1.（2024·百色期中）如图，数轴上A、B两点所表示的数是$-\sqrt{75}$和$\sqrt{3}$，点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是 ( )

A. $-3\sqrt{3}$
B. $3\sqrt{3}$
C. $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$
D. $-2\sqrt{3}$

D

2. 已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系$\sqrt{a^{2}-b^{2}-c^{2}}+\vert b - c\vert = 0$，则△ABC的形状是________.

等腰直角三角形

3. 代数式$\sqrt{(1 - a)^{2}}+\sqrt{(3 - a)^{2}}$的值为常数2，则a的取值范围是 ( )
A. $a\geq3$
B. $a\leq1$
C. $1\leq a\leq3$
D. $a = 1$或$a = 3$

C

4. 已知x、y是正整数，若$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{275}$，则$x + y$的值是 ( )
A. 143或187
B. 137或275
C. 143或275
D. 5或11

4.A解析:∵ $\sqrt{275}=5\sqrt{11}$，设$\sqrt{x}=a\sqrt{11}$，$\sqrt{y}=b\sqrt{11}$，∴$a + b = 5$。∵$a$、$b$是正整数，∴$a = 1$，$b = 4$或$a = 2$，$b = 3$或$a = 3$，$b = 2$或$a = 4$，$b = 1$。∵$x = 11\times a^{2}$，$y = 11\times b^{2}$，∴$x + y = 11\times(a^{2}+b^{2})=11\times13 = 143$或$x + y = 11\times(a^{2}+b^{2})=11\times17 = 187$，故选A。

5.（2024·鞍山期中）若$a + b = - 4$，$ab = 1$，则$\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}$的值为 ( )
A. 4
B. -4
C. 16
D. 4或-4

5.A解析:∵$a + b = - 4$，$ab = 1$，∴$a\lt0$，$b\lt0$，∴ $\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ab}}{-b}+\frac{\sqrt{ab}}{-a}=-(\frac{1}{b}+\frac{1}{a})=-\frac{a + b}{ab}=-\frac{-4}{1}=4$，故选A。

6.（达州中考）人们把$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.618$这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比. 设$a = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$b = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$，记$S_{1}=\frac{1}{1 + a}+\frac{1}{1 + b}$，$S_{2}=\frac{2}{1 + a^{2}}+\frac{2}{1 + b^{2}}$，$\cdots$，$S_{100}=\frac{100}{1 + a^{100}}+\frac{100}{1 + b^{100}}$，则$S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{100}=$________.

6.5050解析:∵$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$b=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，∴$ab=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\times\frac{\sqrt{5}+1}{2}=1$。∵$S_{1}=\frac{1}{1 + a}+\frac{1}{1 + b}=\frac{2 + a + b}{1 + a + b + ab}=\frac{2 + a + b}{2 + a + b}=1$，$S_{2}=\frac{2}{1 + a^{2}}+\frac{2}{1 + b^{2}}=2\times\frac{2 + a^{2}+b^{2}}{1 + a^{2}+b^{2}+a^{2}b^{2}}=2\times\frac{2 + a^{2}+b^{2}}{2 + a^{2}+b^{2}}=2$，$\cdots$，$S_{100}=\frac{100}{1 + a^{100}}+\frac{100}{1 + b^{100}}=100\times\frac{1 + a^{100}+1 + b^{100}}{1 + a^{100}+b^{100}+a^{100}b^{100}}=100$，∴$S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{100}=1 + 2+\cdots+100 = 5050$。

7.（2024·扬州期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法.
(1)【回顾旧知，类比求解】
解方程：$\sqrt{x + 1}=2$.
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________，解这个方程，得$x =$________. 经检验，$x =$________是原方程的解.
(2)【学会转化，解决问题】
①运用上面的方法解方程：$\sqrt{9x^{2}-5x}+3x = 1$.
②代数式$\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{(7 - x)^{2}+4}$的值能否等于7？若能，求出x的值；若不能，请说明理由.

7.(1)$x + 1 = 4$ 3 3
(2)①$\sqrt{9x^{2}-5x}+3x = 1$，移项得$\sqrt{9x^{2}-5x}=1 - 3x$，去根号，两边同时平方得$9x^{2}-5x=(1 - 3x)^{2}$，即$9x^{2}-5x=1 - 6x + 9x^{2}$，解得$x = 1$，检验：$x = 1$时，方程左边$=\sqrt{9\times1^{2}-5\times1}+3\times1 = 5\neq$右边，∴$x = 1$不是原方程的解，原方程无解。
②不能，理由：若代数式$\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{(7 - x)^{2}+4}$的值等于7，即$\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{(7 - x)^{2}+4}=7$，移项，得$\sqrt{(7 - x)^{2}+4}=7-\sqrt{x^{2}+4}$，两边同时平方，得$(7 - x)^{2}+4=49-14\sqrt{x^{2}+4}+x^{2}+4$，化简，得$\sqrt{x^{2}+4}=x$，两边同时平方，得$x^{2}+4=x^{2}$，∴该方程无解，∴代数式$\sqrt{x^{2}+4}+\sqrt{(7 - x)^{2}+4}$的值不能等于7。

8.（2024·洛阳期中）观察下列各式及证明过程：
①$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}$；②$\sqrt{\frac{1}{2}\times(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}$；③$\sqrt{\frac{1}{3}\times(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}$.
(1)按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出第4个和第5个等式，并选择其中一个写出验证过程；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且$n\geq1$)表示的等式，并验证.

8.(1)由前三个式子可知第4个等式为$\sqrt{\frac{1}{4}\times(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{4}\times(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})}=\sqrt{\frac{1}{4\times5\times6}}=\sqrt{\frac{5}{4\times5^{2}\times6}}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$；第5个等式为$\sqrt{\frac{1}{5}\times(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})}=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{6}{35}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{5}\times(\frac{1}{6}-\frac{1}{7})}=\sqrt{\frac{1}{5\times6\times7}}=\sqrt{\frac{6}{5\times6^{2}\times7}}=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{6}{35}}$。
(2)由各式反映的规律可得$\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1}-\frac{1}{n + 2})}=\frac{1}{n + 1}\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 2)}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1}-\frac{1}{n + 2})}=\sqrt{\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}}=\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 1)^{2}(n + 2)}}=\frac{1}{n + 1}\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 2)}}$。