}=0.5\mathrm{dm}$，$37\mathrm{L}=37\mathrm{dm}^3$
2. 计算放入鹅卵石后水面的高度：
$3.5 - 0.5 = 3(\mathrm{dm})$
3. 计算水和鹅卵石的总体积（长方体体积公式：$V=长×宽×高$）：
$5×2.5×3 = 37.5(\mathrm{dm}^3)$
4. 计算鹅卵石的体积：
$37.5 - 37 = 0.5(\mathrm{dm}^3)$
答：放入鹅卵石的体积是0.5立方分米。
【答案】
0.5立方分米
【知识点】
长方体体积计算，体积单位换算，排水法求体积
【点评】
本题考查不规则物体体积的计算，核心是运用排水法，明确鹅卵石体积等于水和鹅卵石的总体积减去原有水的体积。解题过程中需注意单位的统一，这是容易出错的关键点，同时要熟练掌握长方体体积公式的应用。
【难度系数】
0.6
