24.(12分)已知三角板ABC与DEF,∠B=∠C=45°,∠DEF=60°,∠DFE=30°,将它们按下列要求放置。
(1)如图1,当AE平分∠BAC时,试说明:BC//AF;
(2)如图2所示,若EF//BC,求∠EAB的度数;
(3)如图3,将三角板DEF固定不动,∠DFE的平分线FG交DE于点G,改变另一个三角板ABC的位置,顶点A与顶点E始终保持重合,旋转三角板ABC,当BC与FG平行时,求∠FEB的度数。(∠FEB度数不大于180°)

24.解:(1)因为AE平分∠CAB,∠CAB=90°,所以$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ CAB=45°$。又因为$∠ EAF=∠ EAB+∠ BAF=90°$,所以$∠ BAF=45°$,因为$∠ B=45°$,所以$∠ B=∠ BAF$,所以$BC//AF$。(2)如图,过点N作$NM//AB$。因为$EF//BC$,所以$∠ ANB=∠ E=60°$,因为$NM//AB$,所以$∠ MNB=∠ B=45°$,$∠ MNA+∠ EAB=180°$。因为$∠ MNA=∠ MNB+∠ ANB=105°$,所以$∠ EAB=75°$。(3)①当三角尺ABC转到如图所示位置时,延长BA,FG交于点H,过点F作$FM//AB$。因为FG平分$∠ DFE$,$∠ DFE=30°$,所以$∠ EFG=\frac{1}{2}∠ DFE=15°$。因为$BC//FG$,所以$∠ H=∠ B=45°$,因为$FM//AB$,所以$∠ H+∠ HFM=180°$,所以$∠ HFM=135°$。因为$∠ HFM=∠ AFM+∠ EFG$,所以$∠ AFM=120°$。因为$FM//AB$,所以$∠ FEB+∠ AFM=180°$,所以$∠ FEB=60°$。②当三角尺ABC转到如图所示位置时,延长FG交AB于点H,过点F作$FM//AB$。因为$BC//FG$,所以$∠ AHF=∠ B=45°$。因为$FM//AB$,所以$∠ HFM=∠ AHF=45°$,所以$∠ AFM=∠ EFG+∠ HFM=60°$,因为$FM//AB$,所以$∠ FEB+∠ AFM=180°$,所以$∠ FEB=120°$。(用三角形内角和或利用平行线的传递性证明都给分)

【分析】
本题是平行线性质与判定的综合应用，需结合三角板的固定角度特征，利用平行线的角度关系解题。
(1) 要证BC//AF，需找内错角∠B与∠BAF相等，结合角平分线和三角板直角计算角度即可；
(2) 已知EF//BC，通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化角度，结合同旁内角互补求∠EAB；
(3) BC//FG时，分两种旋转位置，作辅助线构造平行线，结合角平分线性质和平行线的角度关系，计算∠FEB的度数。
【解析】
(1) 因为AE平分∠CAB，且∠CAB=90°，所以∠BAE = $\frac{1}{2}$∠CAB = 45°。
又∠EAF=90°，所以∠BAF = ∠EAF - ∠BAE = 90° - 45° = 45°。
已知∠B=45°，故∠B = ∠BAF，根据“内错角相等，两直线平行”，可得BC//AF。
(2) 如图，过点N作NM//AB。
因为EF//BC，所以∠ANB=∠E=60°（两直线平行，同位角相等）。
因为NM//AB，所以∠MNB=∠B=45°（两直线平行，内错角相等），且∠MNA + ∠EAB=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又∠MNA=∠MNB + ∠ANB=45° + 60°=105°，所以∠EAB=180° - ∠MNA=180° - 105°=75°。
(3) 因为FG平分∠DFE，∠DFE=30°，所以∠EFG=$\frac{1}{2}$∠DFE=15°。
① 当三角板ABC转到如图所示位置时，延长BA、FG交于点H，过点F作FM//AB。
因为BC//FG，所以∠H=∠B=45°（两直线平行，同位角相等）。
因为FM//AB，所以∠H + ∠HFM=180°（两直线平行，同旁内角互补），则∠HFM=180° - 45°=135°。
又∠HFM=∠AFM + ∠EFG，所以∠AFM=∠HFM - ∠EFG=135° - 15°=120°。
因为FM//AB，所以∠FEB + ∠AFM=180°（两直线平行，同旁内角互补），故∠FEB=180° - 120°=60°。
② 当三角板ABC转到如图所示位置时，延长FG交AB于点H，过点F作FM//AB。
因为BC//FG，所以∠AHF=∠B=45°（两直线平行，同位角相等）。
因为FM//AB，所以∠HFM=∠AHF=45°（两直线平行，内错角相等），则∠AFM=∠EFG + ∠HFM=15° + 45°=60°。
因为FM//AB，所以∠FEB + ∠AFM=180°（两直线平行，同旁内角互补），故∠FEB=180° - 60°=120°。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) ∠EAB=75°；(3) ∠FEB的度数为60°或120°。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的性质与判定，需结合三角板的固定角度，通过作辅助线转化角度关系，分情况讨论旋转位置是解题关键，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5