1[2024 西安高新一中期末节选]如图，$AB = AE$，$AB⊥ AE$，$AD = AC$，$AD⊥ AC$，点 $M$ 为 $BC$ 的中点。试说明：$DE = 2AM$。

解:如图,延长AM至点N,使MN=AM,连接BN。
因为点M为BC的中点,所以BM=CM。
在△AMC和△NMB中,{AM=NM,∠AMC=∠NMB,CM=BM}
所以△AMC≌△NMB(SAS),
所以AC=NB,∠C=∠NBM,
所以∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD。
因为AD=AC,所以AD=BN。
在△ABN和△EAD中,{BN=AD,∠ABN=∠EAD,AB=EA}
所以△ABN≌△EAD(SAS),所以NA=DE,
所以DE=2AM。

归纳总结
利用“倍长中线法”构造全等三角形解决问题
(1)中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线。
(2)所谓“倍长中线法”,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识解决问题的方法。
(3)利用“倍长中线法”求解的过程:延长已知中线到某点,使新线段的长度等于已知中线的长度,然后用“SAS”说明三角形全等(对顶角相等)。

2[一题多解 [2024 深圳盐田区期末节选]如图，在 $△ ABC$ 中，$AB＞AC$，$P$ 是 $∠ BAC$ 的平分线 $AD$ 上任意一点。试说明：$AB - AC＞PB - PC$。

解:通解 如图,在AB上取一点E,使AE=AC,连接PE。

因为AP为∠BAC的平分线,所以∠EAP=∠CAP。
在△AEP和△ACP中,{AE=AC,∠EAP=∠CAP,AP=AP}
所以△AEP≌△ACP(SAS),所以PE=PC。
因为AE=AC,所以BE=AB - AE=AB - AC。
在△PBE中,根据三角形的三边关系,得BE＞PB - PE,
所以AB - AC＞PB - PC。
另解 如图,延长AC至点M,使AM=AB,连接PM。

因为AP为∠BAC的平分线,所以∠PAB=∠PAM。
在△ABP和△AMP中,{AB=AM,∠PAB=∠PAM,AP=AP}
所以△ABP≌△AMP(SAS),所以PB=PM。
在△PCM中,根据三角形的三边关系,得CM＞PM - PC,
所以AM - AC＞PB - PC,
所以AB - AC＞PB - PC。

3如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ A = 60^{\circ}$，$BD$ 平分 $∠ ABC$，交 $∠ ACB$ 的平分线 $CE$ 于点 $O$。试判断 $BE$，$CD$，$BC$ 之间的数量关系，并说明理由。

解:BC=BE+CD。理由如下:
如图,在BC上截取BF=BE,连接OF。

因为BD平分∠ABC,所以∠EBO=∠FBO。
在△EBO和△FBO中,{BE=BF,∠EBO=∠FBO,BO=BO}
所以△EBO≌△FBO(SAS),
所以∠EOB=∠FOB。
因为∠A=60°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,
所以∠BOC=180° - ∠OBC - ∠OCB=180° - $\frac{1}{2}$∠ABC - $\frac{1}{2}$∠ACB=180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠A)=120°,
所以∠DOC=∠EOB=180° - ∠BOC=60°,
所以∠FOB=60°,所以∠FOC=60°,
所以∠FOC=∠DOC。
因为CE平分∠DCB,所以∠DCO=∠FCO。
在△DCO和△FCO中,{∠DCO=∠FCO,OC=OC,∠DOC=∠FOC}
所以△DCO≌△FCO(ASA),所以CD=CF,
所以BC=BF+CF=BE+CD。