典例3（2024·扬州）如图，二次函数$y = -x^{2}+bx + c$的图像与$x$轴交于$A(-2,0)$，$B(1,0)$两点.
（1）求$b$，$c$的值；
（2）若点$P$在该二次函数的图像上，且$\triangle PAB$的面积为6，求点$P$的坐标.

（1）把 $ A(-2,0) $，$ B(1,0) $ 代入 $ y = -x^{2}+bx + c $，得 $ \begin{cases}-4 - 2b + c = 0\\-1 + b + c = 0\end{cases} $，解得 $ \begin{cases}b = -1\\c = 2\end{cases} $。（2）由（1）知，该二次函数的表达式为 $ y = -x^{2}-x + 2 $。设点 $ P $ 的坐标为 $ (m,-m^{2}-m + 2) $。∵ $ \triangle PAB $ 的面积为6，$ AB = 1 - (-2) = 3 $，∴ $ S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}AB\cdot|y_{P}|=\frac{1}{2}\times3\times|-m^{2}-m + 2| = 6 $。∴ $ |m^{2}+m - 2| = 4 $。∴ $ m^{2}+m - 2 = 4 $，解得 $ m = -3 $ 或 $ m = 2 $；$ m^{2}+m - 2 = -4 $，无解。∴易得点 $ P $ 的坐标为 $ (-3,-4) $ 或 $ (2,-4) $。

【变式】（2024·扬州邗江二模）如图，二次函数的图像与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(5,0)$两点，与$y$轴交于点$C(0,5)$，顶点为$D$，$O$为坐标原点，连接$AC$，$CD$，$DB$. 求：
（1）二次函数的表达式；
（2）四边形$ACDB$的面积.

（1）由题意，可设二次函数的表达式为 $ y = a(x + 1)(x - 5) $。∵图像与 $ y $ 轴交于点 $ C(0,5) $，∴ $ -5a = 5 $，解得 $ a = -1 $。∴二次函数的表达式为 $ y = -(x + 1)(x - 5)=-x^{2}+4x + 5 $。（2）过点 $ D $ 作 $ DN\perp AB $ 于点 $ N $。∵ $ y = -x^{2}+4x + 5 = -(x - 2)^{2}+9 $，∴顶点 $ D $ 的坐标为 $ (2,9) $。∴ $ S_{四边形ACDB}=S_{\triangle AOC}+S_{梯形OCDN}+S_{\triangle DNB}=\frac{1}{2}\times1\times5+\frac{1}{2}\times(5 + 9)\times2+\frac{1}{2}\times(5 - 2)\times9 = 30 $，即四边形 $ ACDB $ 的面积为30。

典例4 把二次函数$y = x^{2}+4x + m$的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度. 如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么$m$应满足条件__________.

∵把二次函数 $ y = x^{2}+4x + m=(x + 2)^{2}+m - 4 $ 的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴平移后所得抛物线对应的函数表达式为 $ y=(x + 2 - 3)^{2}+m - 4 + 1 = x^{2}-2x + m - 2 $。∴对称轴为直线 $ x = 1 $。∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴ $ 4 - 4(m - 2)＜0 $。∴ $ m＞3 $。

典例5（2024·南京建邺一模）已知函数$y = ax^{2}+(1 - a)x - 1$（$a$为常数，且$a\neq0$）.
（1）求证：该函数的图像与$x$轴总有公共点；
（2）当$a＜-2$时，该函数图像与$x$轴交于$A$，$B$两点，求线段$AB$长的取值范围；
（3）若当$0\leqslant x\leqslant1$时，$y\leqslant0$，请直接写出$a$的取值范围.

（1）令 $ y = 0 $，则 $ ax^{2}+(1 - a)x - 1 = 0 $。∵ $ (1 - a)^{2}-4a\times(-1)=(1 + a)^{2}\geqslant0 $，∴该函数的图像与 $ x $ 轴总有公共点。（2）令 $ ax^{2}+(1 - a)x - 1 = 0 $，解得 $ x_{1}=1 $，$ x_{2}=-\frac{1}{a} $。∴易得 $ AB=\left|1+\frac{1}{a}\right| $。∵ $ a＜-2 $，∴易得 $ \frac{1}{2}＜AB＜1 $。（3）对于 $ y = ax^{2}+(1 - a)x - 1 $，当 $ x = 1 $ 时，$ y = a+(1 - a)-1 = 0 $；当 $ x = 0 $ 时，$ y = -1 $。∴该函数图像一定过点 $ (1,0) $，$ (0,-1) $。∵当 $ 0\leqslant x\leqslant1 $ 时，$ y\leqslant0 $，∴当函数图像的开口向上时，满足题意，则 $ a＞0 $；当函数图像的开口向下时，$ a＜0 $ 且 $ -\frac{1 - a}{2a}\geqslant1 $，解得 $ -1\leqslant a＜0 $。综上所述，$ a $ 的取值范围是 $ a＞0 $ 或 $ -1\leqslant a＜0 $。

典例6（2024·宿迁泗洪三模）已知二次函数$y = x^{2}+bx + 3$的图像过点$A(2,3)$. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+bx = t - 4$（$t$为实数）在$-1＜x＜4$的范围内有实数根，则$t$的取值范围是（ ）
A. $6＜t＜11$
B. $2\leqslant t＜11$
C. $3\leqslant t＜12$
D. $3\leqslant t＜7$

∵点 $ A(2,3) $ 在二次函数 $ y = x^{2}+bx + 3 $ 的图像上，∴ $ 4 + 2b + 3 = 3 $。∴ $ b = -2 $。∴二次函数的表达式为 $ y = x^{2}-2x + 3=(x - 1)^{2}+2 $。∴当 $ -1＜x＜4 $ 时，易知 $ 2\leqslant y＜11 $。∵关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2x = t - 4 $ 有实数根可以看作函数 $ y = x^{2}-2x + 3 $ 的图像与直线 $ y = t - 1 $ 有交点，∴ $ 2\leqslant t - 1＜11 $。∴ $ 3\leqslant t＜12 $。故选C。

典例7（2024·扬州邗江二模）如图，点$A$，$B$，$C$的坐标分别为$(0,3)$，$(-4,3)$，$(2,0)$，抛物线$y = a(x - h)^{2}+k$过点$C$，顶点$M$位于第二象限且在线段$AB$的垂直平分线上. 若该抛物线与线段$AB$没有公共点，则$k$的取值范围是__________.

∵抛物线 $ y = a(x - h)^{2}+k $ 的顶点 $ M $ 位于第二象限且在线段 $ AB $ 的垂直平分线上，$ A(0,3) $，$ B(-4,3) $，∴易得 $ h = -2 $，$ k＞0 $。抛物线与线段 $ AB $ 无公共点分两种情况：① 当点 $ M $ 在线段 $ AB $ 的下方时，∵点 $ M $ 的坐标为 $ (-2,k) $，∴ $ 0＜k＜3 $。② 当点 $ M $ 在线段 $ AB $ 的上方时，$ \begin{cases}a(2 + 2)^{2}+k = 0\\a(0 + 2)^{2}+k＞3\end{cases} $ 解得 $ k＞4 $。综上所述，$ k $ 的取值范围是 $ 0＜k＜3 $ 或 $ k＞4 $。