23.(10分)我们定义两种运算“⊕”和“⊙”，对于任意两个数$a,b$，有$a \oplus b = a^2 + b^2$，$a \odot b = 2ab$。
(1)因式分解:$(a \oplus b) - (a \odot b) =$；
(2)若$\frac{a \oplus b}{a \odot b}=1$，求$\frac{3a^2 - 2ab + 3b^2}{a^2 + ab + b^2}$的值；
(3)若$(a \oplus b) \odot 2 = a \oplus (b \odot 2)$，求$a,b$之间满足的数量关系。

23.(1)$(a-b)^2$ (2)解:因为$\frac{a \oplus b}{a \odot b}=1$,所以$\frac{a^2+b^2}{2ab}=1$,所以$a^2+b^2=2ab$,$(a-b)^2=0$,即$a=b$,所以$\frac{3a^2-2ab+3b^2}{a^2+ab+b^2}=\frac{3a^2-2a^2+3a^2}{a^2+a^2+a^2}=\frac{4}{3}$。(3)解:$(a \oplus b) \odot 2=(a^2+b^2) \odot 2=4a^2+4b^2$,$a \oplus (b \odot 2)=a \oplus 4b=a^2+16b^2$,因为$(a \oplus b) \odot 2=a \oplus (b \odot 2)$,所以$4a^2+4b^2=a^2+16b^2$,所以$a^2-4b^2=0$,所以$(a-2b)(a+2b)=0$,所以$a-2b=0$或$a+2b=0$,所以$a=2b$或$a=-2b$。

【分析】
首先明确题目定义的两种新运算：对任意两数$a,b$，$a \oplus b = a^2 + b^2$，$a \odot b = 2ab$。解题时需将问题中的新运算转化为常规代数运算，结合因式分解、分式化简、等式变形等知识求解：
(1) 直接代入新运算表达式，得到多项式后用完全平方公式因式分解；
(2) 先根据已知分式条件，代入新运算转化为整式等式，推导$a$与$b$的关系，再代入所求分式计算；
(3) 分别计算等式左右两边的新运算结果，转化为常规等式后化简，通过因式分解得到$a,b$的数量关系。
【解析】
(1) 代入新运算定义：
$(a \oplus b)-(a \odot b) = (a^2 + b^2) - 2ab = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$；
(2) 由$\frac{a \oplus b}{a \odot b}=1$，代入定义得：
$\frac{a^2 + b^2}{2ab}=1$，等式两边同乘$2ab$（$ab≠0$），得$a^2 + b^2 = 2ab$，整理为$(a - b)^2 = 0$，故$a = b$；
将$a = b$代入所求分式：
$\frac{3a^2 - 2ab + 3b^2}{a^2 + ab + b^2} = \frac{3a^2 - 2a^2 + 3a^2}{a^2 + a^2 + a^2} = \frac{4a^2}{3a^2} = \frac{4}{3}$；
(3) 分别计算等式左右两边：
左边：$(a \oplus b) \odot 2 = (a^2 + b^2) \odot 2 = 2×(a^2 + b^2)×2 = 4a^2 + 4b^2$；
右边：$a \oplus (b \odot 2) = a \oplus (2×b×2) = a \oplus 4b = a^2 + (4b)^2 = a^2 + 16b^2$；
由$(a \oplus b) \odot 2 = a \oplus (b \odot 2)$，得：
$4a^2 + 4b^2 = a^2 + 16b^2$，移项整理得$a^2 - 4b^2 = 0$，因式分解为$(a - 2b)(a + 2b) = 0$，故$a = 2b$或$a = -2b$；
【答案】
(1)$(a-b)^2$；(2)$\frac{4}{3}$；(3)$a=2b$或$a=-2b$；
【知识点】
因式分解、分式化简求值、新定义运算；
【点评】
本题是新定义运算的综合应用，核心是准确转化新运算为常规代数运算，结合因式分解、等式变形等知识点解题，考查学生的代数运算能力与对新规则的理解应用能力，属于中等难度的代数题。
【难度系数】
0.6