1 [2025 大连月考]如图，亮亮想测量某湖 $ A $，$ B $ 两点之间的距离，他选取了可以直接到达点 $ A $，$ B $ 的一点 $ C $，连接 $ CA $，$ CB $，并作 $ BD // AC $，截取 $ BD = AC $，连接 $ CD $，他说，根据三角形全等的条件，可得 $ △ ABC ≌ △ DCB $，所以 $ AB = CD $。他判定三角形全等的依据是()

A.$ SAS $
B.$ AAS $
C.$ SSS $
D.$ ASA $

1 A 因为 $ BD // AC $，所以 $ ∠ ACB = ∠ DBC $，在 $ △ ABC $ 和 $ △ DCB $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { A C = D B , } \\ { ∠ A C B = ∠ D B C , } \\ { B C = C B , } \end{array} $ 所以 $ △ ABC ≌ △ DCB ( \mathrm{ SAS } ) $，所以 $ A B = C D $。

2 [2024 张家口桥西区期末]如图是嘉淇测量水池 $ AB $ 宽度的方案，下列说法不正确的是()
①过点 $ B $ 作 $ BF ⊥ AB $；②在 $ BF $ 上取 $ C $，$ D $ 两点，使得 $ △ $；③过点 $ D $ 作 $ DE ⊥ BF $；④作射线 $ □ $，交 $ DE $ 于点 $ M $；⑤测量 $ ☆ $ 的长度，即 $ AB $ 的长。

A.$ △ $ 代表 $ BC = CD $
B.$ □ $ 代表 $ AC $
C.$ ☆ $ 代表 $ MD $
D.该方案的依据是 $ SAS $

2 D ①过点 $ B $ 作 $ B F ⊥ A B $。②在 $ B F $ 上取 $ C , D $ 两点，使得 $ B C = C D $，A 项正确。③过点 $ D $ 作 $ D E ⊥ B F $。④作射线 $ A C $，交 $ D E $ 于点 $ M $，B 项正确。⑤测量 $ M D $ 的长度，即 $ A B $ 的长，C 项正确。因为 $ B F ⊥ A B , D E ⊥ B F $，所以 $ ∠ A B C = ∠ M D C = 9 0 ^ { \circ } $，又因为 $ B C = D C , ∠ A C B = ∠ M C D $，所以 $ △ A B C ≌ △ M D C ( \mathrm{ ASA } ) $，所以 $ A B = M D $，该方案的依据是 ASA，D 项不正确。

3 如图，小明站在点 $ C $ 处看甲、乙两楼楼顶上的点 $ A $ 和点 $ E $。已知 $ C $，$ E $，$ A $ 三点在同一条直线上，$ B $，$ C $ 相距 $ 20 $ 米，$ D $，$ C $ 相距 $ 40 $ 米，乙楼的高 $ BE $ 为 $ 15 $ 米，小明身高忽略不计，$ EF // BC $，$ EF ⊥ AD $，则甲楼的高 $ AD $ 为()

A.$ 20 $ 米
B.$ 30 $ 米
C.$ 40 $ 米
D.$ 45 $ 米

3 B 根据题意，得 $ A D // B E $，所以 $ ∠ F A E = ∠ B E C $。因为 $ E F // B C $，所以 $ ∠ A E F = ∠ E C B $。易知 $ E F = D B = D C - B C = 20 $ 米，所以 $ E F = B C $，所以 $ △ A E F ≌ △ E C B ( \mathrm{ AAS } ) $，所以 $ F A = B E = 1 5 $ 米。易知 $ F D = B E = 1 5 $ 米，所以 $ A D = F A + F D = 30 $ 米。

4 [2025 郑州惠济区期末]如图，为了测量池塘两岸 $ A $，$ B $ 间的距离，在点 $ B $ 同侧选取点 $ C $，经测量 $ ∠ ACB = 40° $，然后在 $ BC $ 的一侧找到一点 $ D $，使得 $ BC $ 为 $ ∠ ABD $ 的平分线，且 $ ∠ DCB = 40° $，若 $ BD $ 的长为 $ 8 $ 米，则池塘两岸 $ A $，$ B $ 两点之间的距离为米。

4 8 因为 $ B C $ 为 $ ∠ A B D $ 的平分线，所以 $ ∠ A B C = ∠ D B C $。因为 $ ∠ A C B = 4 0 ^ { \circ } , ∠ D C B = 4 0 ^ { \circ } $，所以 $ ∠ A C B = ∠ D C B $。在 $ △ A B C $ 和 $ △ D B C $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { ∠ A B C = ∠ D B C , } \\ { B C = B C , } \\ { ∠ A C B = ∠ D C B , } \end{array} $ 所以 $ △ A B C ≌ △ D B C ( \mathrm{ ASA } ) $，所以 $ A B = B D = 8 $ 米，故池塘两岸 $ A , B $ 两点之间的距离为 8 米。

5 [2025 茂名期末]如图，小红要测量池塘 $ A $，$ B $ 两端的距离，她设计了一个测量方案，先在平地上取可以直接到达 $ A $ 点和 $ B $ 点的 $ C $，$ D $ 两点，$ AC $ 与 $ BD $ 相交于点 $ O $，且测得 $ AC = BD = 55 $ m，$ OA = OD = 17 $ m，$ △ COD $ 的周长为 $ 103 $ m，则 $ A $，$ B $ 两端的距离为m。
]

5 48 因为 $ A C = B D , O A = O D $，所以 $ A C - O A = B D - O D $，即 $ O C = O B $。在 $ △ C O D $ 和 $ △ B O A $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { O D = O A , } \\ { ∠ C O D = ∠ B O A , } \\ { O C = O B , } \end{array} $ 所以 $ △ C O D ≌ △ B O A ( \mathrm{ SAS } ) $，所以 $ C D = A B $。因为 $ △ C O D $ 的周长为 103 m，所以 $ O C + O D + C D = O C + O A + C D = 1 0 3 $ m，即 $ A C + C D = 1 0 3 $ m。因为 $ A C = 5 5 $ m，所以 $ C D = 4 8 $ m，所以 $ A B = 48 $ m。

6 [教材 P110 素材变式]如图，传说一位将军率部队在一河边与敌军激战，为了使炮弹准确落在河对岸的敌军阵地上，需要知道河宽，所以将军站在河边点 $ B $ 处，将帽子压低，使视线沿着帽檐（点 $ A $）恰好落在河对岸的边线上的点 $ C $ 处，然后他保持视线方向不变，一步步后退，一直退到视线落在河岸边 $ B $ 处，这时他后退的距离 $ B'B $ 就是河的宽度 $ BC $，请你说明理由。
]

6 解：由题意可知，$ ∠ B ^ { \prime } = ∠ A B C = 9 0 ^ { \circ } , A ^ { \prime } B ^ { \prime } = A B $。在 $ △ A ^ { \prime } B ^ { \prime } B $ 和 $ △ A B C $ 中，$ \{ \begin{array} { l } { ∠ B ^ { \prime } = ∠ A B C , } \\ { A ^ { \prime } B ^ { \prime } = A B , } \\ { ∠ B A ^ { \prime } B ^ { \prime } = ∠ C A B , } \end{array} $ 所以 $ △ A ^ { \prime } B ^ { \prime } B ≌ △ A B C ( \mathrm{ ASA } ) $，所以 $ B ^ { \prime } B = B C $。