9若 $ x^{4} = a $，则 $ x^{8} $ 等于()

A.$ 2a $
B.$ 4a $
C.$ a^{2} $
D.$ a^{4} $

9 C 因为 $ x ^ { 4 } = a $，所以 $ x ^ { 8 } = x ^ { 4 + 4 } = x ^ { 4 } · x ^ { 4 } = a · a = a ^ { 2 } $。

10[2025 宿迁宿城区期中]若 $ 2^{n} · 2^{n} = 2^{n} + 2^{n} + 2^{n} + 2^{n} $，则 $ n $ 的值为()

A.0
B.1
C.2
D.4

10 C 因为 $ 2 ^ { n } · 2 ^ { n } = 2 ^ { n } + 2 ^ { n } + 2 ^ { n } + 2 ^ { n } $，所以 $ 2 ^ { 2 n } = 4 · 2 ^ { n } = 2 ^ { n + 2 } $，所以 $ 2 n = n + 2 $，所以 $ n = 2 $。

11[教材 P9 习题 T2 变式][2025 邵阳期中]已知 $ x + y - 3 = 0 $，则 $ 2^{y} · 2^{x} $ 的值是()

A.6
B.-6
C.$ \frac{1}{8} $
D.8

11 D 因为 $ x + y - 3 = 0 $，所以 $ x + y = 3 $，所以 $ 2 ^ { y } · 2 ^ { x } = 2 ^ { x + y } = 2 ^ { 3 } = 8 $。

12[教材 P3 思考·交流变式]计算 $ - (m - n)^{2a} · (m - n) · (m - n)^{b - 1} $ 的结果是()

A.$ (m - n)^{2a + b} $
B.$ - (m - n)^{2a + b} $
C.$ (n - m)^{2a + b} $
D.$ - (m - n)^{2a + b - 1} $

12 B

13按一定规律排列的一列数 $ 2^{1} $，$ 2^{2} $，$ 2^{3} $，$ 2^{5} $，$ 2^{8} $，$ 2^{13} $，…，若 $ x $，$ y $，$ z $ 表示这列数中从小到大排列的三个连续的数，猜想 $ x $，$ y $，$ z $ 之间的数量关系：。

13 $ x y = z $ 因为 $ 2 ^ { 1 } × 2 ^ { 2 } = 2 ^ { 3 } $，$ 2 ^ { 2 } × 2 ^ { 3 } = 2 ^ { 5 } $，$ 2 ^ { 3 } × 2 ^ { 5 } = 2 ^ { 8 } $，$ 2 ^ { 5 } × 2 ^ { 8 } = 2 ^ { 13 } ··· ··· $所以 $ x $，$ y $，$ z $ 之间的数量关系是 $ x y = z $。

14计算：
(1) $ (-a)^{2m} · a^{3n} $；
(2) $ (-xy)^{3} · (xy)^{4} · (-xy) $；
(3) $ (a - b)^{2} · (b - a)^{3} + (a - b)^{4} · (b - a) $。

14 解：（1）$ ( - a ) ^ { 2 m } · a ^ { 3 n } = a ^ { 2 m } · a ^ { 3 n } = a ^ { 2 m + 3 n } $。
（2）$ ( - x y ) ^ { 3 } · ( x y ) ^ { 4 } · ( - x y ) $
$ = [ - ( x y ) ^ { 3 } ] · ( x y ) ^ { 4 } · ( - x y ) $
$ = ( x y ) ^ { 3 } · ( x y ) ^ { 4 } · ( x y ) $
$ = ( x y ) ^ { 8 } $。
（3）$ ( a - b ) ^ { 2 } · ( b - a ) ^ { 3 } + ( a - b ) ^ { 4 } · ( b - a ) $
$ = ( b - a ) ^ { 2 } · ( b - a ) ^ { 3 } + ( b - a ) ^ { 4 } · ( b - a ) $
$ = ( b - a ) ^ { 5 } + ( b - a ) ^ { 5 } $
$ = 2 ( b - a ) ^ { 5 } $。

15解答下列问题：
(1) 若 $ 2^{x} = 3 $，$ 2^{x + y} = 15 $，求 $ 2^{x} + 2^{y} $ 的值。
(2) 若 $ x^{2a + b} · x^{3a - b} · x^{a} = x^{12} (x ≠ 1, 0, -1) $，求 $ 2^{2025} - a^{2024} $ 的值。

15 解：（1）因为 $ 2 ^ { x } = 3 $，$ 2 ^ { x + y } = 15 $，
所以 $ 2 ^ { x + y } = 2 ^ { x } · 2 ^ { y } = 3 · 2 ^ { y } = 15 $，所以 $ 2 ^ { y } = 5 $，
所以 $ 2 ^ { x } + 2 ^ { y } = 3 + 5 = 8 $。
（2）因为 $ x ^ { 2 a + b } · x ^ { 3 a - b } · x ^ { a } = x ^ { 12 } $，
所以 $ x ^ { 6 a } = x ^ { 12 } $，所以 $ 6 a = 12 $，所以 $ a = 2 $，
所以 $ 2 ^ { 2 ^ { 025 } } - a ^ { 2 ^ { 024 } } = 2 ^ { 2 ^ { 025 } } - 2 ^ { 2 ^ { 024 } } = 2 ^ { 2 ^ { 024 } } × ( 2 - 1 ) = 2 ^ { 2 ^ { 024 } } $。

16[2025 无锡期中]如果 $ a^{c} = b $，那么我们规定 $ (a, b) = c $。例如：因为 $ 2^{3} = 8 $，所以 $ (2, 8) = 3 $。
(1) 根据上述规定，$ (3, 27) = $。
(2) 记 $ (3, 5) = d $，$ (3, 6) = e $，$ (3, 30) = f $，试说明：$ d + e = f $。

16 解：（1）3
（2）因为 $ ( 3,5 ) = d $，$ ( 3,6 ) = e $，$ ( 3,30 ) = f $，
所以 $ 3 ^ { d } = 5 $，$ 3 ^ { e } = 6 $，$ 3 ^ { f } = 30 $，所以 $ 3 ^ { d } × 3 ^ { e } = 30 $，
所以 $ 3 ^ { d } × 3 ^ { e } = 3 ^ { d + e } = 3 ^ { f } $，
所以 $ d + e = f $。