1. (2023·镇江中考)如图,在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个,先从甲袋中取出$2^{x}$个球放入乙袋,再从乙袋中取出$(2^{x}+2^{y})$个球放入丙袋,最后从丙袋中取出$2^{y}$个球放入甲袋,此时三只袋中球的个数都相同,则$2^{x+y}$的值等于 ()
A. 128 B. 64 C. 32 D. 16
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A　解析:由题意，得5+2+2y-2=29+2Y-2=29+2x-2²-2Y，即5+2=29+2y-2²=29-2y,∴22xx22²%-=22²x=，24解得22y²==816.，
　∴2x+Y=2×2y=16×8=128.故选A.

2. (2023·盐城模拟)问题:已知实数$a$、$b$、$c$满足$a≠b$,且$2023(a - b)+\sqrt{2023}(b - c)+(c - a)= 0$,求证:$\frac{(c - b)(c - a)}{(a - b)^{2}}-\sqrt{2023}= 2023$.
小明在思考时,感觉无从下手,就去请教小刚,小刚审题后思考了片刻,对小明说:我们可以构造一个一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答,并写下了部分解题过程供小明参考:
令$\sqrt{2023}= x$,则$2023 = x^{2}$,原等式可变形为关于$x$的一元二次方程:
$(a - b)x^{2}+(b - c)x+(c - a)= 0(a≠b)$.
可以发现:$(a - b)×1^{2}+(b - c)×1+(c - a)= 0$.
从而可知构造的方程两个根分别是1和$\sqrt{2023}$.利用根与系数的关系,得$1+\sqrt{2023}= $____;$1×\sqrt{2023}= $____.…
请你根据小刚的思路完整地解答本题.

$\frac{c-b}{a-b}$$\frac{c-a}{a-b}$证明:令√2023=x，则2023=x²，
　原等式可变形为关于x的一元二次方程(a-b)x²+(b-c)x+(c-a)=0 (a≠b).∵x=1时，(a-b)x1²+(b-c)x1+(c-a)=0，.x=1为一元二次方程(a-b)x²+(b-c)x+(c-a)=0的根，即方程两个根分别是1和
$\sqrt{2023}$根据根与系数的关系，得1+　$\sqrt{2023}$=-$\frac{b-c}{a-b}$=$\frac{c-b}{a-b}$,1x $\sqrt{2023}$$\sqrt{0}$$\frac{c-a}{a-b}$，∴$\frac{(c-b)(c-a)}{(a-b)²}$√2023=$\frac{c-6}{a-b}$.$\frac{c-a}{a-b}$-$\sqrt{2023}$=(1+$\sqrt{2023}$)×(1x　$\sqrt{2023}$)-　$\sqrt{2023}$=＜2023+2023-　$\sqrt{2023}$=
　2023.

3. (2023·南京中考)已知二次函数$y = ax^{2}-2ax + 3$($a$为常数,$a≠0$).
(1)若$a ＜ 0$,求证:该函数的图像与$x$轴有两个公共点;
(2)若$a = - 1$,求证:当$-1 ＜ x ＜ 0$时,$y ＞ 0$;
(3)若该函数的图像与$x$轴有两个公共点$(x_{1},0)$,$(x_{2},0)$,且$-1 ＜ x_{1} ＜ x_{2} ＜ 4$,则$a$的取值范围是____.

(1)当y=0时，ax²-2ax+3=0.∵(-2a)²-4xax3=4a²-12a=4a.(a-3),a＜0,∴4a＜0,a-3＜0,∴4a²-12a=4a(a-3)＞0,
　∴该函数的图像与x轴有两个公共点
　(2)将a=-1代入函数表达式，得y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4,
　∴抛物线的对称轴为直线x=1，开口向下.则当-1＜x＜0时，y随x的
增大而增大，当x=-1时，y=0,∴当-1＜x＜0时，y＞0.
　(3)a＞3或a＜-1　解析:二次函数y=ax²-2ax+3的对称轴为直线x=$\frac{2a}{2a}$=1，且过定点(0,3),∵该函数的图像与x轴有两个公共点((x1,B,(X2,0,且-1α1＜2＜4,∴
　　　　　　　　　　　　　α＞3,故a＞3当a＜0m|aa16+-a22-aa8++a33+＜＞300,0,解得a＜-1,故a＜c1.综上所述，a＞3或a＜-1.

4. (2023·丽水中考)已知点$(-m,0)$和$(3m,0)$在二次函数$y = ax^{2}+bx + 3$($a$、$b$是常数,$a≠0$)的图像上.
(1)当$m = - 1$时,求$a$和$b$的值;
(2)若二次函数的图像经过点$A(n,3)$且点$A$不在坐标轴上,当$-2 ＜ m ＜ - 1$时,求$n$的取值范围;
(3)求证:$b^{2}+4a = 0$.

(1)当m=-1时，二次函数y=ax²+bx+3的图像过点(1,0)和(-3,0)，∴{0。.解得ba==二)1,
　∴a的值是-1，b的值是-2.
　(2)∵y=ax²+bx+3的图像过点(-m，0)和(3m,0),∴抛物线的对称轴为直线x=m∵y=ax²+bx+3的图像过点A(n,3),(0,3),且点A 不在坐标轴上，∴由图像的对称性得n=2m,∴m=$\frac{n}{2}$∵-2＜m＜-1,∴-2＜＜21,∴-4＜n＜-2.
　(3)∵抛物线过(-m,0),(3m,0)，∴抛物线对称轴为直线x=
　$\frac{m+3m}{2}$=m，∴$\frac{b}{2a}$=m.∴b=-2am.把(-m，0),(3m,0)代入y=ax²+bx+3,;m瓢瓠+=0,①②①×3+②，得12am²+12=0，∴am²+1=0.∴b²+4a=(-2am)²+4a=4a(am²+1)=4αx0=0.