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一、选择题(每小题3分,共24分)
答案
1. (2024·重庆期中)$-\frac{\sqrt{2}}{2}$的倒数是 ( )
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $-\sqrt{2}$
C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
D. $-\frac{1}{\sqrt{2}}$
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $-\sqrt{2}$
C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
D. $-\frac{1}{\sqrt{2}}$
答案
B
2. (2024·济宁中考)下列运算正确的是 ( )
A. $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B. $\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}$
C. $2\div\sqrt{2}=1$
D. $\sqrt{(-5)^{2}}=-5$
A. $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B. $\sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}$
C. $2\div\sqrt{2}=1$
D. $\sqrt{(-5)^{2}}=-5$
答案
B
3. 下列各组二次根式中,化简后属于同类二次根式的一组是 ( )
A. $\sqrt{3}$和$\sqrt{9}$
B. $\sqrt{18}$和$\sqrt{3}$
C. $\sqrt{24}$和$\sqrt{54}$
D. $\sqrt{8}$和$\sqrt{12}$
A. $\sqrt{3}$和$\sqrt{9}$
B. $\sqrt{18}$和$\sqrt{3}$
C. $\sqrt{24}$和$\sqrt{54}$
D. $\sqrt{8}$和$\sqrt{12}$
答案
C
4. (2024·南通期末)若x为实数,在“$(\sqrt{5}+1)\square x$”的“$\square$”中添上一种运算符号(在+,-,×,÷中选择)后,其运算的结果为有理数,则x不可能是 ( )
A. $\sqrt{5}+1$
B. $\sqrt{5}-3$
C. $1-\sqrt{5}$
D. $2\sqrt{5}$
A. $\sqrt{5}+1$
B. $\sqrt{5}-3$
C. $1-\sqrt{5}$
D. $2\sqrt{5}$
答案
D
5. (2024·重庆中考)估计$\sqrt{12}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$的值应在 ( )
A. 8和9之间
B. 9和10之间
C. 10和11之间
D. 11和12之间
A. 8和9之间
B. 9和10之间
C. 10和11之间
D. 11和12之间
答案
C
6. (2024·杭州期中)如图,矩形内三个相邻的正方形面积分别为4,3和2,则图中阴影部分的面积为 ( )
A. 2
B. $\sqrt{6}$
C. $2\sqrt{3}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}-3$
D. $2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$
A. 2
B. $\sqrt{6}$
C. $2\sqrt{3}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}-3$
D. $2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-5$
答案
D
7. 已知$\triangle ABC$的三边长分别为1,k,3,则化简$|9 - 2k|-\sqrt{4k^{2}-12k + 9}$的结果是 ( )
A. 12 - 4k
B. 6
C. -6
D. 4k - 12
A. 12 - 4k
B. 6
C. -6
D. 4k - 12
答案
7. A 解析：由题意可知 $2 ＜ k ＜ 4$，$\therefore 1 ＜ 9 - 2k ＜ 5$，$1 ＜ 2k - 3 ＜ 5$，$\therefore$ 原式 = $|9 - 2k|-\sqrt{(2k - 3)^2}=9 - 2k - 2k + 3 = 12 - 4k$。故选 A。
8. 若$a + b = 2\sqrt{a}+4\sqrt{b}-5$,则$a + 2b$的值为 ( )
A. 3
B. 5
C. 8
D. 9
A. 3
B. 5
C. 8
D. 9
答案
8. D 解析：等式整理得 $(a - 2\sqrt{a}+1)+(b - 4\sqrt{b}+4)=0$，即 $(\sqrt{a}-1)^2+(\sqrt{b}-2)^2 = 0$，$\therefore\sqrt{a}-1 = 0$，$\sqrt{b}-2 = 0$，解得 $a = 1$，$b = 4$，则 $a + 2b = 1 + 8 = 9$，故选 D。
二、填空题(每小题4分,共32分)
答案
9. (2024·鸡西中考)在函数$y=\frac{\sqrt{x - 3}}{x + 2}$中,自变量x的取值范围是________.
答案
9. $x\geqslant3$
10. (青岛中考)计算:$\frac{\sqrt{24}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}}-(\sqrt{3})^{0}=$________.
答案
10. $2\sqrt{3}+1$
11. 菱形的对角线长分别为$(3\sqrt{3}+2\sqrt{6})\text{cm}$和$(3\sqrt{3}-2\sqrt{6})\text{cm}$,则菱形的面积为________$\text{cm}^{2}$.
答案
11. $\frac{3}{2}$
12. (2024·泰安期末)已知点$P(a,b)$是平面直角坐标系中第二象限的点,则化简$\sqrt{a^{2}}-\sqrt{b^{2}}-(\sqrt{b - a})^{2}$的结果是________.
答案
12. $-2b$
13. 已知$xy＞0$,化简二次根式$x\sqrt{-\frac{y}{x^{2}}}$的正确结果为________.
答案
13. $-\sqrt{-y}$
14. 若$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{6},x\geqslant1$,则$\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=$________.
答案
14. $\sqrt{2}$
15. (2024·荆门期中)如图,两张等宽的纸条交叉叠放在一起,重合部分构成四边形ABCD,P为CD上一点,连接BP,若四边形ABCD的面积为$6\sqrt{3}$,纸条的宽为3,$CP=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,则BP的长为________.
答案
15. $\frac{2\sqrt{57}}{3}$ 解析：如图，过点 $D$ 作 $DE\perp BC$，交 $BC$ 的延长线于 $E$，过点 $B$ 作 $BH\perp DC$，交 $DC$ 的延长线于 $H$，由题意可得四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$DE = BH = 3$，$\because S_{四边形ABCD}=BC\cdot DE = CD\cdot BH = 6\sqrt{3}$，$\therefore BC = CD = 2\sqrt{3}$，$\therefore CE = CH=\sqrt{BC^2 - BH^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 3^2}=\sqrt{3}$。$\because CP=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$\therefore PH = HC + CP=\frac{7\sqrt{3}}{3}$，$\therefore BP=\sqrt{BH^2 + HP^2}=\sqrt{3^2+\left(\frac{7\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{2\sqrt{57}}{3}$。
16. 设a为$\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$的小数部分,b为$\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}-\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}$的小数部分,则$\frac{b}{a}$的值为________.
答案
16. $2\sqrt{3}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}-2$ 解析：$\because(\sqrt{3 + \sqrt{5}}-\sqrt{3 - \sqrt{5}})^2=3+\sqrt{5}-2\times\sqrt{3 + \sqrt{5}}\times\sqrt{3 - \sqrt{5}}+3-\sqrt{5}=3+\sqrt{5}-2\times\sqrt{4}+3-\sqrt{5}=3+\sqrt{5}-4+3-\sqrt{5}=2$，$\therefore\sqrt{3 + \sqrt{5}}-\sqrt{3 - \sqrt{5}}=\sqrt{2}$，$\therefore a=\sqrt{2}-1$。$\because(\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}-\sqrt{6 - 3\sqrt{3}})^2=6+3\sqrt{3}-2\times\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}\times\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}+6-3\sqrt{3}=6+3\sqrt{3}-2\times\sqrt{9}+6-3\sqrt{3}=6+3\sqrt{3}-6+6-3\sqrt{3}=6$，$\therefore\sqrt{6 + 3\sqrt{3}}-\sqrt{6 - 3\sqrt{3}}=\sqrt{6}$，$\therefore b=\sqrt{6}-2$，$\therefore\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{2}-1}=\frac{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=2\sqrt{3}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}-2$。
