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1[2025 保定一模]若 $ k $ 为正整数，则 $ (k^{5})^{3} $ 的意义为(
A.3 个 $ k^{5} $ 相加
B.5 个 $ k^{3} $ 相加
C.3 个 $ k^{5} $ 相乘
D.8 个 $ k $ 相乘
C
)A.3 个 $ k^{5} $ 相加
B.5 个 $ k^{3} $ 相加
C.3 个 $ k^{5} $ 相乘
D.8 个 $ k $ 相乘
答案
1 C
2[2024 桂林期末]计算：$ (x^{4})^{3} = $(
A.$ x^{7} $
B.$ x^{12} $
C.$ x $
D.$ x^{16} $
B
)A.$ x^{7} $
B.$ x^{12} $
C.$ x $
D.$ x^{16} $
答案
2 B $(x^{4})^{3}=x^{4×3}=x^{12}$。
归纳总结
幂的乘方与同底数幂的乘法的运算性质的区别
|运算性质|不变|变化|公式|
|--|--|--|--|
|同底数幂的乘法|底数不变|指数相加|$a^{m}· a^{n}=a^{m+n}$|
|幂的乘方|底数不变|指数相乘|$(a^{m})^{n}=a^{mn}$|
归纳总结
幂的乘方与同底数幂的乘法的运算性质的区别
|运算性质|不变|变化|公式|
|--|--|--|--|
|同底数幂的乘法|底数不变|指数相加|$a^{m}· a^{n}=a^{m+n}$|
|幂的乘方|底数不变|指数相乘|$(a^{m})^{n}=a^{mn}$|
3[2024 衡阳联考]下列各式中，计算结果为 $ a^{6} $ 的是(
A.$ (-a^{2})^{3} $
B.$ (-a^{2}) · a^{3} $
C.$ a^{3} · (-a)^{3} $
D.$ (-a^{3})^{2} $
D
)A.$ (-a^{2})^{3} $
B.$ (-a^{2}) · a^{3} $
C.$ a^{3} · (-a)^{3} $
D.$ (-a^{3})^{2} $
答案
3 D A项，$(-a^{2})^{3}=-a^{6}$，不符合题意；B项，$(-a^{2})· a^{3}=-a^{5}$，不符合题意；C项，$a^{3}· (-a)^{3}=-a^{6}$，不符合题意；D项，$(-a^{3})^{2}=(-a^{3})· (-a^{3})=a^{6}$，符合题意。
4[2024 广州白云区模拟]若 $ (9^{m})^{2} = 3^{12} $，则 $ m $ 的值为(
A.3
B.4
C.5
D.6
A
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
4 A $(9^{m})^{2}=[(3^{2})^{m}]^{2}=(3^{2m})^{2}=3^{4m}=3^{12}$，所以$4m=12$，解得$m=3$。
5计算：
(1) $ (a^{5})^{n} $；
(2) $ (m^{2})^{x - 1} $；
(3) $ [(-x)^{3}]^{4} $。
(1) $ (a^{5})^{n} $；
(2) $ (m^{2})^{x - 1} $；
(3) $ [(-x)^{3}]^{4} $。
答案
5 解：(1)$(a^{5})^{n}=a^{5×n}=a^{5n}$。
(2)$(m^{2})^{x - 1}=m^{2(x - 1)}=m^{2x - 2}$。
(3)$[(-x)^{3}]^{4}=(-x)^{12}=x^{12}$。
(2)$(m^{2})^{x - 1}=m^{2(x - 1)}=m^{2x - 2}$。
(3)$[(-x)^{3}]^{4}=(-x)^{12}=x^{12}$。
6[2025 衢州期中]计算：$ (a^{3})^{4} · a^{5} = $(
A.$ a^{12} $
B.$ a^{17} $
C.$ a^{19} $
D.$ 4a^{8} $
B
)A.$ a^{12} $
B.$ a^{17} $
C.$ a^{19} $
D.$ 4a^{8} $
答案
6 B $(a^{3})^{4}· a^{5}=a^{12}· a^{5}=a^{17}$。
7[2025 石家庄模拟]若 $ 2^{m} × 2^{m} × 2^{m} × 2^{m} = 4 + 4 + 4 + 4 $，则 $ m $ 的值为
1
。答案
7 1 根据题意，得$\underset{4个4}{\underbrace{(2^{m})^{4}=4×4=16}}=2^{4}$，即$2^{4m}=2^{4}$，所以$4m=4$，解得$m=1$。
8[2025 扬州梅苑双语学校月考]若 $ 3^{x} × 9^{x} × 27^{x} = 3^{12} $，则 $ x $ 的值为
2
。答案
8 2 由题意，得$3^{x}×9^{x}×27^{x}=3^{x}×(3^{2})^{x}×(3^{3})^{x}=3^{x}×3^{2x}×3^{3x}=3^{6x}=3^{12}$，所以$6x=12$，所以$x=2$。
9教材 P4 例 3 变式 计算：
(1) $ a · a^{3} · (a^{2})^{3} $；
(2) $ (-x^{3})^{2} + (-x^{2})^{3} $；
(3) $ (a^{6})^{n} - 2(a^{3n})^{2} $。
(1) $ a · a^{3} · (a^{2})^{3} $；
(2) $ (-x^{3})^{2} + (-x^{2})^{3} $；
(3) $ (a^{6})^{n} - 2(a^{3n})^{2} $。
答案
9 解：(1)$a· a^{3}· (a^{2})^{3}=a^{4}· a^{6}=a^{10}$。
(2)$(-x^{3})^{2}+(-x^{2})^{3}=x^{6}+(-x^{6})=0$。
(3)$(a^{6})^{n}-2(a^{3n})^{2}=a^{6n}-2a^{6n}=-a^{6n}$。
(2)$(-x^{3})^{2}+(-x^{2})^{3}=x^{6}+(-x^{6})=0$。
(3)$(a^{6})^{n}-2(a^{3n})^{2}=a^{6n}-2a^{6n}=-a^{6n}$。
10教材 P5T2 变式 若 $ a^{x} = 2 $，则 $ a^{3x} $ 的值是(
A.4
B.6
C.8
D.9
C
)A.4
B.6
C.8
D.9
答案
10 C 因为$a^{x}=2$，所以$a^{3x}=(a^{x})^{3}=2^{3}=8$。
11[2024 烟台期末]给出下列算式：① $ a^{2m} = a^{2} · a^{m} $；② $ a^{2m} = (a^{2})^{m} $；③ $ a^{2m} = (-a^{m})^{2} $；④ $ a^{2m} = (-a^{2})^{m} $。其中正确的个数是(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
11 B
12[2025 太原小店区月考]已知 $ 2^{m} = a $，$ 2^{n} = b $，则 $ 2^{2m + 3n} $ 用 $ a $，$ b $ 可以表示为(
A.$ 6ab $
B.$ a^{2} + b^{3} $
C.$ 2a + 3b $
D.$ a^{2}b^{3} $
D
)A.$ 6ab $
B.$ a^{2} + b^{3} $
C.$ 2a + 3b $
D.$ a^{2}b^{3} $
答案
12 D 因为$2^{m}=a$，$2^{n}=b$，所以$2^{2m + 3n}=(2^{m})^{2}×(2^{n})^{3}=a^{2}b^{3}$。
变式 [2025 重庆期中]已知 $ 2^{m} = 3 $，$ 2^{2m + n} = 27 $，则 $ 2^{2n} $ 的值为(
A.3
B.9
C.27
D.16
B
)A.3
B.9
C.27
D.16
答案
变式 B 因为$2^{2m + n}=2^{2m}· 2^{n}=27$，$2^{2m}=(2^{m})^{2}=3^{2}=9$，所以$2^{n}=3$，所以$2^{2n}=(2^{n})^{2}=3^{2}=9$。
