1[2024 盐城盐都区期中]已知AD,AE分别是△ABC的高和中线,若AD=BD=4,CD=1,则△ADE的面积为。

1 3或5 如图1,因为AD = BD = 4,CD = 1,所以BC = BD + CD = 4 + 1 = 5,因为AE是△ABC的中线,所以CE = BE = 2.5,所以DE = CE - CD = 2.5 - 1 = 1.5,因为AD是△ABC的高,所以S_{△ADE} = $\frac{1}{2}$AD·DE = $\frac{1}{2}$×4×1.5 = 3。如图2,因为AD = BD = 4,CD = 1,所以BC = BD - CD = 4 - 1 = 3,因为AE是△ABC的中线,所以CE = BE = 1.5,所以DE = CE + CD = 1.5 + 1 = 2.5,因为AD是△ABC的高,所以S_{△ADE} = $\frac{1}{2}$AD·DE = $\frac{1}{2}$×4×2.5 = 5。综上,△ADE的面积为3或5。

2在△ABC中,∠A=47°,高BE,CF所在直线交于点O,且点E,F不与点C,B重合,求∠BOC的度数。

2 解题思路:本题中由于“高BE，CF所在直线交于点O，且点E，F不与点C，B重合”，因此可排除三角形是直角三角形的可能，故可分两种情况讨论。
解:分两种情况讨论:
①如图1,当交点O在△ABC的内部时,
在△AFC中,∠A = 47°,∠AFC = 90°,
所以∠ACF = 180° - 47° - 90° = 43°。
在△COE中,∠CEO = 90°,∠OCE = 43°,
所以∠COE = 180° - 90° - 43° = 47°,
所以∠BOC = 180° - 47° = 133°。

②如图2,当交点O在△ABC的外部时,
在△AFC中,∠A = 47°,∠AFC = 90°,
所以∠1 = 180° - 90° - 47° = 43°,
所以∠OCE = ∠1 = 43°。
在△CEO中,∠OCE = 43°,∠CEO = 90°,
所以∠EOC = 180° - 90° - 43° = 47°,即∠BOC = 47°。
综上,∠BOC的度数为47°或133°。

3[2024 杭州临平一中月考]如图,在△ABC中,E是BC上的一点,EC=2BE,D是AC的中点。若$S_{△ABC}=12,$则$S_{△ADF}-S_{△BEF}=$。

3 2 因为D是AC的中点,S_{△ABC} = 12,所以S_{△ABD} = $\frac{1}{2}$S_{△ABC} = $\frac{1}{2}$×12 = 6。因为EC = 2BE,所以BE = $\frac{1}{3}$BC,所以S_{△ABE} = $\frac{1}{3}$S_{△ABC} = $\frac{1}{3}$×12 = 4。因为S_{△ABE} - S_{△ABF} = S_{△BEF},S_{△ABD} - S_{△ABF} = S_{△ADF},所以S_{△ADF} - S_{△BEF} = S_{△ABD} - S_{△ABE} = 6 - 4 = 2。
名师点睛
解题关键是利用三角形的面积关系,在高相同的情况下,三角形的面积之间的关系就是底之间的关系,注意数形结合及转化思想的应用。

4[2024 上海交大附中期末]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=7 cm,BC=3 cm,CD为AB边上的高,点E从点B出发,在直线BC上以2 cm/s的速度移动,过点E作BC的垂线交直线CD于点F,当点E运动s时,CF=AB。

4 2或5 因为∠ACB = 90°,所以∠A + ∠CBD = 90°。因为CD为AB边上的高,所以∠CDB = 90°,所以∠BCD + ∠CBD = 90°,所以∠A = ∠BCD。因为∠BCD = ∠ECF,所以∠ECF = ∠A。因为EF⊥BC,所以∠CEF = 90° = ∠ACB。在△CEF和△ACB中,$\begin{cases}∠CEF = ∠ACB, \\∠ECF = ∠A, \\CF = AB,\end{cases}$所以△CEF≌△ACB(AAS),所以CE = AC = 7cm。①如图,当点E沿射线BC方向移动时,BE = CE + BC = 7 + 3 = 10(cm),因为点E从点B出发,在直线BC上以2cm/s的速度移动,所以点E移动了$\frac{10}{2}$ = 5(s)；②如图,当点E沿射线BC的相反方向移动时,BE' = AC - BC = 7 - 3 = 4(cm),因为点E从点B出发,在直线BC上以2cm/s的速度移动,所以点E移动了$\frac{4}{2}$ = 2(s)。综上所述,当点E在直线CB上移动5s或2s时,CF = AB。

5在△ABC中,∠ABC=∠BAC,∠ACB=90°,D为AB的中点,∠EDF=90°,将∠EDF绕点D旋转,它的两边分别交AC,CB(或它们的延长线)于点E,F。当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时(如图1),易得出结论S_{△DEF}+S_{△CEF}= $\frac{1}{2}$S_{△ABC}。当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时(如图2和图3),上述结论是否成立?若成立,请说明理由;若不成立,S_{△DEF},S_{△CEF},S_{△ABC}又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需说明理由。

5 解:在题图2中,结论仍成立。理由如下:
如图,过点D作DM⊥AC于点M,DN⊥BC于点N,

则∠AMD = ∠DME = ∠DNF = ∠MDN = 90°。
因为D为AB的中点,所以AD = BD。
在△ADM和△BDN中,$\begin{cases}∠AMD = ∠BND, \\∠A = ∠B, \\AD = BD,\end{cases}$
所以△ADM≌△BDN(AAS),所以DM = DN。
因为∠MDN = ∠EDF = 90°,
所以∠MDN - ∠EDN = ∠EDF - ∠EDN,
即∠MDE = ∠NDF。
在△DME和△DNF中,$\begin{cases}∠DME = ∠DNF, \\DM = DN, \\∠MDE = ∠NDF,\end{cases}$
所以△DME≌△DNF(ASA),
所以S_{△DME} = S_{△DNF},
所以S_{四边形DMCN} = S_{四边形DECF} = S_{△DEF} + S_{△CEF}。
由题意,知S_{四边形DMCN} = $\frac{1}{2}$S_{△ABC},
所以S_{△DEF} + S_{△CEF} = $\frac{1}{2}$S_{△ABC},
所以在题图2中结论成立。
在题图3中结论不成立,S_{△DEF},S_{△CEF},S_{△ABC}的数量关系是S_{△DEF} - S_{△CEF} = $\frac{1}{2}$S_{△ABC}。