登录
1. 若规定“!”是一种数学运算符号，且 $1 !=$$1,2 !=2 × 1=2,3 !=3 × 2 × 1=6,4 !=$$4 × 3 × 2 × 1=24,··· ,则 \dfrac{100 !}{98 !} 的值为（ \quad ）$
A.$\dfrac{50}{49}$
B.$99 !$
C.$9\ 900$
D.$2$
A.$\dfrac{50}{49}$
B.$99 !$
C.$9\ 900$
D.$2$
答案
1. C 提示:原式=$\dfrac{1×2×3×4×\dots×99×100}{1×2×3×4×\dots×97×98}=$99×100=9 900.
解析
【分析】
首先先理解题目给出的新运算“!”的规则：n!表示从1开始连续n个正整数相乘的乘积。要求$\frac{100!}{98!}$的值，不需要分别计算出100!和98!的最终结果，只需要按照定义把两个阶乘展开，就会发现分子和分母有大量相同的公共因数，直接约分消去相同部分，剩下的部分直接计算就能快速得到结果，避免了大数运算的麻烦。
【解析】
根据题中给出的“!”运算的定义：
$100! = 100×99×98×97×\dots×2×1$
$98! = 98×97×\dots×2×1$
将两个展开式代入所求式子中：
$\frac{100!}{98!}=\frac{100×99×98×97×\dots×2×1}{98×97×\dots×2×1}$
分子分母中从1到98的所有因数都可以约去，化简后可得：
$\frac{100!}{98!}=100×99=9900$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，分式约分
【点评】
本题属于新定义运算的基础题型，核心考察学生对陌生运算规则的快速理解能力，解题时不需要硬算超大数的阶乘，通过观察分子分母的结构用约分简化运算，能有效降低计算量，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.9
首先先理解题目给出的新运算“!”的规则：n!表示从1开始连续n个正整数相乘的乘积。要求$\frac{100!}{98!}$的值，不需要分别计算出100!和98!的最终结果，只需要按照定义把两个阶乘展开，就会发现分子和分母有大量相同的公共因数，直接约分消去相同部分，剩下的部分直接计算就能快速得到结果，避免了大数运算的麻烦。
【解析】
根据题中给出的“!”运算的定义：
$100! = 100×99×98×97×\dots×2×1$
$98! = 98×97×\dots×2×1$
将两个展开式代入所求式子中：
$\frac{100!}{98!}=\frac{100×99×98×97×\dots×2×1}{98×97×\dots×2×1}$
分子分母中从1到98的所有因数都可以约去，化简后可得：
$\frac{100!}{98!}=100×99=9900$
【答案】
C
【知识点】
新定义运算，有理数乘法，分式约分
【点评】
本题属于新定义运算的基础题型，核心考察学生对陌生运算规则的快速理解能力，解题时不需要硬算超大数的阶乘，通过观察分子分母的结构用约分简化运算，能有效降低计算量，避免不必要的计算错误。
【难度系数】
0.9
2. 若$a,b$互为相反数，$c,d$互为倒数，且$m$的绝对值为 2，则$-2m^{2}+cd-\dfrac{1}{3}(a+b)$的值是（
A.9
B.5
C.9 或 5
D.$-7$
D
）A.9
B.5
C.9 或 5
D.$-7$
答案
2. D
解析
【分析】
这是一道典型的利用特殊数的性质做整体代入求值的题目，解题思路非常清晰：首先根据题干给出的三个数的特殊关系，分别推导对应整体的固定取值：第一，互为相反数的两个数和为0，直接得到a+b的结果；第二，互为倒数的两个数乘积为1，直接得到cd的结果；第三，已知m的绝对值为2，不需要单独计算m的正负，直接利用平方的性质得到m²的唯一值，最后把所有得到的数值整体代入待求代数式，按照有理数运算规则计算就能得到最终结果，注意不要误以为m有两个取值就会得到两个不同的结果。
【解析】
解：
1. 由a、b互为相反数，根据相反数的性质，可得：$a+b=0$
2. 由c、d互为倒数，根据倒数的定义，可得：$cd=1$
3. 由m的绝对值为2，即$|m|=2$，因此$m^2=|m|^2=4$
将上述三个结果代入代数式$-2m^{2}+cd-\dfrac{1}{3}(a+b)$：
$\begin{aligned}原式&=-2×4 + 1 - \frac{1}{3}×0\\&=-8 +1 -0\\&=-7\end{aligned}$
最终计算结果为-7，对应选项D。
【答案】D
【知识点】
相反数性质，倒数定义，绝对值运算
【点评】
本题是有理数基础概念结合代数式求值的常规题型，设置了易错陷阱：不少同学会误以为m有±2两个取值，就会得到两个不同结果错选C，实际上待求式中m仅以平方项形式出现，m²是唯一确定的数值，加上a+b整体为0，最终结果唯一，解题时要先观察代数式结构，优先求整体取值，避免不必要的多解错误。
【难度系数】
0.6
这是一道典型的利用特殊数的性质做整体代入求值的题目，解题思路非常清晰：首先根据题干给出的三个数的特殊关系，分别推导对应整体的固定取值：第一，互为相反数的两个数和为0，直接得到a+b的结果；第二，互为倒数的两个数乘积为1，直接得到cd的结果；第三，已知m的绝对值为2，不需要单独计算m的正负，直接利用平方的性质得到m²的唯一值，最后把所有得到的数值整体代入待求代数式，按照有理数运算规则计算就能得到最终结果，注意不要误以为m有两个取值就会得到两个不同的结果。
【解析】
解：
1. 由a、b互为相反数，根据相反数的性质，可得：$a+b=0$
2. 由c、d互为倒数，根据倒数的定义，可得：$cd=1$
3. 由m的绝对值为2，即$|m|=2$，因此$m^2=|m|^2=4$
将上述三个结果代入代数式$-2m^{2}+cd-\dfrac{1}{3}(a+b)$：
$\begin{aligned}原式&=-2×4 + 1 - \frac{1}{3}×0\\&=-8 +1 -0\\&=-7\end{aligned}$
最终计算结果为-7，对应选项D。
【答案】D
【知识点】
相反数性质，倒数定义，绝对值运算
【点评】
本题是有理数基础概念结合代数式求值的常规题型，设置了易错陷阱：不少同学会误以为m有±2两个取值，就会得到两个不同结果错选C，实际上待求式中m仅以平方项形式出现，m²是唯一确定的数值，加上a+b整体为0，最终结果唯一，解题时要先观察代数式结构，优先求整体取值，避免不必要的多解错误。
【难度系数】
0.6
3. 如果有理数 $a,b$ 满足 $\dfrac{a+1}{b-1}=0$，那么下列选项中一定正确的是（
A.$a+b$ 是正数
B.$a-b$ 是负数
C.$a+b^2$ 是正数
D.$a-b^2$ 是负数
D
）A.$a+b$ 是正数
B.$a-b$ 是负数
C.$a+b^2$ 是正数
D.$a-b^2$ 是负数
答案
3. D
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据分式的值为0的充要条件，推导得到a的取值和b的限制范围：分式等于0时必须同时满足分子为0、分母不为0，由此先确定a=-1，且b≠1。第二步，将a=-1代入四个选项的代数式中，通过举反例排除错误选项，再结合平方数的非负性验证剩余选项是否恒成立，即可得到正确答案。
【解析】
解：已知$\dfrac{a+1}{b-1}=0$，根据分式值为0的条件：
1. 分子为0：$a+1=0$，解得$a=-1$；
2. 分母不为0：$b-1≠0$，即$b≠1$，b为任意不等于1的有理数。
逐个判断选项：
选项A：$a+b=-1+b$，若取$b=0$，则$a+b=-1＜0$，不是正数，A错误；
选项B：$a-b=-1-b$，若取$b=-3$，则$a-b=-1-(-3)=2＞0$，不是负数，B错误；
选项C：$a+b^2=-1+b^2$，若取$b=0$，则$a+b^2=-1+0=-1＜0$，不是正数，C错误；
选项D：$a-b^2=-1-b^2$，根据平方的非负性，对任意有理数$b$都有$b^2≥0$，因此$-b^2≤0$，可得$-1-b^2≤-1＜0$，一定是负数，D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式值为零的条件，平方的非负性，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考点是分式为0的限制条件，使用举反例的方法可以快速排除错误选项，避免复杂推导，解题时注意不要忽略分母不能为0的隐含要求，同时要熟练利用平方数的非负性判断代数式的正负性。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先根据分式的值为0的充要条件，推导得到a的取值和b的限制范围：分式等于0时必须同时满足分子为0、分母不为0，由此先确定a=-1，且b≠1。第二步，将a=-1代入四个选项的代数式中，通过举反例排除错误选项，再结合平方数的非负性验证剩余选项是否恒成立，即可得到正确答案。
【解析】
解：已知$\dfrac{a+1}{b-1}=0$，根据分式值为0的条件：
1. 分子为0：$a+1=0$，解得$a=-1$；
2. 分母不为0：$b-1≠0$，即$b≠1$，b为任意不等于1的有理数。
逐个判断选项：
选项A：$a+b=-1+b$，若取$b=0$，则$a+b=-1＜0$，不是正数，A错误；
选项B：$a-b=-1-b$，若取$b=-3$，则$a-b=-1-(-3)=2＞0$，不是负数，B错误；
选项C：$a+b^2=-1+b^2$，若取$b=0$，则$a+b^2=-1+0=-1＜0$，不是正数，C错误；
选项D：$a-b^2=-1-b^2$，根据平方的非负性，对任意有理数$b$都有$b^2≥0$，因此$-b^2≤0$，可得$-1-b^2≤-1＜0$，一定是负数，D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式值为零的条件，平方的非负性，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考点是分式为0的限制条件，使用举反例的方法可以快速排除错误选项，避免复杂推导，解题时注意不要忽略分母不能为0的隐含要求，同时要熟练利用平方数的非负性判断代数式的正负性。
【难度系数】
0.7
4. 在数学课上,老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题,你认为做对的同学是（
甲:$9-3^{2}÷8=0÷8=0$;
乙:$24-(4×3^{2})=24-4×6=0$;
丙:$(36-12)÷\dfrac{3}{2}=36×\dfrac{2}{3}-12×\dfrac{2}{3}=16$;
丁:$(-3)^{2}÷\dfrac{1}{3}×3=9÷1=9$.
A.甲和丙
B.只有乙
C.只有丙
D.乙和丁
C
）甲:$9-3^{2}÷8=0÷8=0$;
乙:$24-(4×3^{2})=24-4×6=0$;
丙:$(36-12)÷\dfrac{3}{2}=36×\dfrac{2}{3}-12×\dfrac{2}{3}=16$;
丁:$(-3)^{2}÷\dfrac{1}{3}×3=9÷1=9$.
A.甲和丙
B.只有乙
C.只有丙
D.乙和丁
答案
4. C 提示:$9-3^2÷8=9-9÷8=9-\dfrac{9}{8}=\dfrac{63}{8}$,故甲的做法错误;$24-(4×3^2)=24-4×9=24-36=-12$,故乙的做法错误;$(36-12)÷\dfrac{3}{2}=36×\dfrac{2}{3}-12×\dfrac{2}{3}=16$,故丙的做法正确;$(-3)^2÷\dfrac{1}{3}×3=9×3×3=81$,故丁的做法错误.
解析
【分析】
这道题的核心是判断四位同学的有理数运算是否符合运算规则，解题思路非常清晰：首先回忆有理数混合运算的优先级规则：先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减；有括号的先计算括号内部的内容；同级运算要从左到右依次计算，除法可以转化为乘法后使用乘法分配律简化运算。接下来我们按照这个规则，逐个重新计算四位同学的题目，和他们的计算过程、结果对比判断对错，最后统计做对的同学，匹配对应选项即可。
【解析】
我们按照有理数混合运算规则逐一验证四人的计算：
1. 验证甲的计算：
甲的算式为$9-3^{2}÷8$，按照运算顺序先算乘方：$3^2=9$，再算除法：$9÷8=\frac{9}{8}$，最后算减法：$9-\frac{9}{8}=\frac{63}{8}$，甲错误地先计算了减法$9-3^2$，运算顺序完全错误，因此甲的计算不对。
2. 验证乙的计算：
乙的算式为$24-(4×3^{2})$，先算乘方：$3^2=9$，再计算括号内的乘法：$4×9=36$，最后算减法：$24-36=-12$，乙错误地将$3^2$算成了6，因此乙的计算不对。
3. 验证丙的计算：
丙的算式为$(36-12)÷\dfrac{3}{2}$，将除法转化为乘倒数的形式，利用乘法分配律展开得：$36×\dfrac{2}{3}-12×\dfrac{2}{3}=24-8=16$，和丙的计算过程、结果完全一致，因此丙的计算正确。
4. 验证丁的计算：
丁的算式为$(-3)^{2}÷\dfrac{1}{3}×3$，先算乘方：$(-3)^2=9$，同级运算从左到右依次计算：$9÷\frac{1}{3}×3=9×3×3=81$，丁错误地先计算了$\frac{1}{3}×3$，违反了同级运算从左到右的规则，因此丁的计算不对。
综上，只有丙做对了，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，有理数乘方
【点评】
本题针对有理数混合运算中最常见的几类易错点设置题目，比如运算顺序颠倒、乘方概念误解、同级运算随意结合等，通过正误判断的形式帮助学生排查自己运算时的常见漏洞，夯实有理数运算的基础能力。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是判断四位同学的有理数运算是否符合运算规则，解题思路非常清晰：首先回忆有理数混合运算的优先级规则：先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减；有括号的先计算括号内部的内容；同级运算要从左到右依次计算，除法可以转化为乘法后使用乘法分配律简化运算。接下来我们按照这个规则，逐个重新计算四位同学的题目，和他们的计算过程、结果对比判断对错，最后统计做对的同学，匹配对应选项即可。
【解析】
我们按照有理数混合运算规则逐一验证四人的计算：
1. 验证甲的计算：
甲的算式为$9-3^{2}÷8$，按照运算顺序先算乘方：$3^2=9$，再算除法：$9÷8=\frac{9}{8}$，最后算减法：$9-\frac{9}{8}=\frac{63}{8}$，甲错误地先计算了减法$9-3^2$，运算顺序完全错误，因此甲的计算不对。
2. 验证乙的计算：
乙的算式为$24-(4×3^{2})$，先算乘方：$3^2=9$，再计算括号内的乘法：$4×9=36$，最后算减法：$24-36=-12$，乙错误地将$3^2$算成了6，因此乙的计算不对。
3. 验证丙的计算：
丙的算式为$(36-12)÷\dfrac{3}{2}$，将除法转化为乘倒数的形式，利用乘法分配律展开得：$36×\dfrac{2}{3}-12×\dfrac{2}{3}=24-8=16$，和丙的计算过程、结果完全一致，因此丙的计算正确。
4. 验证丁的计算：
丁的算式为$(-3)^{2}÷\dfrac{1}{3}×3$，先算乘方：$(-3)^2=9$，同级运算从左到右依次计算：$9÷\frac{1}{3}×3=9×3×3=81$，丁错误地先计算了$\frac{1}{3}×3$，违反了同级运算从左到右的规则，因此丁的计算不对。
综上，只有丙做对了，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，有理数乘方
【点评】
本题针对有理数混合运算中最常见的几类易错点设置题目，比如运算顺序颠倒、乘方概念误解、同级运算随意结合等，通过正误判断的形式帮助学生排查自己运算时的常见漏洞，夯实有理数运算的基础能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图,数轴上点 A,B,C,D 所表示的数分别是 a , b , c , d . 若 $abcd＜0,ab＞cd$, 则原点的位置在（
A.点 A 的左边
B.线段 AB 上
C.线段 BC 上
D.线段 CD 上
D
）A.点 A 的左边
B.线段 AB 上
C.线段 BC 上
D.线段 CD 上
答案
5. D 提示:结合题图可知,因为 $abcd＜0$,所以要么 $a＜0,b,c,d＞0$,要么 $a,b,c＜0,d＞0$.又因为 $ab＞cd$,所以 $a,b,c＜0,d＞0$,所以原点的位置在线段 CD 上.
解析
【分析】
我们先从数轴的点的位置得到数的大小关系：a＜b＜c＜d。已知abcd＜0，根据有理数乘法的符号规则，乘积为负数说明负因数的个数是奇数，也就是要么只有1个负数，要么有3个负数，不可能是2个或4个负数（这两种情况乘积都是正数）。接下来我们分这两种情况验证条件ab＞cd：第一种情况只有1个负数，那只能是a＜0，b、c、d都大于0，此时ab是负数，cd是正数，负数肯定小于正数，不符合ab＞cd的要求，直接排除。剩下的第二种情况就是有3个负数，也就是a、b、c都小于0，只有d大于0，此时ab是两个负数相乘得正数，cd是一负一正相乘得负数，正数大于负数，完全满足ab＞cd的条件，由此就能推出0在c和d之间，也就是原点在线段CD上。
【解析】
1. 由数轴上点的排列顺序可得数的大小关系：$\boldsymbol{a ＜ b ＜ c ＜ d}$。
2. 已知$abcd＜0$，根据有理数乘法的符号法则：几个非零数相乘，负因数的个数为奇数时乘积为负，因此四个数中负数的个数只能是1个或者3个。
3. 分类验证条件$ab＞cd$：
情况1：若负数仅有1个，即$a＜0$，$b＞0,c＞0,d＞0$，此时$ab＜0$，$cd＞0$，显然$ab＜cd$，和已知条件矛盾，该情况不成立。
情况2：若负数有3个，即$a＜0,b＜0,c＜0,d＞0$，此时$ab＞0$，$cd＜0$，显然$ab＞cd$，完全符合已知条件。
4. 由$c＜0$且$d＞0$，可知原点位于点C和点D之间，即线段CD上。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法符号法则，数轴性质
【点评】
本题结合数轴和有理数乘积的符号特征进行分类讨论，通过$ab＞cd$的条件快速排除不符合的情况，即可锁定原点位置，解题的核心是利用乘积的正负判断负因数的个数，再结合不等式筛选出合理的数的正负分布，避免错解漏解。
【难度系数】
0.6
我们先从数轴的点的位置得到数的大小关系：a＜b＜c＜d。已知abcd＜0，根据有理数乘法的符号规则，乘积为负数说明负因数的个数是奇数，也就是要么只有1个负数，要么有3个负数，不可能是2个或4个负数（这两种情况乘积都是正数）。接下来我们分这两种情况验证条件ab＞cd：第一种情况只有1个负数，那只能是a＜0，b、c、d都大于0，此时ab是负数，cd是正数，负数肯定小于正数，不符合ab＞cd的要求，直接排除。剩下的第二种情况就是有3个负数，也就是a、b、c都小于0，只有d大于0，此时ab是两个负数相乘得正数，cd是一负一正相乘得负数，正数大于负数，完全满足ab＞cd的条件，由此就能推出0在c和d之间，也就是原点在线段CD上。
【解析】
1. 由数轴上点的排列顺序可得数的大小关系：$\boldsymbol{a ＜ b ＜ c ＜ d}$。
2. 已知$abcd＜0$，根据有理数乘法的符号法则：几个非零数相乘，负因数的个数为奇数时乘积为负，因此四个数中负数的个数只能是1个或者3个。
3. 分类验证条件$ab＞cd$：
情况1：若负数仅有1个，即$a＜0$，$b＞0,c＞0,d＞0$，此时$ab＜0$，$cd＞0$，显然$ab＜cd$，和已知条件矛盾，该情况不成立。
情况2：若负数有3个，即$a＜0,b＜0,c＜0,d＞0$，此时$ab＞0$，$cd＜0$，显然$ab＞cd$，完全符合已知条件。
4. 由$c＜0$且$d＞0$，可知原点位于点C和点D之间，即线段CD上。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘法符号法则，数轴性质
【点评】
本题结合数轴和有理数乘积的符号特征进行分类讨论，通过$ab＞cd$的条件快速排除不符合的情况，即可锁定原点位置，解题的核心是利用乘积的正负判断负因数的个数，再结合不等式筛选出合理的数的正负分布，避免错解漏解。
【难度系数】
0.6
6. 已知有理数 $a,b$ 满足 $ab＜0,|a|＞|b|$，$2(a+b)=|b-a|$，则$\dfrac{b}{a}$的值为
$-\dfrac{1}{3}$
。答案
6. $-\dfrac{1}{3}$ 提示:因为 $ab＜0,|a|＞|b|$,所以当 $a＞0,b＜0$ 时,$a+b＞0,b-a＜0$,可得 $2(a+b)=a-b$,即 $a=-3b$,所以 $\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{3}$;当 $a＜0,b＞0$ 时,$a+b＜0$,则 $2(a+b)＜0$.因为 $|b-a|＞0$,所以 $2(a+b)≠|b-a|$,不符合题意,舍去.
解析
【分析】
首先根据条件ab＜0，可以直接判断出a和b异号，也就是一正一负，接下来结合|a|＞|b|的条件，我们需要分两种情况讨论：第一种是a为正、b为负，第二种是a为负、b为正。之后我们要根据每种情况里a、b的正负，判断等式两边代数式的正负，去掉绝对值符号，代入给定等式验证，排除不成立的矛盾情况，最后推导出a和b的数量关系，就能算出b/a的值。
【解析】
解：由ab＜0可知，a、b异号，即两数一正一负，分两种情况讨论：
① 当a＞0，b＜0时：
因为|a|＞|b|，可得a+b＞0，b-a＜0。
对等式右侧的绝对值进行化简，|b-a|=a-b，代入原式2(a+b)=|b-a|得：
2(a+b)=a-b
展开整理：2a+2b=a-b
移项化简得：a=-3b
因此$\frac{b}{a}=\frac{b}{-3b}=-\frac{1}{3}$，符合条件。
② 当a＜0，b＞0时：
因为|a|＞|b|，可得a+b＜0，因此等式左侧2(a+b)＜0；
而等式右侧|b-a|是绝对值，必然大于0，负数不可能等于正数，等式2(a+b)=|b-a|不成立，该情况舍去。
综上，$\frac{b}{a}$的值为$-\frac{1}{3}$。
【答案】$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】绝对值化简；有理数符号判断；分类讨论思想
【点评】本题的易错点是不会结合已知条件判断代数式的正负，容易忽略分类讨论的思路，解题时先通过ab＜0锁定两数异号，再结合绝对值大小的条件逐一验证两种异号的情况，排除矛盾的无效解，能很好地锻炼学生对绝对值性质的灵活运用能力。
【难度系数】0.4
首先根据条件ab＜0，可以直接判断出a和b异号，也就是一正一负，接下来结合|a|＞|b|的条件，我们需要分两种情况讨论：第一种是a为正、b为负，第二种是a为负、b为正。之后我们要根据每种情况里a、b的正负，判断等式两边代数式的正负，去掉绝对值符号，代入给定等式验证，排除不成立的矛盾情况，最后推导出a和b的数量关系，就能算出b/a的值。
【解析】
解：由ab＜0可知，a、b异号，即两数一正一负，分两种情况讨论：
① 当a＞0，b＜0时：
因为|a|＞|b|，可得a+b＞0，b-a＜0。
对等式右侧的绝对值进行化简，|b-a|=a-b，代入原式2(a+b)=|b-a|得：
2(a+b)=a-b
展开整理：2a+2b=a-b
移项化简得：a=-3b
因此$\frac{b}{a}=\frac{b}{-3b}=-\frac{1}{3}$，符合条件。
② 当a＜0，b＞0时：
因为|a|＞|b|，可得a+b＜0，因此等式左侧2(a+b)＜0；
而等式右侧|b-a|是绝对值，必然大于0，负数不可能等于正数，等式2(a+b)=|b-a|不成立，该情况舍去。
综上，$\frac{b}{a}$的值为$-\frac{1}{3}$。
【答案】$-\dfrac{1}{3}$
【知识点】绝对值化简；有理数符号判断；分类讨论思想
【点评】本题的易错点是不会结合已知条件判断代数式的正负，容易忽略分类讨论的思路，解题时先通过ab＜0锁定两数异号，再结合绝对值大小的条件逐一验证两种异号的情况，排除矛盾的无效解，能很好地锻炼学生对绝对值性质的灵活运用能力。
【难度系数】0.4
7. 已知 $a_{1}=\dfrac{1}{1×2×3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{3},a_{2}=\dfrac{1}{2×3×4}+$$\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{8},a_{3}=\dfrac{1}{3×4×5}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{15},···.$ 依据上述规律,则第 $n$ 个式子 $a_{n}=\_\_\_\_\_\_=$.
答案
7. $\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{n+1}$ $\dfrac{n+1}{n(n+2)}$
解析
【分析】
首先我们先观察给出的$a_1$、$a_2$、$a_3$的式子结构，将每个式子拆分为前后两个加数分别找规律：第一步先看第一个加数的分母，$a_1$对应$1×2×3$，$a_2$对应$2×3×4$，$a_3$对应$3×4×5$，显然第$n$个式子的第一个加数分母就是连续三个整数$n$、$n+1$、$n+2$的乘积，也就是$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$；第二步看第二个加数，$a_1$对应$\frac{1}{2}$，$a_2$对应$\frac{1}{3}$，$a_3$对应$\frac{1}{4}$，分母恰好是$n+1$，所以第二个加数就是$\frac{1}{n+1}$，这样就得到了$a_n$的原始表达式。接下来对这个表达式进行通分化简，计算后再代入$n=1、2、3$验证，和已知结果完全匹配就能得到最终的化简结果。
【解析】
解：观察已知的前3项：
1. 拆分加数找规律：
$a_1$的第一个加数为$\frac{1}{1×2×3}$，第二个加数为$\frac{1}{2}$；
$a_2$的第一个加数为$\frac{1}{2×3×4}$，第二个加数为$\frac{1}{3}$；
$a_3$的第一个加数为$\frac{1}{3×4×5}$，第二个加数为$\frac{1}{4}$；
对应第$n$项，第一个加数为$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$，第二个加数为$\frac{1}{n+1}$，因此$a_n=\frac{1}{n(n+1)(n+2)}+\frac{1}{n+1}$。
2. 对上述表达式通分化简：
通分将第二项变形为$\frac{n(n+2)}{n(n+1)(n+2)}$，则：
$ \begin{aligned} a_n&=\frac{1}{n(n+1)(n+2)}+\frac{n(n+2)}{n(n+1)(n+2)}\\ &=\frac{1+n^2+2n}{n(n+1)(n+2)}\\ &=\frac{(n+1)^2}{n(n+1)(n+2)}\\ &=\frac{n+1}{n(n+2)} \end{aligned} $
代入$n=1、2、3$验证，得到的结果和题干给出的$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{8}$、$\frac{4}{15}$完全一致。
【答案】
$\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{n+1}$；$\dfrac{n+1}{n(n+2)}$
【知识点】
数列规律探究，分式通分化简
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心思路是拆分式子的组成部分分别匹配下标规律，得到原始通项后再通过分式运算化简，最后可以代入前几项反向验证，避免出现下标对应错误的问题。
【难度系数】
0.7
首先我们先观察给出的$a_1$、$a_2$、$a_3$的式子结构，将每个式子拆分为前后两个加数分别找规律：第一步先看第一个加数的分母，$a_1$对应$1×2×3$，$a_2$对应$2×3×4$，$a_3$对应$3×4×5$，显然第$n$个式子的第一个加数分母就是连续三个整数$n$、$n+1$、$n+2$的乘积，也就是$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$；第二步看第二个加数，$a_1$对应$\frac{1}{2}$，$a_2$对应$\frac{1}{3}$，$a_3$对应$\frac{1}{4}$，分母恰好是$n+1$，所以第二个加数就是$\frac{1}{n+1}$，这样就得到了$a_n$的原始表达式。接下来对这个表达式进行通分化简，计算后再代入$n=1、2、3$验证，和已知结果完全匹配就能得到最终的化简结果。
【解析】
解：观察已知的前3项：
1. 拆分加数找规律：
$a_1$的第一个加数为$\frac{1}{1×2×3}$，第二个加数为$\frac{1}{2}$；
$a_2$的第一个加数为$\frac{1}{2×3×4}$，第二个加数为$\frac{1}{3}$；
$a_3$的第一个加数为$\frac{1}{3×4×5}$，第二个加数为$\frac{1}{4}$；
对应第$n$项，第一个加数为$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$，第二个加数为$\frac{1}{n+1}$，因此$a_n=\frac{1}{n(n+1)(n+2)}+\frac{1}{n+1}$。
2. 对上述表达式通分化简：
通分将第二项变形为$\frac{n(n+2)}{n(n+1)(n+2)}$，则：
$ \begin{aligned} a_n&=\frac{1}{n(n+1)(n+2)}+\frac{n(n+2)}{n(n+1)(n+2)}\\ &=\frac{1+n^2+2n}{n(n+1)(n+2)}\\ &=\frac{(n+1)^2}{n(n+1)(n+2)}\\ &=\frac{n+1}{n(n+2)} \end{aligned} $
代入$n=1、2、3$验证，得到的结果和题干给出的$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{8}$、$\frac{4}{15}$完全一致。
【答案】
$\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{n+1}$；$\dfrac{n+1}{n(n+2)}$
【知识点】
数列规律探究，分式通分化简
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心思路是拆分式子的组成部分分别匹配下标规律，得到原始通项后再通过分式运算化简，最后可以代入前几项反向验证，避免出现下标对应错误的问题。
【难度系数】
0.7
8. 如图是一个有理数混合运算程序的流程图. 请根据这个程序回答问题: 当输入 $x$的值为$-16$ 时,输出 $y$ 的值为
$\dfrac{17}{3}$
.答案
8. $\dfrac{17}{3}$
解析
【分析】
解题思路：首先将流程图中每一步的运算整合为统一的代数式，先对代数式进行化简，简化后续重复计算的步骤；之后将初始输入的x=-16代入化简后的表达式，判断计算结果是否大于5，若不满足条件，就将本次得到的结果作为新的输入x再次代入运算，直到计算结果大于5，该结果就是输出的y。推导整体运算公式可以大幅降低计算量，同时要注意运算过程中的符号、乘方的计算不要出错。
【解析】
首先根据流程图写出完整运算表达式，逐步化简：
$\begin{aligned}\mathrm{单次运算结果}&=[(x+4)-(-3^2)]×(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})÷(-0.5)\\&=(x+4 +9)×(-\frac{1}{6})÷(-\frac{1}{2})\\&=(x+13)×(-\frac{1}{6})×(-2)\\&=\frac{x+13}{3}\end{aligned}$
第一次代入初始输入x=-16：
$\frac{-16+13}{3}=\frac{-3}{3}=-1$
-1＜5，不满足输出条件，将x更新为-1再次运算：
第二次代入x=-1：
$\frac{-1+13}{3}=\frac{12}{3}=4$
4＜5，仍不满足输出条件，将x更新为4再次运算：
第三次代入x=4：
$\frac{4+13}{3}=\frac{17}{3}$
$\frac{17}{3}＞5$，满足输出条件。
【答案】
$\dfrac{17}{3}$
【知识点】
有理数混合运算，程序框图运算，代数式化简
【点评】
本题的核心技巧是先将流程图的多步运算整体化简，避免重复计算复杂的分数、乘除运算，大幅降低出错概率；解题时要注意循环终止条件的判断，同时要注意符号运算的易错点，比如$-(-3^2)$不要误算为-9，避免符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先将流程图中每一步的运算整合为统一的代数式，先对代数式进行化简，简化后续重复计算的步骤；之后将初始输入的x=-16代入化简后的表达式，判断计算结果是否大于5，若不满足条件，就将本次得到的结果作为新的输入x再次代入运算，直到计算结果大于5，该结果就是输出的y。推导整体运算公式可以大幅降低计算量，同时要注意运算过程中的符号、乘方的计算不要出错。
【解析】
首先根据流程图写出完整运算表达式，逐步化简：
$\begin{aligned}\mathrm{单次运算结果}&=[(x+4)-(-3^2)]×(\frac{1}{3}-\frac{1}{2})÷(-0.5)\\&=(x+4 +9)×(-\frac{1}{6})÷(-\frac{1}{2})\\&=(x+13)×(-\frac{1}{6})×(-2)\\&=\frac{x+13}{3}\end{aligned}$
第一次代入初始输入x=-16：
$\frac{-16+13}{3}=\frac{-3}{3}=-1$
-1＜5，不满足输出条件，将x更新为-1再次运算：
第二次代入x=-1：
$\frac{-1+13}{3}=\frac{12}{3}=4$
4＜5，仍不满足输出条件，将x更新为4再次运算：
第三次代入x=4：
$\frac{4+13}{3}=\frac{17}{3}$
$\frac{17}{3}＞5$，满足输出条件。
【答案】
$\dfrac{17}{3}$
【知识点】
有理数混合运算，程序框图运算，代数式化简
【点评】
本题的核心技巧是先将流程图的多步运算整体化简，避免重复计算复杂的分数、乘除运算，大幅降低出错概率；解题时要注意循环终止条件的判断，同时要注意符号运算的易错点，比如$-(-3^2)$不要误算为-9，避免符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.6
9. 若规定一种新运算：$a\bigotimes b=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$，则$(-\dfrac{1}{2})\bigotimes\dfrac{1}{4}=$
$-\dfrac{7}{64}$
.答案
9. $-\dfrac{7}{64}$
解析
【分析】
这是一道新定义运算的题目，解题思路非常清晰：首先第一步要明确新运算给定的规则，也就是$a\bigotimes b$的运算逻辑是用a加b的和，乘以a的平方减去a乘b再加b的平方的和。接下来我们只需要把题目里给出的两个运算数，对应替换规则里的a和b即可，这里参与运算的两个数是$-\frac{1}{2}$和$\frac{1}{4}$，所以令$a=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{4}$，分别代入两个括号内的表达式计算出结果，最后将两个结果相乘就能得到最终答案，计算过程中要格外注意负数的乘方、负号的运算，避免符号出错。
【解析】
根据新运算的定义$a\bigotimes b=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，将$a=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{4}$代入式子中：
1. 先计算第一个因式$a+b$：
$a+b = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$
2. 再计算第二个因式$a^2 -ab +b^2$：
分别计算各项：
$a^2 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
$-ab = -(-\frac{1}{2})×\frac{1}{4} = \frac{1}{8}$
$b^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$
将三项相加：
$a^2 -ab +b^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{7}{16}$
3. 最后将两个因式的结果相乘：
$(-\frac{1}{4}) × \frac{7}{16} = -\frac{7}{64}$
【答案】
$-\dfrac{7}{64}$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础的新定义运算题型，核心考点是考察学生对陌生规则的理解迁移能力，只要准确对应a、b的取值，按照有理数运算的顺序逐步计算，注意负号相关的运算细节，就可以轻松得到正确结果，整体没有复杂的变形技巧。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算的题目，解题思路非常清晰：首先第一步要明确新运算给定的规则，也就是$a\bigotimes b$的运算逻辑是用a加b的和，乘以a的平方减去a乘b再加b的平方的和。接下来我们只需要把题目里给出的两个运算数，对应替换规则里的a和b即可，这里参与运算的两个数是$-\frac{1}{2}$和$\frac{1}{4}$，所以令$a=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{4}$，分别代入两个括号内的表达式计算出结果，最后将两个结果相乘就能得到最终答案，计算过程中要格外注意负数的乘方、负号的运算，避免符号出错。
【解析】
根据新运算的定义$a\bigotimes b=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，将$a=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{1}{4}$代入式子中：
1. 先计算第一个因式$a+b$：
$a+b = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$
2. 再计算第二个因式$a^2 -ab +b^2$：
分别计算各项：
$a^2 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
$-ab = -(-\frac{1}{2})×\frac{1}{4} = \frac{1}{8}$
$b^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$
将三项相加：
$a^2 -ab +b^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{7}{16}$
3. 最后将两个因式的结果相乘：
$(-\frac{1}{4}) × \frac{7}{16} = -\frac{7}{64}$
【答案】
$-\dfrac{7}{64}$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础的新定义运算题型，核心考点是考察学生对陌生规则的理解迁移能力，只要准确对应a、b的取值，按照有理数运算的顺序逐步计算，注意负号相关的运算细节，就可以轻松得到正确结果，整体没有复杂的变形技巧。
【难度系数】
0.8
10. 123 减去它的$\dfrac{1}{2}$，再减去余下的$\dfrac{1}{3}$，再减去余下的$\dfrac{1}{4}······$以此类推，一直到最后减去余下的$\dfrac{1}{123}$，则最后的得数是
$1$
.答案
10. 1 提示:根据题意,得 $123 × (1-\dfrac{1}{2}) × (1-\dfrac{1}{3}) × (1-\dfrac{1}{4}) × \dots × (1-\dfrac{1}{123}) = 123 × \dfrac{1}{2} × \dfrac{2}{3} × \dfrac{3}{4} × \dots × \dfrac{122}{123} = 123 × \dfrac{1}{123} = 1$.
解析
【分析】
我们先逐句拆解题目描述梳理思路：第一步，123减去它的$\frac{1}{2}$，剩余的部分就是123的$(1-\frac{1}{2})$，即$123×\frac{1}{2}$；第二步，再减去余下的$\frac{1}{3}$，这里的单位“1”是第一步得到的剩余数，因此新的剩余量是第一步结果的$(1-\frac{1}{3})$，也就是$123×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$。以此类推，每一次减去余下的$\frac{1}{n}$，剩余量都是之前结果的$(1-\frac{1}{n})$，直到最后减去余下的$\frac{1}{123}$，就可以把所有步骤转化为连乘算式，观察算式能发现前一个分数的分母和后一个分数的分子完全相等，可以直接连锁约分，不需要复杂分步计算就能快速得到结果。
【解析】
解：根据题意，将每一步的剩余量依次用乘法表示，列出总算式：
$\begin{aligned}&\quad123×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{123})\\&=123×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{122}{123}\\&\mathrm{对算式进行连锁约分：前一项的分母和后一项的分子依次抵消，}\\&\mathrm{最终剩余}123×\frac{1}{123}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
单位1的判定，分数连乘巧算
【点评】
本题的核心是避免被复杂的分步描述误导，不要逐次硬算，先把文字描述转化为连乘的数学表达式，利用连锁约分的技巧大幅简化运算，重点考察学生的数学转化思维和对分数乘法规律的观察能力。
【难度系数】
0.5
我们先逐句拆解题目描述梳理思路：第一步，123减去它的$\frac{1}{2}$，剩余的部分就是123的$(1-\frac{1}{2})$，即$123×\frac{1}{2}$；第二步，再减去余下的$\frac{1}{3}$，这里的单位“1”是第一步得到的剩余数，因此新的剩余量是第一步结果的$(1-\frac{1}{3})$，也就是$123×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$。以此类推，每一次减去余下的$\frac{1}{n}$，剩余量都是之前结果的$(1-\frac{1}{n})$，直到最后减去余下的$\frac{1}{123}$，就可以把所有步骤转化为连乘算式，观察算式能发现前一个分数的分母和后一个分数的分子完全相等，可以直接连锁约分，不需要复杂分步计算就能快速得到结果。
【解析】
解：根据题意，将每一步的剩余量依次用乘法表示，列出总算式：
$\begin{aligned}&\quad123×(1-\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{123})\\&=123×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{122}{123}\\&\mathrm{对算式进行连锁约分：前一项的分母和后一项的分子依次抵消，}\\&\mathrm{最终剩余}123×\frac{1}{123}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
单位1的判定，分数连乘巧算
【点评】
本题的核心是避免被复杂的分步描述误导，不要逐次硬算，先把文字描述转化为连乘的数学表达式，利用连锁约分的技巧大幅简化运算，重点考察学生的数学转化思维和对分数乘法规律的观察能力。
【难度系数】
0.5
11. “二十四点”的游戏规则如下:任取四个1至13之间的自然数,将这四个自然数(每个数都要用且只能用一次)进行加减乘除四则运算,使其结果等于24.例如,对1,2,3,4可作如下运算: $(1+2+3) × 4 = 24[$ 上述运算与 $4 × (1+2+3)$ 视为相同方法的运算].现有四个有理数3,4,-6,10,运用上述规则写出四种不同的运算式(可以使用括号),使其结果等于24:
(1)
(2)
(3)
(4)
另有四个有理数3,-5,7,-13,可通过运算式(5)
(1)
$3 × [4 + 10 + (-6)] = 24$
;(2)
$10 - 4 - 3 × (-6) = 24$
;(3)
$3 × (10 - 4) - (-6) = 24$
;(4)
$4 - (-6) ÷ 3 × 10 = 24$
.另有四个有理数3,-5,7,-13,可通过运算式(5)
$[(-5) × (-13) + 7] ÷ 3 = 24$
,使其结果等于24.答案
11. (1) $3 × [4 + 10 + (-6)] = 24$ (2) $10 - 4 - 3 × (-6) = 24$ (3) $3 × (10 - 4) - (-6) = 24$ (4) $4 - (-6) ÷ 3 × 10 = 24$ (5) $[(-5) × (-13) + 7] ÷ 3 = 24$
解析
【分析】
解这道二十四点题的核心思路是先回忆能得到24的常见运算组合，比如3×8、4×6、12×2、27-3、20+4、72÷3等，再结合给出的四个数，在保证每个数只用一次的前提下，尝试通过四则运算凑出上述组合：
1. 针对3、4、-6、10这组数：首先观察到有数字3，优先尝试凑出和3相乘得24的数8，计算4+10+(-6)刚好等于8，即可得到第一个式子；再尝试从减法角度推导，利用负负得正的规则，把减去负数转化为加正数，尝试不同的运算顺序，就能得到剩下的三个不同式子。
2. 针对3、-5、7、-13这组数：优先尝试两个负数相乘得到正数，计算(-5)×(-13)=65，65加7得到72，72除以3刚好等于24，即可得到符合要求的运算式。
【解析】
我们逐个推导验证符合要求的运算式：
(1) 先计算中括号内的部分：$4+10+(-6)=8$，再计算$3×8=24$，所有数各使用一次，结果符合要求；
(2) 先计算乘法部分：$3×(-6)=-18$，再从左到右计算减法：$10-4=6$，$6 - (-18)=24$，符合规则；
(3) 先计算括号内：$10-4=6$，再计算$3×6=18$，$18 - (-6)=24$，满足条件；
(4) 先计算除法：$(-6)÷3=-2$，再计算乘法：$-2×10=-20$，最后计算$4 - (-20)=24$，运算合规；
(5) 先计算小括号内的乘法：$(-5)×(-13)=65$，再算加法：$65+7=72$，最后算除法：$72÷3=24$，所有数仅使用一次，结果正确。
【答案】
(1) $3 × [4 + 10 + (-6)] = 24$
(2) $10 - 4 - 3 × (-6) = 24$
(3) $3 × (10 - 4) - (-6) = 24$
(4) $4 - (-6) ÷ 3 × 10 = 24$
(5) $[(-5) × (-13) + 7] ÷ 3 = 24$
【知识点】
有理数四则混合运算
二十四点运算规则
【点评】
本题是有理数运算的趣味拓展题型，打破了学生以往仅用正数凑24的思维定式，重点考察对含负数的四则运算规则的灵活运用，解题时优先凑出24的常见因数组合，能大幅降低试错成本，快速找到符合要求的运算式。
【难度系数】
0.4
解这道二十四点题的核心思路是先回忆能得到24的常见运算组合，比如3×8、4×6、12×2、27-3、20+4、72÷3等，再结合给出的四个数，在保证每个数只用一次的前提下，尝试通过四则运算凑出上述组合：
1. 针对3、4、-6、10这组数：首先观察到有数字3，优先尝试凑出和3相乘得24的数8，计算4+10+(-6)刚好等于8，即可得到第一个式子；再尝试从减法角度推导，利用负负得正的规则，把减去负数转化为加正数，尝试不同的运算顺序，就能得到剩下的三个不同式子。
2. 针对3、-5、7、-13这组数：优先尝试两个负数相乘得到正数，计算(-5)×(-13)=65，65加7得到72，72除以3刚好等于24，即可得到符合要求的运算式。
【解析】
我们逐个推导验证符合要求的运算式：
(1) 先计算中括号内的部分：$4+10+(-6)=8$，再计算$3×8=24$，所有数各使用一次，结果符合要求；
(2) 先计算乘法部分：$3×(-6)=-18$，再从左到右计算减法：$10-4=6$，$6 - (-18)=24$，符合规则；
(3) 先计算括号内：$10-4=6$，再计算$3×6=18$，$18 - (-6)=24$，满足条件；
(4) 先计算除法：$(-6)÷3=-2$，再计算乘法：$-2×10=-20$，最后计算$4 - (-20)=24$，运算合规；
(5) 先计算小括号内的乘法：$(-5)×(-13)=65$，再算加法：$65+7=72$，最后算除法：$72÷3=24$，所有数仅使用一次，结果正确。
【答案】
(1) $3 × [4 + 10 + (-6)] = 24$
(2) $10 - 4 - 3 × (-6) = 24$
(3) $3 × (10 - 4) - (-6) = 24$
(4) $4 - (-6) ÷ 3 × 10 = 24$
(5) $[(-5) × (-13) + 7] ÷ 3 = 24$
【知识点】
有理数四则混合运算
二十四点运算规则
【点评】
本题是有理数运算的趣味拓展题型，打破了学生以往仅用正数凑24的思维定式，重点考察对含负数的四则运算规则的灵活运用，解题时优先凑出24的常见因数组合，能大幅降低试错成本，快速找到符合要求的运算式。
【难度系数】
0.4
