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12. 已知$|ab-2|$与$|a-1|$互为相反数,求
$\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{(a+1)(b+2)}+\frac{1}{(a+2)(b+3)}+···+\frac{1}{(a+2017)(b+2018)}+\frac{1}{4040}\mathrm{的值.}$
$\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{(a+1)(b+2)}+\frac{1}{(a+2)(b+3)}+···+\frac{1}{(a+2017)(b+2018)}+\frac{1}{4040}\mathrm{的值.}$
答案
12. 解:因为 $|ab-2|$ 与 $|a-1|$ 互为相反数,所以 $|ab-2|+|a-1|=0$,所以 $a=1,b=2$, 所以 $\dfrac{1}{a(b+1)} + \dfrac{1}{(a+1)(b+2)} + \dfrac{1}{(a+2)(b+3)} + \dots + \dfrac{1}{(a+2\ 017)(b+2\ 018)} + \dfrac{1}{4\ 040} = \dfrac{1}{1×3} + \dfrac{1}{2×4} + \dfrac{1}{3×5} + \dots + \dfrac{1}{2\ 018×2\ 020} + \dfrac{1}{4\ 040}$. 因为 $\dfrac{1}{2\ 018×2\ 020} = \dfrac{1}{2} × (\dfrac{1}{2\ 018} - \dfrac{1}{2\ 020})$, 所以 $\dfrac{1}{1×3} + \dfrac{1}{2×4} + \dfrac{1}{3×5} + \dots + \dfrac{1}{2\ 018×2\ 020} + \dfrac{1}{4\ 040} = \dfrac{1}{2} × (1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} + \dots + \dfrac{1}{2\ 015} - \dfrac{1}{2\ 017} + \dfrac{1}{2\ 016} - \dfrac{1}{2\ 018} + \dfrac{1}{2\ 017} - \dfrac{1}{2\ 019} + \dfrac{1}{2\ 018} - \dfrac{1}{2\ 020}) + \dfrac{1}{4\ 040} = \dfrac{1}{2} × (1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2\ 019} - \dfrac{1}{2\ 020}) + \dfrac{1}{4\ 040} = \dfrac{1}{2} × (\dfrac{2\ 018}{2\ 019} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2\ 020}) + \dfrac{1}{4\ 040} = \dfrac{1\ 009}{2\ 019} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4\ 040} + \dfrac{1}{4\ 040} = \dfrac{6\ 055}{8\ 076}$.
解析
【分析】
首先，第一步根据相反数的定义，互为相反数的两个数之和为0，得到|ab-2| + |a-1| = 0。结合绝对值的非负性，两个非负数相加和为0，说明两个绝对值各自的值都为0，由此可以解出a、b的具体数值。第二步把得到的a、b代入要求的分式求和式中，会发现所有项的分母都是两个差值为2的正整数的乘积，这类分式求和可以用裂项相消法简化运算：把每一项$\frac{1}{n(n+2)}$拆成$\frac{1}{2}×(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，展开后中间的正负项可以互相抵消，只保留首尾的少数几项，最后再加上末尾的$\frac{1}{4040}$，就能快速算出最终结果，避免逐项相加的巨大运算量。
【解析】
解：
1. 求解a、b的值
因为$|ab-2|$与$|a-1|$互为相反数，根据相反数的性质可得：
$|ab-2| + |a-1| = 0$
由绝对值的非负性可知$|ab-2|≥0$，$|a-1|≥0$，两个非负数的和为0，仅当两个数同时为0时成立，因此：
$\begin{cases}ab-2=0 \\ a-1=0\end{cases}$
解得$a=1$，将$a=1$代入$ab-2=0$，得$b=2$。
2. 代入原式转化求和式
将$a=1$，$b=2$代入所求式子，可得：
原式$=\frac{1}{1×3} + \frac{1}{2×4} + \frac{1}{3×5} + … + \frac{1}{2018×2020} + \frac{1}{4040}$
3. 裂项相消化简计算
利用裂项公式$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，对所有分式项拆分：
原式$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}-\frac{1}{4} + \frac{1}{3}-\frac{1}{5} + … + \frac{1}{2018}-\frac{1}{2020}) + \frac{1}{4040}$
抵消中间的正负项后，仅剩余首尾项：
原式$=\frac{1}{2}×(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2019}-\frac{1}{2020}) + \frac{1}{4040}$
展开运算：
$=\frac{3}{4} - \frac{1}{4038} - \frac{1}{4040} + \frac{1}{4040}$
其中$-\frac{1}{4040}$和$+\frac{1}{4040}$抵消，最终通分计算得：
$=\frac{3×2019 - 2}{8076}=\frac{6055}{8076}$
【答案】$\frac{6055}{8076}$
【知识点】绝对值非负性；裂项相消求和；相反数性质
【点评】本题是有理数运算的综合题型，先利用非负数的性质求出参数值，再通过裂项相消法简化复杂的分式累加运算，解题时要注意裂项拆分的系数是$\frac{1}{2}$不要遗漏，同时准确识别抵消后剩余的首尾项，最后额外的常数项刚好和拆分后产生的项抵消，是本题的巧算关键点。
【难度系数】0.4
首先，第一步根据相反数的定义，互为相反数的两个数之和为0，得到|ab-2| + |a-1| = 0。结合绝对值的非负性，两个非负数相加和为0，说明两个绝对值各自的值都为0，由此可以解出a、b的具体数值。第二步把得到的a、b代入要求的分式求和式中，会发现所有项的分母都是两个差值为2的正整数的乘积，这类分式求和可以用裂项相消法简化运算：把每一项$\frac{1}{n(n+2)}$拆成$\frac{1}{2}×(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，展开后中间的正负项可以互相抵消，只保留首尾的少数几项，最后再加上末尾的$\frac{1}{4040}$，就能快速算出最终结果，避免逐项相加的巨大运算量。
【解析】
解：
1. 求解a、b的值
因为$|ab-2|$与$|a-1|$互为相反数，根据相反数的性质可得：
$|ab-2| + |a-1| = 0$
由绝对值的非负性可知$|ab-2|≥0$，$|a-1|≥0$，两个非负数的和为0，仅当两个数同时为0时成立，因此：
$\begin{cases}ab-2=0 \\ a-1=0\end{cases}$
解得$a=1$，将$a=1$代入$ab-2=0$，得$b=2$。
2. 代入原式转化求和式
将$a=1$，$b=2$代入所求式子，可得：
原式$=\frac{1}{1×3} + \frac{1}{2×4} + \frac{1}{3×5} + … + \frac{1}{2018×2020} + \frac{1}{4040}$
3. 裂项相消化简计算
利用裂项公式$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$，对所有分式项拆分：
原式$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}-\frac{1}{4} + \frac{1}{3}-\frac{1}{5} + … + \frac{1}{2018}-\frac{1}{2020}) + \frac{1}{4040}$
抵消中间的正负项后，仅剩余首尾项：
原式$=\frac{1}{2}×(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2019}-\frac{1}{2020}) + \frac{1}{4040}$
展开运算：
$=\frac{3}{4} - \frac{1}{4038} - \frac{1}{4040} + \frac{1}{4040}$
其中$-\frac{1}{4040}$和$+\frac{1}{4040}$抵消，最终通分计算得：
$=\frac{3×2019 - 2}{8076}=\frac{6055}{8076}$
【答案】$\frac{6055}{8076}$
【知识点】绝对值非负性；裂项相消求和；相反数性质
【点评】本题是有理数运算的综合题型，先利用非负数的性质求出参数值，再通过裂项相消法简化复杂的分式累加运算，解题时要注意裂项拆分的系数是$\frac{1}{2}$不要遗漏，同时准确识别抵消后剩余的首尾项，最后额外的常数项刚好和拆分后产生的项抵消，是本题的巧算关键点。
【难度系数】0.4
13. 定义 $a * b=3 a-b, a \bigoplus b=b-a^{2}$. 现有下列结论: ① $3 * 2=11$; ② $2 \bigoplus(-1)=-5$;③ $(\dfrac{1}{3} * \dfrac{2}{5}) \bigoplus (\dfrac{7}{2} \bigoplus \dfrac{1}{4})=-\dfrac{291}{25}$; ④ 若 $a *$ $b=b * a$, 则 $a=b$. 其中结论正确的有
（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
13. B
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题思路清晰明确：首先先牢记题干给出的两个自定义运算的规则：a*b对应3a减去b，a⊕b对应b减去a的平方，之后逐个将四个结论代入对应的运算规则进行计算验证，判断每个结论的正误，最后统计正确结论的总个数，匹配对应选项即可。代入计算时要注意区分两个不同运算的参数对应关系，不要混淆运算逻辑。
【解析】
我们逐个验证4个结论的正误：
1. 验证结论①：
根据定义$a * b=3 a-b$，将$a=3$，$b=2$代入，得$3*2=3×3 - 2=9-2=7≠11$，因此结论①错误。
2. 验证结论②：
根据定义$a \bigoplus b=b-a^{2}$，将$a=2$，$b=-1$代入，得$2\bigoplus(-1)= -1 - 2^2 = -1 -4 = -5$，因此结论②正确。
3. 验证结论③：
先分别计算两个括号内的运算：
左边括号：$\frac{1}{3} * \frac{2}{5} = 3×\frac{1}{3} - \frac{2}{5} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
右边括号：$\frac{7}{2} \bigoplus \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{1}{4} - \frac{49}{4} = -12$
再计算外层的⊕运算：$\frac{3}{5} \bigoplus (-12) = -12 - (\frac{3}{5})^2 = -12 - \frac{9}{25} = -\frac{309}{25} ≠ -\frac{291}{25}$，因此结论③错误。
4. 验证结论④：
若$a*b = b*a$，分别代入运算规则得：
左边：$a*b=3a - b$，右边：$b*a=3b - a$
令两式相等：$3a - b = 3b - a$，移项合并同类项得$4a=4b$，化简得$a=b$，因此结论④正确。
综上，正确的结论是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
自定义新运算，有理数运算，等式变形
【点评】
本题是新定义运算的常规基础题型，核心要求是准确理解题干给出的特殊运算规则，代入参数时注意不要混淆两个运算的逻辑，尤其要注意$a\bigoplus b$是后项减去前项的平方，很容易出现参数顺序搞反的错误，计算分数和平方项时要细心，避免低级计算失误，逐个验证即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.6
这是一道新定义运算类题目，解题思路清晰明确：首先先牢记题干给出的两个自定义运算的规则：a*b对应3a减去b，a⊕b对应b减去a的平方，之后逐个将四个结论代入对应的运算规则进行计算验证，判断每个结论的正误，最后统计正确结论的总个数，匹配对应选项即可。代入计算时要注意区分两个不同运算的参数对应关系，不要混淆运算逻辑。
【解析】
我们逐个验证4个结论的正误：
1. 验证结论①：
根据定义$a * b=3 a-b$，将$a=3$，$b=2$代入，得$3*2=3×3 - 2=9-2=7≠11$，因此结论①错误。
2. 验证结论②：
根据定义$a \bigoplus b=b-a^{2}$，将$a=2$，$b=-1$代入，得$2\bigoplus(-1)= -1 - 2^2 = -1 -4 = -5$，因此结论②正确。
3. 验证结论③：
先分别计算两个括号内的运算：
左边括号：$\frac{1}{3} * \frac{2}{5} = 3×\frac{1}{3} - \frac{2}{5} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
右边括号：$\frac{7}{2} \bigoplus \frac{1}{4} = \frac{1}{4} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{1}{4} - \frac{49}{4} = -12$
再计算外层的⊕运算：$\frac{3}{5} \bigoplus (-12) = -12 - (\frac{3}{5})^2 = -12 - \frac{9}{25} = -\frac{309}{25} ≠ -\frac{291}{25}$，因此结论③错误。
4. 验证结论④：
若$a*b = b*a$，分别代入运算规则得：
左边：$a*b=3a - b$，右边：$b*a=3b - a$
令两式相等：$3a - b = 3b - a$，移项合并同类项得$4a=4b$，化简得$a=b$，因此结论④正确。
综上，正确的结论是②和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
自定义新运算，有理数运算，等式变形
【点评】
本题是新定义运算的常规基础题型，核心要求是准确理解题干给出的特殊运算规则，代入参数时注意不要混淆两个运算的逻辑，尤其要注意$a\bigoplus b$是后项减去前项的平方，很容易出现参数顺序搞反的错误，计算分数和平方项时要细心，避免低级计算失误，逐个验证即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.6
14. 某人在$2□□8$的每个框中各填写了一个两位数$\overline{ab}$与$\overline{cd}$，结果得到的六位数$\overline{2abcd8}$恰好是一个数的立方，则$\overline{ab}+\overline{cd}=$
$70$
。答案
14. 70 提示:设 $\overline{2abcd8} = (\overline{xy})^3$,则根据末位数字特征得 $y=2$,因为 $60^3=216\ 000,70^3=343\ 000$,所以 $60＜\overline{xy}＜70$,所以 $\overline{xy}=62$. 因为 $62^3=238\ 328$,所以 $\overline{ab}=38,\overline{cd}=32$,所以 $\overline{ab}+\overline{cd}=38+32=70$.
解析
【分析】
我们要找到满足形式为$\overline{2abcd8}$的六位数是某个整数的立方，解题思路可以分步走：第一步先从立方数的末位特征入手，因为最终的六位数末位是8，回忆0到9每个数字立方的末位规律，快速锁定这个立方根的个位数字；第二步通过估算立方数的大小，确定立方根的取值区间，缩小搜索范围；第三步结合已经得到的个位特征，直接得到唯一可能的立方根，计算出它的立方后拆分出两个两位数$\overline{ab}$和$\overline{cd}$，相加即可得到结果，全程不需要大量枚举，解题效率很高。
【解析】
1. 设该六位数为$N=\overline{2abcd8}$，由题意可知存在正整数$k$，满足$N=k^3$。
2. 确定$k$的个位数字：0~9中，仅数字2的立方末位为8，因此$k$的个位是2。
3. 估算$k$的取值范围：由于$N$是首位为2的六位数，因此$200000＜N＜300000$，计算得$60^3=216000$，$70^3=343000$，可得$60＜k＜70$。
4. 结合$k$的个位为2、且在60到70之间，唯一符合条件的整数为$k=62$。
5. 计算得$62^3=238328$，对比$\overline{2abcd8}$的形式，可得$\overline{ab}=38$，$\overline{cd}=32$。
6. 求和得：$\overline{ab}+\overline{cd}=38+32=70$。
【答案】
70
【知识点】
立方数末位规律，整数估算，位值原理
【点评】
本题是数论中的经典巧算题型，没有设置复杂推导门槛，核心考察学生对立方数特征的熟悉程度，通过末位锁定+范围放缩两步就直接排除了所有不可能的取值，避免了无意义的枚举，能很好锻炼学生的数感。
【难度系数】
0.5
我们要找到满足形式为$\overline{2abcd8}$的六位数是某个整数的立方，解题思路可以分步走：第一步先从立方数的末位特征入手，因为最终的六位数末位是8，回忆0到9每个数字立方的末位规律，快速锁定这个立方根的个位数字；第二步通过估算立方数的大小，确定立方根的取值区间，缩小搜索范围；第三步结合已经得到的个位特征，直接得到唯一可能的立方根，计算出它的立方后拆分出两个两位数$\overline{ab}$和$\overline{cd}$，相加即可得到结果，全程不需要大量枚举，解题效率很高。
【解析】
1. 设该六位数为$N=\overline{2abcd8}$，由题意可知存在正整数$k$，满足$N=k^3$。
2. 确定$k$的个位数字：0~9中，仅数字2的立方末位为8，因此$k$的个位是2。
3. 估算$k$的取值范围：由于$N$是首位为2的六位数，因此$200000＜N＜300000$，计算得$60^3=216000$，$70^3=343000$，可得$60＜k＜70$。
4. 结合$k$的个位为2、且在60到70之间，唯一符合条件的整数为$k=62$。
5. 计算得$62^3=238328$，对比$\overline{2abcd8}$的形式，可得$\overline{ab}=38$，$\overline{cd}=32$。
6. 求和得：$\overline{ab}+\overline{cd}=38+32=70$。
【答案】
70
【知识点】
立方数末位规律，整数估算，位值原理
【点评】
本题是数论中的经典巧算题型，没有设置复杂推导门槛，核心考察学生对立方数特征的熟悉程度，通过末位锁定+范围放缩两步就直接排除了所有不可能的取值，避免了无意义的枚举，能很好锻炼学生的数感。
【难度系数】
0.5
15. 平平和安安进行摸球游戏,如图,框1中有A,B两个大小相同的球,框2中有C,D,E,F四个大小相同的球,游戏规则为先从框1中摸出一个球,再从框2中将4个球全部摸出,并根据从框2中摸出的球,将从框1中摸出的球上的数字按顺序进行计算.
(1) 平平从框1中摸出了球A,从框2中摸出球的顺序为 D→E→C→F,请你帮助平平求出计算结果.
(2) ①若安安从框1中摸出了球B,从框2中摸出球的顺序为 F→E→
②若安安从框1中摸出了球A,从框2中先摸出的球为球D,则摸球游戏计算的最大结果是多少?请你写出计算过程.
(1) 平平从框1中摸出了球A,从框2中摸出球的顺序为 D→E→C→F,请你帮助平平求出计算结果.
(2) ①若安安从框1中摸出了球B,从框2中摸出球的顺序为 F→E→
C
→D
,计算结果为-3,请你通过计算判断安安从框2中摸出球的顺序.②若安安从框1中摸出了球A,从框2中先摸出的球为球D,则摸球游戏计算的最大结果是多少?请你写出计算过程.
答案
15. 解:(1) 由题意可得,计算结果为 $[(4+3-2) × (-3)]^2 = [5 × (-3)]^2 = (-15)^2 = 225$. (2) ①C D 提示:若摸出球的顺序为 F→E→D→C 时,计算结果为 $[(-2)^2 - 2 + 3] × (-3) = (4 - 2 + 3) × (-3) = 5 × (-3) = -15$;若摸出球的顺序为 F→E→C→D 时,计算结果为 $[(-2)^2 - 2] × (-3) + 3 = (4 - 2) × (-3) + 3 = 2 × (-3) + 3 = -6 + 3 = -3$. 所以计算结果为 $-3$ 时,摸球顺序为 F→E→C→D. ②由题意可得,当摸出球的顺序为 D→C→E→F 时,摸球游戏计算的结果最大,最大结果是 $[(4+3) × (-3) - 2]^2 = [7 × (-3) - 2]^2 = (-21 - 2)^2 = (-23)^2 = 529$.
解析
【分析】
这是结合操作顺序的有理数混合运算类问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先明确球A对应的初始数字是4，再对应摸球顺序D→E→C→F的操作依次是+3、-2、×(-3)、平方，按照操作先后顺序对初始数字分步运算，即可得到结果。
2. 第(2)①问：球B对应的初始数字是-2，前两个操作已经确定是F（平方）、E（-2），剩余两个待填操作只有两种排列可能，分别代入两种排列计算最终结果，筛选出结果为-3的排列，就能得到完整顺序。
3. 第(2)②问：初始数字是球A的4，第一个操作确定是D即+3，第一步得到结果7，剩余三个操作是×(-3)、-2、平方，由于平方运算结果非负，要让最终结果最大，需要让平方内的数值的绝对值尽可能大，枚举剩余操作的所有排列计算结果，选出最大值即可。
【解析】
(1) 代入初始数字4，按D→E→C→F的顺序运算：
$\begin{aligned}[(4+3-2)×(-3)]^2&=(5×(-3))^2\\&=(-15)^2\\&=225\end{aligned}$
(2) ① 初始数字为-2，前两步操作是平方、减2，剩余两种排列分别计算：
若顺序为F→E→D→C：运算结果为$[(-2)^2 -2 +3]×(-3)=(4-2+3)×(-3)=-15$，不符合要求；
若顺序为F→E→C→D：运算结果为$[(-2)^2 -2]×(-3)+3=(4-2)×(-3)+3=-3$，符合要求。
因此空白处顺序为C、D。
② 初始数字为4，第一个操作是+3得到7，要让最终结果最大，需让平方内的数的绝对值尽可能大，当顺序为D→C→E→F时：
$\begin{aligned}[(4+3)×(-3)-2]^2&=(7×(-3)-2)^2\\&=(-23)^2\\&=529\end{aligned}$
该结果为所有排列中的最大值。
【答案】
(1) 计算结果为225；(2) ① 空白处依次为C、D；② 最大结果是529
【知识点】
有理数混合运算，有理数大小比较
【点评】
本题以摸球游戏为载体，把有理数运算规则和操作顺序结合起来，既考察学生对有理数运算顺序、符号处理的掌握能力，也要求学生通过枚举排列、分析运算特性筛选目标结果，解题时要严格按照操作先后顺序分步计算，避免出现运算顺序错误、符号处理失误的问题。
【难度系数】
0.4
这是结合操作顺序的有理数混合运算类问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：先明确球A对应的初始数字是4，再对应摸球顺序D→E→C→F的操作依次是+3、-2、×(-3)、平方，按照操作先后顺序对初始数字分步运算，即可得到结果。
2. 第(2)①问：球B对应的初始数字是-2，前两个操作已经确定是F（平方）、E（-2），剩余两个待填操作只有两种排列可能，分别代入两种排列计算最终结果，筛选出结果为-3的排列，就能得到完整顺序。
3. 第(2)②问：初始数字是球A的4，第一个操作确定是D即+3，第一步得到结果7，剩余三个操作是×(-3)、-2、平方，由于平方运算结果非负，要让最终结果最大，需要让平方内的数值的绝对值尽可能大，枚举剩余操作的所有排列计算结果，选出最大值即可。
【解析】
(1) 代入初始数字4，按D→E→C→F的顺序运算：
$\begin{aligned}[(4+3-2)×(-3)]^2&=(5×(-3))^2\\&=(-15)^2\\&=225\end{aligned}$
(2) ① 初始数字为-2，前两步操作是平方、减2，剩余两种排列分别计算：
若顺序为F→E→D→C：运算结果为$[(-2)^2 -2 +3]×(-3)=(4-2+3)×(-3)=-15$，不符合要求；
若顺序为F→E→C→D：运算结果为$[(-2)^2 -2]×(-3)+3=(4-2)×(-3)+3=-3$，符合要求。
因此空白处顺序为C、D。
② 初始数字为4，第一个操作是+3得到7，要让最终结果最大，需让平方内的数的绝对值尽可能大，当顺序为D→C→E→F时：
$\begin{aligned}[(4+3)×(-3)-2]^2&=(7×(-3)-2)^2\\&=(-23)^2\\&=529\end{aligned}$
该结果为所有排列中的最大值。
【答案】
(1) 计算结果为225；(2) ① 空白处依次为C、D；② 最大结果是529
【知识点】
有理数混合运算，有理数大小比较
【点评】
本题以摸球游戏为载体，把有理数运算规则和操作顺序结合起来，既考察学生对有理数运算顺序、符号处理的掌握能力，也要求学生通过枚举排列、分析运算特性筛选目标结果，解题时要严格按照操作先后顺序分步计算，避免出现运算顺序错误、符号处理失误的问题。
【难度系数】
0.4
