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1. (1)比较$\sqrt{2025}-\sqrt{2023}$和$\sqrt{2024}-\sqrt{2022}$的大小；
(2)比较$3\sqrt{2}-4$和$2\sqrt{3}-\sqrt{10}$的大小；
2. 比较$P = \sqrt{a + 3} + \sqrt{a + 7}$与$Q = 2\sqrt{a + 5}(a ＞ - 3)$的大小。
(2)比较$3\sqrt{2}-4$和$2\sqrt{3}-\sqrt{10}$的大小；
2. 比较$P = \sqrt{a + 3} + \sqrt{a + 7}$与$Q = 2\sqrt{a + 5}(a ＞ - 3)$的大小。
答案
1. (1) $\sqrt{2025}-\sqrt{2023}=\frac{(\sqrt{2025}-\sqrt{2023})(\sqrt{2025}+\sqrt{2023})}{\sqrt{2025}+\sqrt{2023}}=\frac{2}{\sqrt{2025}+\sqrt{2023}}$，同理$\sqrt{2024}-\sqrt{2022}=\frac{2}{\sqrt{2024}+\sqrt{2022}}$。
$\because\sqrt{2025}+\sqrt{2023}＞\sqrt{2024}+\sqrt{2022}$，$\therefore\sqrt{2025}-\sqrt{2023}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2022}$。
(2) $3\sqrt{2}-4=\frac{(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)}{3\sqrt{2}+4}=\frac{2}{3\sqrt{2}+4}$，$2\sqrt{3}-\sqrt{10}=\frac{(2\sqrt{3}+\sqrt{10})(2\sqrt{3}-\sqrt{10})}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}=\frac{2}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}$，而$3\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$，$4＞\sqrt{10}$，
$\therefore3\sqrt{2}+4＞2\sqrt{3}+\sqrt{10}$，$\therefore3\sqrt{2}-4＜2\sqrt{3}-\sqrt{10}$。
2. 通过移项可得比较$\sqrt{a + 3}+\sqrt{a + 7}$与$2\sqrt{a + 5}$的大小等同于比较$\sqrt{a + 7}-\sqrt{a + 5}$与$\sqrt{a + 5}-\sqrt{a + 3}$的大小。$\sqrt{a + 7}-\sqrt{a + 5}=\frac{2}{\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5}}$，$\sqrt{a + 5}-\sqrt{a + 3}=\frac{2}{\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3}}$，$\because\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5}＞\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3}$，$\therefore\sqrt{a + 7}-\sqrt{a + 5}＜\sqrt{a + 5}-\sqrt{a + 3}$，$\therefore\sqrt{a + 3}+\sqrt{a + 7}＜2\sqrt{a + 5}$，即$P＜Q$。
$\because\sqrt{2025}+\sqrt{2023}＞\sqrt{2024}+\sqrt{2022}$，$\therefore\sqrt{2025}-\sqrt{2023}＜\sqrt{2024}-\sqrt{2022}$。
(2) $3\sqrt{2}-4=\frac{(3\sqrt{2}+4)(3\sqrt{2}-4)}{3\sqrt{2}+4}=\frac{2}{3\sqrt{2}+4}$，$2\sqrt{3}-\sqrt{10}=\frac{(2\sqrt{3}+\sqrt{10})(2\sqrt{3}-\sqrt{10})}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}=\frac{2}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}$，而$3\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$，$4＞\sqrt{10}$，
$\therefore3\sqrt{2}+4＞2\sqrt{3}+\sqrt{10}$，$\therefore3\sqrt{2}-4＜2\sqrt{3}-\sqrt{10}$。
2. 通过移项可得比较$\sqrt{a + 3}+\sqrt{a + 7}$与$2\sqrt{a + 5}$的大小等同于比较$\sqrt{a + 7}-\sqrt{a + 5}$与$\sqrt{a + 5}-\sqrt{a + 3}$的大小。$\sqrt{a + 7}-\sqrt{a + 5}=\frac{2}{\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5}}$，$\sqrt{a + 5}-\sqrt{a + 3}=\frac{2}{\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3}}$，$\because\sqrt{a + 7}+\sqrt{a + 5}＞\sqrt{a + 5}+\sqrt{a + 3}$，$\therefore\sqrt{a + 7}-\sqrt{a + 5}＜\sqrt{a + 5}-\sqrt{a + 3}$，$\therefore\sqrt{a + 3}+\sqrt{a + 7}＜2\sqrt{a + 5}$，即$P＜Q$。
3. 例：求$y = \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2}$的最大值。
解：由$x + 2 \geq 0$，$x - 2 \geq 0$可知$x \geq 2$，而$y = \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2} = \frac{4}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}}$。 当$x = 2$时，分母$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}$有最小值2，所以$y$的最大值是2。
利用上面的方法，完成下面两题：
(1)求$y = \sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 3} + 5$的最大值；
(2)已知$y = \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x} - \sqrt{x}$，求$y$的最小值。
解：由$x + 2 \geq 0$，$x - 2 \geq 0$可知$x \geq 2$，而$y = \sqrt{x + 2} - \sqrt{x - 2} = \frac{4}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}}$。 当$x = 2$时，分母$\sqrt{x + 2} + \sqrt{x - 2}$有最小值2，所以$y$的最大值是2。
利用上面的方法，完成下面两题：
(1)求$y = \sqrt{2x + 1} - \sqrt{2x - 3} + 5$的最大值；
(2)已知$y = \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 + x} - \sqrt{x}$，求$y$的最小值。
答案
3. (1) $\because2x + 1\geq0$，$2x - 3\geq0$，$\therefore x\geq\frac{3}{2}$。$\because y=\sqrt{2x + 1}-\sqrt{2x - 3}+5=\frac{(\sqrt{2x + 1}+\sqrt{2x - 3})(\sqrt{2x + 1}-\sqrt{2x - 3})}{\sqrt{2x + 1}+\sqrt{2x - 3}}+5=\frac{4}{\sqrt{2x + 1}+\sqrt{2x - 3}}+5$，当$x=\frac{3}{2}$时，分母$\sqrt{2x + 1}+\sqrt{2x - 3}$有最小值$2$，$\therefore y=\frac{4}{\sqrt{2x + 1}+\sqrt{2x - 3}}+5$有最大值$7$。
(2) 由$1 - x\geq0$，$1 + x\geq0$，$x\geq0$得$0\leq x\leq1$，$y=\sqrt{1 - x}+\sqrt{1 + x}-\sqrt{x}=\sqrt{1 - x}+\frac{1}{\sqrt{1 + x}+\sqrt{x}}$，当$x = 1$时，$\sqrt{1 + x}+\sqrt{x}$有最大值，则$\frac{1}{\sqrt{1 + x}+\sqrt{x}}$有最小值$\sqrt{2}-1$，此时$\sqrt{1 - x}$有最小值$0$，$\therefore y$的最小值为$\sqrt{2}-1$。
(2) 由$1 - x\geq0$，$1 + x\geq0$，$x\geq0$得$0\leq x\leq1$，$y=\sqrt{1 - x}+\sqrt{1 + x}-\sqrt{x}=\sqrt{1 - x}+\frac{1}{\sqrt{1 + x}+\sqrt{x}}$，当$x = 1$时，$\sqrt{1 + x}+\sqrt{x}$有最大值，则$\frac{1}{\sqrt{1 + x}+\sqrt{x}}$有最小值$\sqrt{2}-1$，此时$\sqrt{1 - x}$有最小值$0$，$\therefore y$的最小值为$\sqrt{2}-1$。
