1. （2024·苏州虎丘模拟）若关于x的一元二次方程$ax^{2}+k = 0$的一个根为2，则二次函数$y = a(x + 1)^{2}+k$与x轴的交点坐标为（ ）
A. （-3，0），（1，0）
B. （-2，0），（2，0）
C. （-1，0），（1，0）
D. （-1，0），（3，0）

A

2. （2024·常州金坛二模）如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图像过点（-1，0），抛物线的对称轴是直线x = 1，顶点在第一象限. 给出下列结论：①$ab\lt0$；②$4a + 2b + c\gt0$；③$3a + c\gt0$；④ 若$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$是抛物线上的两点，且$x_{1}+x_{2}=2$，则$y_{1}=y_{2}$. 其中，错误的是（ ）
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
　　　 　　　

C

3. （2024·南京模拟）二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的部分图像如图所示，则关于x的方程$ax^{2}+bx + c = 0$的两个根的和为________.

2

4. （2023·泰州）二次函数$y = x^{2}+3x + n$的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是________（写出一个值即可）.

答案不唯一，如 -3

5. （2024·扬州宝应二模）如图，抛物线$y=-x^{2}+bx + c$经过$A(-1,0)$，$C(0,3)$两点，并交x轴于另一点B，M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D.
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
当堂反馈
（2）若H是抛物线对称轴上一动点，分别连接AH，DH，求$AH + DH$的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　

（1）将$A(-1,0)$，$C(0,3)$代入$y=-x^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}0=-1 - b + c\\3=c\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2\\c = 3\end{cases}$。$\therefore$该抛物线对应的函数表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$ （2）连接$BH$，$BD$。由题意，易得该抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{2}{-2}=1$，顶点$M(1,4)$，$B(3,0)$。设直线$AM$对应的函数表达式为$y=kx + m$，将$A(-1,0)$，$M(1,4)$代入，得$\begin{cases}-k + m = 0\\k + m = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 2\\m = 2\end{cases}$。$\therefore$直线$AM$对应的函数表达式为$y = 2x + 2$。$\therefore$易得$D(0,2)$。$\because$点$A$关于对称轴对称的点为$B$，$\therefore AH = BH$。$\therefore AH + DH = BH + DH\geqslant BD$。$\because BD=\sqrt{OB^{2}+OD^{2}}=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$，$\therefore AH + DH$的最小值为$\sqrt{13}$

6. （2024·南京秦淮二模）已知二次函数$y = a(x - m)(x - m - 4)(a,m为常数,a\neq0)$.
（1）求证：不论a，m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；
（2）该二次函数的图像与x轴交于A，B两点，若不论m为何值，该二次函数的图像上都只有两个点C，D，使$\triangle ABC$和$\triangle ABD$的面积均为4，求a的取值范围.

（1）$y=a(x - m)(x - m - 4)=a(x^{2}-2mx - 4x + m^{2}+4m)=ax^{2}-2a(m + 2)x + a(m^{2}+4m)$。$\because[-2a(m + 2)]^{2}-4a\cdot a(m^{2}+4m)=4a^{2}m^{2}+16a^{2}m+16a^{2}-4a^{2}m^{2}-16a^{2}m = 16a^{2}$，$a\neq0$，$\therefore16a^{2}＞0$。$\therefore$不论$a$，$m$为何值，该二次函数的图像与$x$轴总有两个公共点 （2）令$y = 0$，则$a(x - m)(x - m - 4)=0$。$\because a\neq0$，$\therefore(x - m)(x - m - 4)=0$。$\therefore x_{1}=m$，$x_{2}=m + 4$。不妨令$A(m,0)$，$B(m + 4,0)$，则$AB = 4$。$\because S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}=4$，$\therefore$点$C$，$D$到$x$轴的距离为$2$。$\because$该二次函数的图像上只有两个点$C$，$D$，使$\triangle ABC$和$\triangle ABD$的面积均为$4$，$\therefore$易得二次函数的顶点到$x$轴的距离小于$2$，即$\left|\frac{-16a^{2}}{4a}\right|＜2$，解得$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$。又$\because a\neq0$，$\therefore a$的取值范围是$-\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2}$且$a\neq0$