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13[2025 成都期中]若 $ 3m + 2n - 5 = 0 $，则 $ 8^{m} · 4^{n} = $(
A.16
B.25
C.32
D.64
C
)A.16
B.25
C.32
D.64
答案
13 C 因为$3m + 2n - 5 = 0$，所以$3m + 2n = 5$，所以$8^{m}· 4^{n}=(2^{3})^{m}· (2^{2})^{n}=2^{3m + 2n}=2^{5}=32$。
14教材 P4 尝试·思考变式 [2024 宁波奉化区期中]若 $ k $ 为正整数，则 $ (\underbrace{k + k + ··· + k}_{k 个 k})^{k} = $(
A.$ k^{2k} $
B.$ k^{2k + 1} $
C.$ 2k^{k} $
D.$ k^{2 + k} $
A
)A.$ k^{2k} $
B.$ k^{2k + 1} $
C.$ 2k^{k} $
D.$ k^{2 + k} $
答案
14 A $\underset{k个k}{\underbrace{(k + k + ··· + k)}}^{k}=(k^{2})^{k}=k^{2k}$。
15[2024 绵阳游仙区三模]已知 $ 9^{m} = 3 $，$ 27^{n} = 4 $，则 $ 3^{2m + 3n} = $(
A.1
B.6
C.7
D.12
D
)A.1
B.6
C.7
D.12
答案
15 D 因为$9^{m}=3$，$27^{n}=4$，所以$3^{2m + 3n}=3^{2m}· 3^{3n}=(3^{2})^{m}· (3^{3})^{n}=9^{m}· 27^{n}=3×4=12$。
16[2025 安庆期末]已知 $ 3^{x} = 4 $，$ 3^{y} = 25 $，$ 3^{z} = 10 $，则 $ x $，$ y $，$ z $ 三者之间关系正确的是(
A.$ xy = 2z $
B.$ xy = z^{2} $
C.$ x + y = z^{2} $
D.$ x + y = 2z $
D
)A.$ xy = 2z $
B.$ xy = z^{2} $
C.$ x + y = z^{2} $
D.$ x + y = 2z $
答案
16 D 由题意，得$3^{x}×3^{y}=3^{x + y}=4×25=100=10^{2}=(3^{z})^{2}=3^{2z}$，所以$3^{x + y}=3^{2z}$，所以$x$，$y$，$z$三者之间关系为$x + y = 2z$。
17计算：
(1) $ x^{4} · x^{5} · (-x)^{7} + 5(x^{4})^{4} - (x^{8})^{2} $；
(2) $ [(x - y)^{3}]^{2} · [(x - y)^{3}]^{4} - [(y - x)^{3}]^{6} $。
(1) $ x^{4} · x^{5} · (-x)^{7} + 5(x^{4})^{4} - (x^{8})^{2} $；
(2) $ [(x - y)^{3}]^{2} · [(x - y)^{3}]^{4} - [(y - x)^{3}]^{6} $。
答案
17 解：(1)$x^{4}· x^{5}· (-x)^{7}+5(x^{4})^{4}-(x^{8})^{2}$
$=-x^{16}+5x^{16}-x^{16}$
$=3x^{16}$。
(2)$[(x - y)^{3}]^{2}· [(x - y)^{3}]^{4}-[(y - x)^{3}]^{6}$
$=(x - y)^{6}· (x - y)^{12}-(y - x)^{18}$
$=(x - y)^{18}-(x - y)^{18}$
$=0$。
$=-x^{16}+5x^{16}-x^{16}$
$=3x^{16}$。
(2)$[(x - y)^{3}]^{2}· [(x - y)^{3}]^{4}-[(y - x)^{3}]^{6}$
$=(x - y)^{6}· (x - y)^{12}-(y - x)^{18}$
$=(x - y)^{18}-(x - y)^{18}$
$=0$。
18已知 $ n $ 为正整数，且 $ x^{2n} = 4 $，求 $ x^{n - 3} · x^{3(n + 1)} $ 的值。
答案
18 解：因为$x^{2n}=4$，
所以$x^{n - 3}· x^{3(n + 1)}=x^{n - 3 + 3n + 3}=x^{4n}=(x^{2n})^{2}=4^{2}=16$。
所以$x^{n - 3}· x^{3(n + 1)}=x^{n - 3 + 3n + 3}=x^{4n}=(x^{2n})^{2}=4^{2}=16$。
19[2025 无锡新吴区期中]在幂的运算中规定：若 $ a^{x} = a^{y} $($ a ＞ 0 $ 且 $ a ≠ 1 $，$ xy $ 是正整数)，则 $ x = y $。利用上面的结论解答下列问题：
(1) 若 $ 3^{x} = 3^{6} $，则 $ x = $
(2) 若 $ 3^{x + 2} - 3^{x + 1} = 18 $，求 $ x $ 的值；
(3) 若 $ m = 2^{x} + 1 $，$ n = 4^{x} + 2^{x} $，用含 $ m $ 的代数式表示 $ n $。
(1) 若 $ 3^{x} = 3^{6} $，则 $ x = $
6
；(2) 若 $ 3^{x + 2} - 3^{x + 1} = 18 $，求 $ x $ 的值；
(3) 若 $ m = 2^{x} + 1 $，$ n = 4^{x} + 2^{x} $，用含 $ m $ 的代数式表示 $ n $。
答案
19 解：(1)6
(2)因为$3^{x + 2}-3^{x + 1}=18$，
所以$3×3^{x + 1}-3^{x + 1}=18$，
所以$2×3^{x + 1}=18$，所以$3^{x + 1}=9=3^{2}$，
所以$x + 1 = 2$，所以$x = 1$。
(3)因为$m = 2^{x}+1$，所以$2^{x}=m - 1$，
又因为$n = 4^{x}+2^{x}$，
所以$n=(2^{2})^{x}+2^{x}=(2^{x})^{2}+2^{x}=(m - 1)^{2}+m - 1=m^{2}-2m + 1 + m - 1=m^{2}-m$。
(2)因为$3^{x + 2}-3^{x + 1}=18$，
所以$3×3^{x + 1}-3^{x + 1}=18$，
所以$2×3^{x + 1}=18$，所以$3^{x + 1}=9=3^{2}$，
所以$x + 1 = 2$，所以$x = 1$。
(3)因为$m = 2^{x}+1$，所以$2^{x}=m - 1$，
又因为$n = 4^{x}+2^{x}$，
所以$n=(2^{2})^{x}+2^{x}=(2^{x})^{2}+2^{x}=(m - 1)^{2}+m - 1=m^{2}-2m + 1 + m - 1=m^{2}-m$。
20运算能力 [2024 揭阳一检]材料一：比较 $ 3^{22} $ 和 $ 4^{11} $ 的大小。
解：因为 $ 4^{11} = (2^{2})^{11} = 2^{22} $，且 $ 3 ＞ 2 $，所以 $ 3^{22} ＞ 2^{22} $，即 $ 3^{22} ＞ 4^{11} $。
解题思路：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小。
材料二：比较 $ 2^{8} $ 和 $ 8^{2} $ 的大小。
解：因为 $ 8^{2} = (2^{3})^{2} = 2^{6} $，且 $ 8 ＞ 6 $，所以 $ 2^{8} ＞ 2^{6} $，即 $ 2^{8} ＞ 8^{2} $。
解题思路：在底数相同的情况下，可通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小。
(1) 比较 $ 3^{44} $，$ 4^{33} $，$ 5^{22} $ 的大小；
(2) 比较 $ 81^{31} $，$ 27^{41} $，$ 9^{61} $ 的大小。
解：因为 $ 4^{11} = (2^{2})^{11} = 2^{22} $，且 $ 3 ＞ 2 $，所以 $ 3^{22} ＞ 2^{22} $，即 $ 3^{22} ＞ 4^{11} $。
解题思路：在指数相同的情况下，可通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小。
材料二：比较 $ 2^{8} $ 和 $ 8^{2} $ 的大小。
解：因为 $ 8^{2} = (2^{3})^{2} = 2^{6} $，且 $ 8 ＞ 6 $，所以 $ 2^{8} ＞ 2^{6} $，即 $ 2^{8} ＞ 8^{2} $。
解题思路：在底数相同的情况下，可通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小。
(1) 比较 $ 3^{44} $，$ 4^{33} $，$ 5^{22} $ 的大小；
(2) 比较 $ 81^{31} $，$ 27^{41} $，$ 9^{61} $ 的大小。
答案
20 解：(1)因为$3^{44}=(3^{4})^{11}=81^{11}$，$4^{33}=(4^{3})^{11}=64^{11}$，$5^{22}=(5^{2})^{11}=25^{11}$，且$81＞64＞25$，
所以$81^{11}＞64^{11}＞25^{11}$，
即$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$。
(2)因为$81^{31}=(3^{4})^{31}=3^{124}$，$27^{41}=(3^{3})^{41}=3^{123}$，$9^{61}=(3^{2})^{61}=3^{122}$，且$124＞123＞122$，
所以$3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，
即$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$。
所以$81^{11}＞64^{11}＞25^{11}$，
即$3^{44}＞4^{33}＞5^{22}$。
(2)因为$81^{31}=(3^{4})^{31}=3^{124}$，$27^{41}=(3^{3})^{41}=3^{123}$，$9^{61}=(3^{2})^{61}=3^{122}$，且$124＞123＞122$，
所以$3^{124}＞3^{123}＞3^{122}$，
即$81^{31}＞27^{41}＞9^{61}$。
