1. (2022·荆州中考)小华同学学习函数知识后,对函数$y= \left\{\begin{array}{l} 4x^{2}(-1\lt x≤0),\\ -\frac {4}{x}(x≤-1或x＞0)\end{array}\right. $通过列表、描点、连线,画出了如图①所示的图像.
![img alt=1]
请根据图像解答:
(1)【观察发现】
①写出函数的两条性质:______;______;
②若函数图像上的两点$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$满足$x_{1}+x_{2}= 0$,则$y_{1}+y_{2}= 0$一定成立吗?______.(填“一定”或“不一定”)
(2)【延伸探究】如图②,将过$A(-1,4),B(4,-1)$两点的直线向下平移n个单位长度后$(n≥0)$,得到直线l与函数$y= -\frac {4}{x}(x≤-1)$的图像交于点P,连接PA、PB.
①求当$n= 3$时,直线l的表达式和$\triangle PAB$的面积;
②直接用含n的代数式表示$\triangle PAB$的面积.
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请根据图像解答:
(1)【观察发现】
①写出函数的两条性质:______;______;
②若函数图像上的两点$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$满足$x_{1}+x_{2}= 0$,则$y_{1}+y_{2}= 0$一定成立吗?______.(填“一定”或“不一定”)
(2)【延伸探究】如图②,将过$A(-1,4),B(4,-1)$两点的直线向下平移n个单位长度后$(n≥0)$,得到直线l与函数$y= -\frac {4}{x}(x≤-1)$的图像交于点P,连接PA、PB.
①求当$n= 3$时,直线l的表达式和$\triangle PAB$的面积;
②直接用含n的代数式表示$\triangle PAB$的面积.
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答案
(1)①函数有最大值为4 当x＞0时，y随x的增大而增大(答案不唯一)
②不一定 解析:假设x1=$\frac{1}{2}$,则y1=1.∵x1+x=0，.x=$\frac{1}{2}$，∴y2=-8，此时y1+y=0不一定成立.
(2)①设直线AB的表达式为y=kx+b，
则==4i,解得(==-3.1,...直线AB的表达式为y=-x+3.{当n=3 时，直线/的表达式为y=-x+3-3=-x.设直线AB与y轴交于C,则△PAB的面积=△AOB的面积∴SAOB=S△AOC+S△BOC=$\frac{1}{2}$x0Cx1+$\frac{1}{2}$x0Cx4=$\frac{1}{2}$×3×5=$\frac{15}{2}$∴△PAB的面积为$\frac{15}{2}$
②△PAB的面积为$\frac{5}{2}$n. 解析:如图，设直线1与y轴交于点D,∵1//AB∴△PAB的面积=△ABD的面积.由题意知，CD=n,
∴S△ABD=S△ACD+S△BCD=$\frac{1}{2}$CDx5=氢∴△PAB的面积为$\frac{5}{2}$n.
②不一定 解析:假设x1=$\frac{1}{2}$,则y1=1.∵x1+x=0，.x=$\frac{1}{2}$，∴y2=-8，此时y1+y=0不一定成立.
(2)①设直线AB的表达式为y=kx+b，
则==4i,解得(==-3.1,...直线AB的表达式为y=-x+3.{当n=3 时，直线/的表达式为y=-x+3-3=-x.设直线AB与y轴交于C,则△PAB的面积=△AOB的面积∴SAOB=S△AOC+S△BOC=$\frac{1}{2}$x0Cx1+$\frac{1}{2}$x0Cx4=$\frac{1}{2}$×3×5=$\frac{15}{2}$∴△PAB的面积为$\frac{15}{2}$
②△PAB的面积为$\frac{5}{2}$n. 解析:如图，设直线1与y轴交于点D,∵1//AB∴△PAB的面积=△ABD的面积.由题意知，CD=n,
∴S△ABD=S△ACD+S△BCD=$\frac{1}{2}$CDx5=氢∴△PAB的面积为$\frac{5}{2}$n.
2. (2023·呼和浩特中考)探究函数$y= -2|x|^{2}+4|x|$的图像和性质,探究过程如下:
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
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其中,$m= $______.根据如表数据,在图①所示的平面直角坐标系中,通过描点画出了函数图像的一部分,请画出该函数图像的另一部分.观察图像,写出该函数的一条性质.
(2)点F是函数$y= -2|x|^{2}+4|x|$图像上的一动点,点$A(2,0)$,点$B(-2,0)$,当$S_{\triangle FAB}= 3$时,请直接写出所有满足条件的点F的坐标.
(3)在图②中,当x在一切实数范围内时,抛物线$y= -2x^{2}+4x$交x轴于O、A两点(点O在点A的左边),点P是点$Q(1,0)$关于抛物线顶点的对称点,不平行于y轴的直线l分别交线段OP、AP(不含端点)于M、N两点.当直线l与抛物线只有一个公共点时,PM与PN的和是否为定值? 若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
![img alt=4]
(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
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其中,$m= $______.根据如表数据,在图①所示的平面直角坐标系中,通过描点画出了函数图像的一部分,请画出该函数图像的另一部分.观察图像,写出该函数的一条性质.
(2)点F是函数$y= -2|x|^{2}+4|x|$图像上的一动点,点$A(2,0)$,点$B(-2,0)$,当$S_{\triangle FAB}= 3$时,请直接写出所有满足条件的点F的坐标.
(3)在图②中,当x在一切实数范围内时,抛物线$y= -2x^{2}+4x$交x轴于O、A两点(点O在点A的左边),点P是点$Q(1,0)$关于抛物线顶点的对称点,不平行于y轴的直线l分别交线段OP、AP(不含端点)于M、N两点.当直线l与抛物线只有一个公共点时,PM与PN的和是否为定值? 若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
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答案
(1)2 函数图像如图所示.由图像可得该函数的性质:该函数关于y 轴对称;当x＜-1或0≤x＜1时，y随x的增大而增大;当-1≤x＜0或x≥1时，y随x的增大而减小(合理即可)
(2)当x＜0时，y=-2x²-4x，当x≥0时，y=-2x²+4x∵A(2,0),
B(-2,0),∴AB=4∵S△FAB=3,∴$\frac{1}{2}$x4lyc1=3,∴yF=.当F=
$\frac{3}{2}$时，若x＜0,则-2x²-4x=$\frac{3}{2}$,解得x=-$\frac{3}{2}$或x=-$\frac{1}{2}$;若x≥0,则-2x²+4x=$\frac{3}{2}$,解得x=$\frac{3}{2}$或x=$\frac{1}{2}$∴F($\frac{3}{2}$,$\frac{3}{2}$)或(-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$或($\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$或($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$).
当yF=时2 ，若x＜0,则-2x²-4x=-$\frac{3}{2}$,解得x=-1-$\frac{√7}{2}$或x=-1+$\frac{7}{2}$(舍去);
若x≥0,则-2x²+4x=$\frac{3}{2}$,解得x=1$\frac{7}{2}$(舍去)或x=1+√7
∴F(-1$\frac{7}{2}$,$\frac{3}{2}$域()),$\frac{3}{2}$)
综上所述，所有满足条件的点F的坐标为(-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$或(-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$或($\frac{3}{2}$,$\frac{3}{2}$或($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$)或(-1-$\frac{7}{2}$,-$\frac{3}{2}$)或(1+$\frac{7}{2}$,$\frac{3}{2}$).
(3)PM与PN的和是定值.如图，连接直线PQ，
∵抛物线y=-2x²+4x交x轴于O、A两点，∴0(0,0),A(2,0).
∵y=-2x²+4x=-2(x-1)²+2,∴抛物线y=-2x²+4x的顶点为(1,2).∵点P是点Q(1,0)关于抛物线顶点(1,2)的对称点，.点P 的坐标为(1,4)由点P、0的坐标得，直线OP的表达式为y=4x①，同理可得，直线AP的表达式为y=-4x+8②.设直线/的表达式为y=
tx+n，联立y=tx+n和y=-2x²+4x并整
理，得2x²+(t-4)x+n=0.∵直线1与抛
物线只有一个公共点，∴(t-4)²-4×2×
n=0，解得n=$\frac{1}{8}$(t-4)²故直线1的表
达式为y=tx+$\frac{1}{8}$(;-4)²③,联立①③并
解得xM=-$\frac{1}{8}$(t-4)同理可得，xN=
$\frac{1}{8}$(1-12).∵射线PO、PA关于直线PQ:x=1对称,...∠APQ=
∠OPQ,设∠APQ=∠OPQ=α,则sin∠APQ=sin∠OPQ=$\frac{QQ}{OP}$=
$\frac{1}{\sqrt{1²+4²}}$=$\frac{1}{\sqrt{17}}$=sinα.∴PM+PN=$\frac{1-xM}{sina}$+$\frac{xN-1}{sinα}$= $\sqrt{17}$(xN-xM)=
√17,为定值.
(2)当x＜0时，y=-2x²-4x，当x≥0时，y=-2x²+4x∵A(2,0),
B(-2,0),∴AB=4∵S△FAB=3,∴$\frac{1}{2}$x4lyc1=3,∴yF=.当F=
$\frac{3}{2}$时，若x＜0,则-2x²-4x=$\frac{3}{2}$,解得x=-$\frac{3}{2}$或x=-$\frac{1}{2}$;若x≥0,则-2x²+4x=$\frac{3}{2}$,解得x=$\frac{3}{2}$或x=$\frac{1}{2}$∴F($\frac{3}{2}$,$\frac{3}{2}$)或(-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$或($\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$或($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$).
当yF=时2 ，若x＜0,则-2x²-4x=-$\frac{3}{2}$,解得x=-1-$\frac{√7}{2}$或x=-1+$\frac{7}{2}$(舍去);
若x≥0,则-2x²+4x=$\frac{3}{2}$,解得x=1$\frac{7}{2}$(舍去)或x=1+√7
∴F(-1$\frac{7}{2}$,$\frac{3}{2}$域()),$\frac{3}{2}$)
综上所述，所有满足条件的点F的坐标为(-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$或(-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$或($\frac{3}{2}$,$\frac{3}{2}$或($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$)或(-1-$\frac{7}{2}$,-$\frac{3}{2}$)或(1+$\frac{7}{2}$,$\frac{3}{2}$).
(3)PM与PN的和是定值.如图，连接直线PQ，
∵抛物线y=-2x²+4x交x轴于O、A两点，∴0(0,0),A(2,0).
∵y=-2x²+4x=-2(x-1)²+2,∴抛物线y=-2x²+4x的顶点为(1,2).∵点P是点Q(1,0)关于抛物线顶点(1,2)的对称点，.点P 的坐标为(1,4)由点P、0的坐标得，直线OP的表达式为y=4x①，同理可得，直线AP的表达式为y=-4x+8②.设直线/的表达式为y=
tx+n，联立y=tx+n和y=-2x²+4x并整
理，得2x²+(t-4)x+n=0.∵直线1与抛
物线只有一个公共点，∴(t-4)²-4×2×
n=0，解得n=$\frac{1}{8}$(t-4)²故直线1的表
达式为y=tx+$\frac{1}{8}$(;-4)²③,联立①③并
解得xM=-$\frac{1}{8}$(t-4)同理可得，xN=
$\frac{1}{8}$(1-12).∵射线PO、PA关于直线PQ:x=1对称,...∠APQ=
∠OPQ,设∠APQ=∠OPQ=α,则sin∠APQ=sin∠OPQ=$\frac{QQ}{OP}$=
$\frac{1}{\sqrt{1²+4²}}$=$\frac{1}{\sqrt{17}}$=sinα.∴PM+PN=$\frac{1-xM}{sina}$+$\frac{xN-1}{sinα}$= $\sqrt{17}$(xN-xM)=
√17,为定值.
