1[2025 湖南中考]计算 $ a^{3} · a^{4} $ 的结果是()

A.$ 2a^{7} $
B.$ a^{7} $
C.$ 2a^{4} $
D.$ a^{12} $

1 B $ a ^ { 3 } · a ^ { 4 } = a ^ { 3 + 4 } = a ^ { 7 } $。

[变式 1][2025 唐山路南区期中]式子 $ a^{2} · a^{3} $ 的运算结果与下列运算结果一致的是 ()

A.3 个 $ a^{2} $ 相乘
B.6 个 $ a $ 相乘
C.5 个 $ a $ 相乘
D.2 个 $ a^{3} $ 相乘

变式 1 C $ a ^ { 2 } · a ^ { 3 } = a ^ { 5 } $，所以式子 $ a ^ { 2 } · a ^ { 3 } $ 的运算结果与 5 个 $ a $ 相乘的运算结果一致。

[变式 2][2025 石家庄二十三中月考]若 $ m^{?} · m^{2} = m^{6} (m ≠ 1, 0, -1) $，则“?”表示的数为()

A.8
B.6
C.4
D.3

变式 2 C

2 [2025 清远期末]下列计算正确的是 ()

A.$ (-a)^{2} · (-a) = a^{2} $
B.$ (-a) · (-a) = a^{2} $
C.$ (-a)^{2} · (-a) = a^{3} $
D.$ (-a)^{2} · (-a)^{2} = -a^{4} $

2 B A 项，$ ( - a ) ^ { 2 } · ( - a ) = ( - a ) ^ { 3 } = - a ^ { 3 } $，不符合题意；B 项，$ ( - a ) · ( - a ) = ( - a ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } $，符合题意；C 项，$ ( - a ) ^ { 2 } · ( - a ) = ( - a ) ^ { 3 } = - a ^ { 3 } $，不符合题意；D 项，$ ( - a ) ^ { 2 } · ( - a ) ^ { 2 } = ( - a ) ^ { 4 } = a ^ { 4 } $，不符合题意。

3 [2024 保定期中]若 $ 2^{m} · 2^{n} = 16 $，则 $ m + n $ 的值为()

A.5
B.4
C.3
D.2

3 B 因为 $ 2 ^ { m } · 2 ^ { n } = 2 ^ { m + n } = 16 = 2 ^ { 4 } $，所以 $ m + n = 4 $。

4 [教材 P9 习题 T2 变式][2025 周口月考]若 $ 3^{x} = 2 $，$ 3^{y} = 10 $，$ 3^{n} = 20 $，则下列等式成立的是()

A.$ n = 5x + y $
B.$ n = xy $
C.$ n = x + y $
D.$ n = x - y $

4 C 因为 $ 3 ^ { x } = 2 $，$ 3 ^ { y } = 10 $，$ 3 ^ { n } = 20 $，所以 $ 3 ^ { x } × 3 ^ { y } = 2 × 10 $，即 $ 3 ^ { x + y } = 20 $，所以 $ 3 ^ { x + y } = 3 ^ { n } $，所以 $ n = x + y $。

5 [新趋势·数学文化][教材 P3 例 2 变式][2025 郑州联考]《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京。”说明了大数之间的关系：1 亿 $ = 1 $ 万 $ × 1 $ 万，1 兆 $ = 1 $ 万 $ × 1 $ 亿，1 京 $ = 1 $ 万 $ × 1 $ 兆。则 1 京为 ()

A.$ 10^{28} $
B.$ 10^{24} $
C.$ 10^{20} $
D.$ 10^{16} $

5 D 因为 1 万 $ = 10 ^ { 4 } $，则 1 亿 $ = 10 ^ { 8 } $，1 兆 $ = 10 ^ { 12 } $，所以 1 京 $ = 10 ^ { 4 } × 10 ^ { 12 } = 10 ^ { 16 } $。

6 [教材 P3 例 1 变式][2024 南通崇川区月考]计算：
(1) $ (-\frac{1}{3}) × (-\frac{1}{3})^{3} $；
(2) $ (-m) · (-m)^{2} · (-m)^{3} $；
(3) $ (m - n) · (n - m)^{3} · (n - m)^{4} $。

6 解：（1）$ ( - \frac { 1 } { 3 } ) × ( - \frac { 1 } { 3 } ) ^ { 3 } = ( - \frac { 1 } { 3 } ) ^ { 1 + 3 } = ( - \frac { 1 } { 3 } ) ^ { 4 } = \frac { 1 } { 81 } $。
（2）$ ( - m ) · ( - m ) ^ { 2 } · ( - m ) ^ { 3 } = ( - m ) ^ { 1 + 2 + 3 } = ( - m ) ^ { 6 } = m ^ { 6 } $。
（3）$ ( m - n ) · ( n - m ) ^ { 3 } · ( n - m ) ^ { 4 } = ( m - n ) · [ - ( m - n ) ^ { 3 } ] · ( m - n ) ^ { 4 } = - ( m - n ) ^ { 8 } $。[或 $ - ( n - m ) ^ { 8 } $ ]
归纳总结
同底数幂的乘法法则也适用于 3 个或 3 个以上的同底数幂相乘：（1）$ a ^ { m } · a ^ { n } · a ^ { p } = a ^ { m + n + p } $（$ m $，$ n $，$ p $ 都是正整数）；（2）$ a ^ { m _ { 1 } } · a ^ { m _ { 2 } } · ··· · a ^ { m _ { n } } = a ^ { m _ { 1 } + m _ { 2 } + ··· + m _ { n } } $（$ m _ { 1 } $，$ m _ { 2 } $，$ ··· $，$ m _ { n } $ 都是正整数）。

7[2025 郑州期末]已知 $ a^{m} = 6 $，$ a^{n} = 3 $，则 $ a^{m + n} $ 的值为()

A.9
B.18
C.3
D.2

7 B 因为 $ a ^ { m } = 6 $，$ a ^ { n } = 3 $，所以 $ a ^ { m + n } = a ^ { m } · a ^ { n } = 6 × 3 = 18 $。（当指数是和的形式时，考虑逆用同底数幂的乘法的运算性质）

[变式][2023 德阳中考]已知 $ 3^{x} = y $，则 $ 3^{x + 1} = $()

A.$ y $
B.$ 1 + y $
C.$ 3 + y $
D.$ 3y $

变式 D 因为 $ 3 ^ { x } = y $，所以 $ 3 ^ { x + 1 } = 3 ^ { x } × 3 = 3 y $。

8 [2025 贵港期中]若 $ 2^{a} = 3 $，$ 2^{b} = 7 $，$ 2^{c} = m $，且 $ a + b = c $，则 $ m $ 的值为。

8 21 因为 $ a + b = c $，$ 2 ^ { a } = 3 $，$ 2 ^ { b } = 7 $，所以 $ m = 2 ^ { c } = 2 ^ { a + b } = 2 ^ { a } · 2 ^ { b } = 3 × 7 = 21 $。
[注]波浪线标注部分为解题关键，助你快速解题

[变式][2025 岳阳期中]已知 $ 2^{m} = 3 $，$ 2^{n} = 9 $，求 $ 2^{m + n + 1} $ 的值。

变式 解：$ 2 ^ { m + n + 1 } = 2 ^ { m } · 2 ^ { n } · 2 $。
因为 $ 2 ^ { m } = 3 $，$ 2 ^ { n } = 9 $，所以 $ 2 ^ { m } · 2 ^ { n } · 2 = 3 × 9 × 2 = 54 $，
所以 $ 2 ^ { m + n + 1 } = 54 $。