典例1（2024·扬州三模）如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图像与$x$轴的一个交点的坐标为$(1,0)$，对称轴为直线$x = -1$. 有下列结论：①$abc＜0$；②$b^{2}=4ac$；③$4a - 2b + c＜0$；④当$-3＜x＜1$时，$ax^{2}+bx + c＜0$. 其中，正确的个数为（ ）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

∵图像的开口向上，∴ $ a＞0 $。∵对称轴是直线 $ x = -1 $，∴ $ a $，$ b $ 同号，即 $ b＞0 $。∵图像与 $ y $ 轴交于负半轴，∴ $ c＜0 $。∴ $ abc＜0 $，故①正确。∵图像的对称轴为直线 $ x = -1 $，与 $ x $ 轴的一个交点的坐标为 $ (1,0) $，∴与 $ x $ 轴的另一个交点为 $ (-3,0) $。∴与 $ x $ 轴有两个交点，即 $ b^{2}-4ac＞0 $，故②错误。对于 $ y = ax^{2}+bx + c $，当 $ x = -2 $ 时，$ y = 4a - 2b + c $，∴点 $ (-2,4a - 2b + c) $ 在二次函数的图像上。∵ $ -3＜-2＜1 $，∴点 $ (-2,4a - 2b + c) $ 在 $ x $ 轴下方的图像上。∴ $ 4a - 2b + c＜0 $，故③正确。∵二次函数图像的开口向上，与 $ x $ 轴的两个交点坐标分别为 $ (1,0) $，$ (-3,0) $，∴当 $ -3＜x＜1 $ 时，二次函数的图像在 $ x $ 轴的下方。∴ $ y＜0 $，即 $ ax^{2}+bx + c＜0 $，故④正确。综上所述，正确的有①③④，共3个。故选C。

典例2（2024·常州武进模拟）如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的对称轴为直线$x = -2$，抛物线与$x$轴的一个交点在$(-3,0)$和$(-4,0)$之间，其部分图像如图所示. 有下列结论：①$4a - b = 0$；②$c＜0$；③$-3a + c＞0$；④$4a - 2b\geqslant at^{2}+bt$（$t$为实数）；⑤若$(-\frac{9}{2},y_{1})$，$(-\frac{5}{2},y_{2})$，$(-\frac{1}{2},y_{3})$是该抛物线上的三点，则$y_{1}＜y_{2}＜y_{3}$. 其中，正确的为（ ）

A. ①②③④
B. ①②④⑤
C. ①②③⑤
D. ①②④

∵抛物线的对称轴为直线 $ x = -2 $，∴ $ -\frac{b}{2a} = -2 $。∴ $ b = 4a $。∴ $ 4a - b = 0 $，故①正确。∵抛物线的开口向下，顶点在第二象限，与 $ x $ 轴的一个交点在 $ (-3,0) $ 和 $ (-4,0) $ 之间，∴抛物线与 $ x $ 轴的另一个交点在 $ (-1,0) $ 和 $ (0,0) $ 之间。∴抛物线与 $ y $ 轴的交点在负半轴上。∴ $ c＜0 $，故②正确。对于 $ y = ax^{2}+bx + c $，当 $ x = -1 $ 时，$ y = a - b + c $。∵抛物线与 $ x $ 轴的另一个交点在 $ (-1,0) $ 和 $ (0,0) $ 之间，顶点在第二象限，开口向下，∴点 $ (-1,a - b + c) $ 在第二象限。∴ $ a - b + c＞0 $。∵ $ b = 4a $，∴ $ a - 4a + c＞0 $，即 $ -3a + c＞0 $，故③正确。对于 $ y = ax^{2}+bx + c $，当 $ x = -2 $ 时，$ y = 4a - 2b + c $；当 $ x = t $（$ t $ 为实数）时，$ y = at^{2}+bt + c $。∵抛物线的对称轴为直线 $ x = -2 $，∴点 $ (-2,4a - 2b + c) $ 为抛物线的顶点。又∵抛物线的开口向下，∴ $ y $ 的最大值为 $ 4a - 2b + c $。∴ $ 4a - 2b + c\geqslant at^{2}+bt + c $，即 $ 4a - 2b\geqslant at^{2}+bt $，故④正确。∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线 $ x = -2 $，观察函数的图像可知，在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，∴ $ y_{1}＜y_{3}＜y_{2} $，故⑤不正确。综上所述，正确的为①②③④。故选A。