10. 如图,现有5张写着不同数字的卡片,请按要求完成下列问题：

(1) 若从中取出2张卡片,让这2张卡片上数字进行四则运算,则运算结果的最小值是；
(2) 若从中取出4张卡片,请运用所学的计算方法写出两个不同的运算式,使四个数字的运算结果为24或−24.

10. 解:(1) $-35$ 提示:由题易知,5张卡片上的5个数分别为$-7,-|-3|=-3,1,2,-(-5)=5$.因为上面5个数都是整数,所以要从中取出2张卡片,让这2张卡片上数字进行四则运算,运算结果最小,则应当选择绝对值较大且符号相反的两个数,即$-7$与$-(-5)$,运算结果的最小值是$-7×5=-35$.
(2) 若抽取的卡片是$-|-3|,1,2,-(-5)$,则$[-(-5)-(-|-3|)]×(2+1)=(5+3)×3=8×3=24$;若抽取的卡片是$-7,-|-3|,1,2$,则$(-7)×(-|-3|)+2+1=(-7)×(-3)+2+1=21+3=24$.

【分析】
首先第一步先将5张卡片上的数全部化简，得到所有数字为-7、-3、1、2、5。对于第(1)问，要从四则运算（加、减、乘、除）中选出两个数得到最小的运算结果，我们需要让最终的数尽可能小，也就是负数值的绝对值尽可能大，逐一对比所有可能的运算结果，就能找到最小值。对于第(2)问，属于开放型的有理数运算构造题，任选4张卡片，利用四则运算组合，让最终结果等于24或者-24即可，优先凑出常见的24的因数组合，比如3×8、4×6、12×2等，就能快速构造出符合要求的算式。
【解析】
先化简所有卡片上的数字：
第1张：$-7$
第2张：$-|-3| = -3$
第3张：$1$
第4张：$2$
第5张：$-(-5) = 5$
(1) 逐一分析两个数做四则运算能得到的最小结果：
加法的最小结果：$-7 + (-3) = -10$
减法的最小结果：$-7 - 5 = -12$
乘法的最小结果：$-7 × 5 = -35$
除法的最小结果：$-7 ÷ 1 = -7$
对比所有结果，$-35$是最小的，因此运算结果的最小值为$-35$。
(2) 构造符合要求的算式，示例如下：
① 抽取卡片$-|-3|$、$1$、$2$、$-(-5)$：
$[-(-5) - (-|-3|)] × (2 + 1) = (5 + 3) × 3 = 8 × 3 = 24$
② 抽取卡片$-7$、$-|-3|$、$1$、$2$：
$(-7) × (-|-3|) + 2 + 1 = (-7) × (-3) + 3 = 21 + 3 = 24$
其他合理算式也可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-35}$；(2) 示例：$[-(-5)-(-|-3|)]×(2+1)=24$，$(-7)×(-|-3|)+2+1=24$（答案不唯一）
【知识点】
有理数化简，有理数四则运算
【点评】
本题先考察了绝对值、相反数的基础化简，再结合有理数运算求极值，最后设置开放型的24点构造问题，既巩固了基础运算法则，也锻炼了学生的运算灵活性，需要注意求最小结果时不要遗漏乘法的情况，避免误算。
【难度系数】
0.55

11. 有一个有趣的“有理数转换器”，如图所示
(箭头是表示输入的数进入转换器路径，
方框是对进入的数进行转换的转换器).
(1) 当输入的数字为 5 时,输出的结果是
;
(2) 若输入的有理数为 $ n $ ,输出的结果是
5 ,且 $ | n | ＜ 7 $ , 则输入的数 $ n $ 是
.

11. (1) $\dfrac{1}{2}$ 提示:(1) 当输入的数字为5时,因为$5＞4$,所以$5-7=-2＜4$,所以$-2$的相反数是2,是正数,所以其倒数为$\dfrac{1}{2}$,输出结果.
(2) $-\dfrac{1}{5}$或5或$\dfrac{34}{5}$ 提示:若输入的有理数为$n$,输出的结果是5.分情况讨论:①当$n≤4$时,其相反数为$-n$,若$-n$为正,则其倒数为5,那么$n=-\dfrac{1}{5}$,$\left|-\dfrac{1}{5}\right|＜7$,符合题意;若$-n$为非正数,其绝对值为$n$,结果为5,那么$n=5$,$|5|＜7$,符合题意.②当$n＞4$时,加上$-7$,即为$n-7$,当$n-7≤4$时,其相反数为$7-n$,若$7-n$为正,则其倒数为5,那么$7-n=\dfrac{1}{5}$,解得$n=\dfrac{34}{5}$,$\left|\dfrac{34}{5}\right|＜7$,符合题意;若$7-n$为非正数,其绝对值为$n-7$,结果为5,那么$n=12$,$|12|＞7$,不符合题意.③当$n-7＞4$时,加上$-7$,即为$n-14$,当$n-14≤4$时,其相反数为$14-n$,若$14-n$为正,则其倒数为5,那么$14-n=\dfrac{1}{5}$,解得$n=\dfrac{69}{5}$,$\left|\dfrac{69}{5}\right|＞7$,不符合题意;若$14-n$为非正数,其绝对值为$n-14$,结果为5,那么$n=19$,$|19|＞7$,不符合题意.综上所述,输入的数$n$是$-\dfrac{1}{5}$或5或$\dfrac{34}{5}$.

【分析】
第一问顺着转换器的流程逐步计算即可：输入5后先判断是否大于4，满足条件就执行加-7的操作，得到新数后重新走判断流程，后续依次完成求相反数、判断正负、求倒数的步骤就能得到输出结果。第二问已知输出是5，需要逆向倒推所有可能的转换路径，输出的前一步要么是取倒数得到5，要么是取绝对值得到5，分两类往前推导，同时结合|n|＜7的条件排除不符合的解，还要考虑输入数大于4时先减7的循环情况，最终筛选出所有符合要求的n。
【解析】
(1) 输入数字5：
第一步判断5＞4，执行运算$5+(-7)=-2$；
将-2作为新的输入，判断-2＞4不成立，求-2的相反数得2；
2是正数，走“为正”分支，求2的倒数为$\frac{1}{2}$，因此输出结果为$\frac{1}{2}$。
(2) 已知输出结果为5，分类逆向推导：
① 若输出5是取倒数得到的：取倒数前的数为$\frac{1}{5}$，该数是求相反数得到的正数，对应判断“不大于4”的输入数为$-\frac{1}{5}$，满足$|-\frac{1}{5}|＜7$，符合条件；
② 若输出5是取绝对值得到的：取绝对值前的数是非正数，该数是求相反数得到的，对应判断“不大于4”的输入数为5，满足$|5|＜7$，符合条件；
③ 若输入n＞4，先执行$n-7$操作再走后续流程：
若后续走取倒数得5的路径，可得$-(n-7)=\frac{1}{5}$，解得$n=\frac{34}{5}$，满足$|\frac{34}{5}|＜7$，符合条件；
若后续走取绝对值得5的路径，解得n=12，$|12|＞7$不符合要求，舍去；
若继续循环减7，得到的n绝对值均大于7，全部不符合要求。
综上符合条件的n为$-\frac{1}{5}$、5、$\frac{34}{5}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$；(2) $-\dfrac{1}{5}$或$5$或$\dfrac{34}{5}$
【知识点】
相反数运算，绝对值运算，倒数运算
【点评】
本题结合程序框图考察有理数基础运算，第一问顺着流程逐步计算即可得到结果，难度较低；第二问需要逆向推导所有可能的转换路径，结合给定的绝对值限制条件筛选解，用到分类讨论思想，容易出现漏解的情况，能有效锻炼学生的逻辑推导能力。
【难度系数】
0.4

12.【问题背景】
七年级一次数学活动中,老师提出了一个问题:"在钟面上的12个数前面,恰当地添上正号或负号,使它们的和为0,你能做到吗?"
【解决方法】
小薇同学采用"配对法",将这12个数分成6组:$(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10)$,$(11,12)$,通过添加正负号让其中三组中各数的和都为1,另外三组中各数的和都为$-1$;
小娟同学采用"奇偶法",将这12个数按奇偶性分成两组:$(1,3,5,7,9,11),(2,4,6,$$8,10,12)$,通过适当地添加正负号,先使所有的奇数的和为0,再使所有的偶数的和也为0,这样就可以使这12个数的和为0了.
(1)小薇、小娟两位同学的方法中,的方法是可行的.
【变式探究】
(2)在钟面上的12个数前面,恰当地添上正号或负号,使它们的和为4,你能做到吗?如果能,请写出一种可行的添加的结果;如果不能,请说明理由.
【拓展延伸】
(3)在$1,2,3,4,···,2\ 026,2\ 027$共2 027个数前面,恰当地添上正号或负号,使它们的和为2 024,你能做到吗?如果能,请写出一种可行的添加的结果;如果不能,请说明理由.

12. 解:(1) 小薇 提示:$(1-2)+(-3+4)+(5-6)+(-7+8)+(9-10)+(-11+12)=0$,所以小薇的方法可行;因为$2+4+6+8+10+12=42$,所以要使6个偶数和为0,则要使其中一部分偶数和为21,因为偶数的和仍为偶数,所以小娟的方法不可行.
(2) 将这12个数分成6组:$(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10),(11,12)$,通过添加正负号让其中五组中各组数的和都为1,另外一组中两数的和都为$-1$,即$(1-2)+(-3+4)+(-5+6)+(-7+8)+(-9+10)+(-11+12)=4$.
(3) 在$1,2,3,4,\dots,2\ 026,2\ 027$中,一共有1 013个偶数,1 014个奇数,因为偶数个奇数的和是偶数,偶数个偶数的和是偶数,且偶数+偶数=偶数,所以能使它们的和为2 024.
将$1,2,3,4,\dots,2\ 026$分为1 013组,分别为$(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),\dots,(2\ 021,2\ 022),(2\ 023,2\ 024),(2\ 025,2\ 026)$,使其中508组结果为$-1$,剩下505组结果为1,则这2 027个数的和为$-1×508+505+2\ 027=2\ 024$.

【分析】
这是一道有理数加减的规律探究题，解题思路可按设问分层梳理：
1. 第(1)问核心逻辑：若干数添正负号后总和为0，等价于将所有数分成总和相等的两组。验证小薇的方法：1-12相邻两数配对后，每组都可通过添号得到+1或-1，6组取3个+1、3个-1总和就是0，完全可行；验证小娟的方法：所有偶数总和是42，要让偶数部分和为0，需要选出部分偶数的和为21，但任意个偶数相加结果一定是偶数，21是奇数，不可能实现，因此小娟方法不可行。
2. 第(2)问沿用配对思路：6组相邻数每组可得到+1或-1，要最终总和为4，只需要让5组得到+1、1组得到-1，总和就是5×1 + (-1)=4，即可快速构造出符合要求的组合。
3. 第(3)问先判断可行性：所有数的总和奇偶性和目标和2024均为偶数，满足构造前提，再沿用相邻配对的方法，调整得到+1和-1的组数，最后加上末尾的2027，就能凑出目标和。
【解析】
(1) 验证小薇的方法：
1到12的总和为$1+2+\dots+12=78$，将数配对为$(1,2),(3,4),\dots,(11,12)$，每对可通过添号得到1（如$-1+2$）或$-1$（如$1-2$），取3组结果为1、3组结果为-1，总和为$3×1 + 3×(-1)=0$，例如$(1-2)+(-3+4)+(5-6)+(-7+8)+(9-10)+(-11+12)=0$，因此小薇的方法可行。
验证小娟的方法：
所有偶数$2,4,\dots,12$的和为42，要让偶数部分添号后和为0，需要选出部分偶数的和为21，但偶数相加的结果仍为偶数，21是奇数，不可能实现，因此小娟的方法不可行。
(2) 构造和为4的组合：
沿用配对思路，6组中取5组结果为1，1组结果为-1，总和为$5×1 + (-1)=4$，例如：
$(1-2)+(-3+4)+(-5+6)+(-7+8)+(-9+10)+(-11+12)=4$，符合要求。
(3) 验证1到2027的情况：
1到2027中共有1013个偶数，1014个奇数，偶数个奇数的和为偶数，任意个偶数的和为偶数，因此所有数的总和为偶数，目标和2024也是偶数，满足构造条件。
将1到2026分为1013组：$(1,2),(3,4),\dots,(2025,2026)$，每组可得到1或-1，令其中508组结果为-1，剩余$1013-508=505$组结果为1，这部分的和为$505×1 + 508×(-1) = -3$，再加上末尾的2027，最终总和为$-3 + 2027 = 2024$，符合要求。
【答案】
(1) 小薇
(2) 能，例如$1-2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12=4$（答案不唯一）
(3) 能，构造方法如上述（答案不唯一）
【知识点】
有理数加减运算，奇偶性分析，分组构造法
【点评】
本题是经典钟面添符号问题的延伸探究，从给定的两种解题方法切入，先判断方法可行性，再逐步拓展到更大范围的数的构造，既考察了有理数加减的基础运算能力，也渗透了奇偶性判断、分组配对的数学思想，引导学生利用规律快速构造结果，避免盲目试算。
【难度系数】
0.5