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1. 给出四个算式:①$-5+3=-8$;②$-(-2)^{4}=$
$8$;③$-\dfrac{5}{6}+(-\dfrac{1}{6})=\dfrac{2}{3}$;④$-3÷(-\dfrac{1}{3})^{2}=3$.
其中正确的有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
$8$;③$-\dfrac{5}{6}+(-\dfrac{1}{6})=\dfrac{2}{3}$;④$-3÷(-\dfrac{1}{3})^{2}=3$.
其中正确的有（
A
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
1. A
解析
【分析】
这道题要求判断4个有理数运算算式的正确性，我们可以用逐个验算的思路解题：首先回忆有理数加减、乘方、乘除的运算法则，依次对每个算式单独计算出正确结果，和题干给出的结果比对，标记出错误的算式，最后统计正确算式的总个数，匹配对应选项即可。运算时要特别注意符号规则和运算顺序：有乘方先算乘方，再算乘除，最后算加减，异号相加、负号和乘方结合的地方是高频易错点。
【解析】
我们逐个验证四个算式：
1. 验证算式①：根据异号两数相加的法则，$-5+3=-(5-3)=-2$，题干给出的结果是$-8$，因此算式①错误。
2. 验证算式②：先计算乘方部分，$(-2)^4 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16$，因此$-(-2)^4=-16$，题干给出的结果是$8$，算式②错误。
3. 验证算式③：同号两数相加，$-\dfrac{5}{6}+(-\dfrac{1}{6})=-(\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6})=-1$，题干给出的结果是$\dfrac{2}{3}$，算式③错误。
4. 验证算式④：先计算乘方部分，$(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，再计算除法：$-3÷\dfrac{1}{9}=-3×9=-27$，题干给出的结果是$3$，算式④错误。
四个算式全部错误，因此正确的算式共有0个。
【答案】A
【知识点】
有理数加减运算，有理数乘方运算，有理数乘除运算
【点评】
本题属于有理数基础运算的正误辨析题，核心考察运算过程中的符号把控，多个易错点集中在负号和乘方的结合处，不少同学会忽略运算优先级、搞错符号导致误判，逐个按照运算法则分步验算就能有效避免错误。
【难度系数】
0.6
这道题要求判断4个有理数运算算式的正确性，我们可以用逐个验算的思路解题：首先回忆有理数加减、乘方、乘除的运算法则，依次对每个算式单独计算出正确结果，和题干给出的结果比对，标记出错误的算式，最后统计正确算式的总个数，匹配对应选项即可。运算时要特别注意符号规则和运算顺序：有乘方先算乘方，再算乘除，最后算加减，异号相加、负号和乘方结合的地方是高频易错点。
【解析】
我们逐个验证四个算式：
1. 验证算式①：根据异号两数相加的法则，$-5+3=-(5-3)=-2$，题干给出的结果是$-8$，因此算式①错误。
2. 验证算式②：先计算乘方部分，$(-2)^4 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16$，因此$-(-2)^4=-16$，题干给出的结果是$8$，算式②错误。
3. 验证算式③：同号两数相加，$-\dfrac{5}{6}+(-\dfrac{1}{6})=-(\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6})=-1$，题干给出的结果是$\dfrac{2}{3}$，算式③错误。
4. 验证算式④：先计算乘方部分，$(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，再计算除法：$-3÷\dfrac{1}{9}=-3×9=-27$，题干给出的结果是$3$，算式④错误。
四个算式全部错误，因此正确的算式共有0个。
【答案】A
【知识点】
有理数加减运算，有理数乘方运算，有理数乘除运算
【点评】
本题属于有理数基础运算的正误辨析题，核心考察运算过程中的符号把控，多个易错点集中在负号和乘方的结合处，不少同学会忽略运算优先级、搞错符号导致误判，逐个按照运算法则分步验算就能有效避免错误。
【难度系数】
0.6
2. 现有下列说法:①$-a$ 表示负数;②$|a+23|$一定是正数;③若$a,b$互为相反数,则$ab＜0$;④若$a$为任意有理数,则$-a^{2}-1$总是负数.其中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. A
解析
【分析】
这是一道有理数相关概念的正误辨析题，解题思路是逐个验证4个说法的正确性，对于不确定的结论可以通过举反例的方式推翻错误表述，最终统计正确说法的数量选出对应选项。排查时要注意覆盖特殊取值的情况：首先判断①时不能默认a是正数，要考虑a为负数、0的情况；判断②时要牢记绝对值的结果是非负的，存在等于0的可能；判断③时要注意0的相反数是0这个特殊情况；判断④时结合平方的非负性推导式子的取值范围即可判断正负。
【解析】
我们逐一验证每个说法：
1. 分析①：当a为负数时，-a是正数，当a=0时，-a=0，都不属于负数，因此①错误；
2. 分析②：当a=-23时，|a+23|=|0|=0，0不是正数，因此|a+23|是非负数，并非一定是正数，②错误；
3. 分析③：当a=b=0时，a、b互为相反数，但此时ab=0，不满足ab＜0，因此③错误；
4. 分析④：对任意有理数a，都有a²≥0，因此可得 -a² ≤0，进一步推导得 -a² -1 ≤ -1 ＜ 0，因此该式恒为负数，④正确。
综上只有1个说法是正确的。
【答案】
A
【知识点】
绝对值的性质，相反数的性质，平方的非负性
【点评】
本题属于有理数基础概念的易错题，核心陷阱是容易忽略0这个特殊取值，做这类概念辨析题时要主动代入0等特殊值验证，避免遗漏边界情况导致判断失误。
【难度系数】
0.6
这是一道有理数相关概念的正误辨析题，解题思路是逐个验证4个说法的正确性，对于不确定的结论可以通过举反例的方式推翻错误表述，最终统计正确说法的数量选出对应选项。排查时要注意覆盖特殊取值的情况：首先判断①时不能默认a是正数，要考虑a为负数、0的情况；判断②时要牢记绝对值的结果是非负的，存在等于0的可能；判断③时要注意0的相反数是0这个特殊情况；判断④时结合平方的非负性推导式子的取值范围即可判断正负。
【解析】
我们逐一验证每个说法：
1. 分析①：当a为负数时，-a是正数，当a=0时，-a=0，都不属于负数，因此①错误；
2. 分析②：当a=-23时，|a+23|=|0|=0，0不是正数，因此|a+23|是非负数，并非一定是正数，②错误；
3. 分析③：当a=b=0时，a、b互为相反数，但此时ab=0，不满足ab＜0，因此③错误；
4. 分析④：对任意有理数a，都有a²≥0，因此可得 -a² ≤0，进一步推导得 -a² -1 ≤ -1 ＜ 0，因此该式恒为负数，④正确。
综上只有1个说法是正确的。
【答案】
A
【知识点】
绝对值的性质，相反数的性质，平方的非负性
【点评】
本题属于有理数基础概念的易错题，核心陷阱是容易忽略0这个特殊取值，做这类概念辨析题时要主动代入0等特殊值验证，避免遗漏边界情况导致判断失误。
【难度系数】
0.6
3. 若“$*$”表示一种运算符号，其意义是 $a*b=ab+a-b$，则$(1*2)*[3*(-1)]$的值为
（
A.1
B.2
C.$-1$
D.2
（
A
）A.1
B.2
C.$-1$
D.2
答案
3. A
解析
【分析】
这是一道定义新运算的题目，解题思路是严格遵循题目给出的运算规则$a*b=ab+a-b$，按照有理数运算的优先级，先计算两个内层括号里的运算，得到两个结果后，再将这两个结果代入新运算规则计算最终值。计算时要明确每次运算中对应$a$和$b$的数值，代入公式时注意负数的符号不要出错，分步计算避免混乱。
【解析】
解：根据题中给出的新运算规则$a*b=ab+a-b$，分步计算：
1. 计算第一个括号内的$1*2$：
此时$a=1$，$b=2$，代入规则得：
$1*2 = 1×2 + 1 - 2 = 2 + 1 - 2 = 1$
2. 计算第二个括号内的$3*(-1)$：
此时$a=3$，$b=-1$，代入规则得：
$3*(-1) = 3×(-1) + 3 - (-1) = -3 + 3 + 1 = 1$
3. 最后计算两个结果的新运算：$(1*2)*[3*(-1)] = 1*1$
代入规则得：$1*1 = 1×1 + 1 - 1 = 1 + 1 - 1 = 1$
【答案】
A
【知识点】
定义新运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础的定义新运算题型，核心考点是对自定义运算规则的理解和应用，只要准确对应每次运算中$a$、$b$的取值，注意代入负数时符号的处理，按照先括号内后括号外的顺序分步计算，就可以避免出错，顺利得到结果。
【难度系数】
0.8
这是一道定义新运算的题目，解题思路是严格遵循题目给出的运算规则$a*b=ab+a-b$，按照有理数运算的优先级，先计算两个内层括号里的运算，得到两个结果后，再将这两个结果代入新运算规则计算最终值。计算时要明确每次运算中对应$a$和$b$的数值，代入公式时注意负数的符号不要出错，分步计算避免混乱。
【解析】
解：根据题中给出的新运算规则$a*b=ab+a-b$，分步计算：
1. 计算第一个括号内的$1*2$：
此时$a=1$，$b=2$，代入规则得：
$1*2 = 1×2 + 1 - 2 = 2 + 1 - 2 = 1$
2. 计算第二个括号内的$3*(-1)$：
此时$a=3$，$b=-1$，代入规则得：
$3*(-1) = 3×(-1) + 3 - (-1) = -3 + 3 + 1 = 1$
3. 最后计算两个结果的新运算：$(1*2)*[3*(-1)] = 1*1$
代入规则得：$1*1 = 1×1 + 1 - 1 = 1 + 1 - 1 = 1$
【答案】
A
【知识点】
定义新运算，有理数混合运算
【点评】
本题属于基础的定义新运算题型，核心考点是对自定义运算规则的理解和应用，只要准确对应每次运算中$a$、$b$的取值，注意代入负数时符号的处理，按照先括号内后括号外的顺序分步计算，就可以避免出错，顺利得到结果。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在数轴上,点A表示1,现将点A沿着数轴做如下移动:第1次将点A向左移动3个单位长度到达点$A_{1}$,第2次将点$A_{1}$向右移动6个单位长度到达点$A_{2}$,第3次将点$A_{2}$向左移动9个单位长度到达点$A_{3}······$按照这种移动规律移动下去,第$n$次移动到点$A_{n}$.如果点$A_{n}$与原点的距离不小于20,那么$n$的最小值是 （
A.13
B.14
C.15
D.16
A
）A.13
B.14
C.15
D.16
答案
4. A 提示:由题意知,奇数次移动时,点 A 向左移动$\dfrac{3(n+1)}{2}$个单位长度到达点$A_n$;偶数次移动时,点 A 向右移动$\dfrac{3n}{2}$个单位长度到达点$A_n$. 当点$A_n$与原点的距离不小于 20 时,可得$\dfrac{3(n+1)}{2}-1≥ 20$ 或$\dfrac{3n}{2}+1≥20$,解得$n≥13$ 或$n≥12\dfrac{2}{3}$. 又因为 n 为正整数,所以 n 的最小值是 13.
解析
【分析】
我们可以先从已知的前几次移动入手，先依次算出每次移动后点对应的数值，观察移动的特征：第n次移动的单位长度是3n，且奇数次移动为向左（数值减小），偶数次移动为向右（数值增大）。接下来分n为奇数、n为偶数两种情况，分别推导出点$A_n$对应的数的表达式，再根据“点$A_n$与原点的距离不小于20”列出对应不等式，分别求解后对比即可得到最小的正整数n。
【解析】
1. 先计算前几次移动后点表示的数，梳理规律：
初始点A表示的数为1：
第1次向左移动3个单位，$A_1$表示的数：$1-3=-2$；
第2次向右移动6个单位，$A_2$表示的数：$-2+6=4$；
第3次向左移动9个单位，$A_3$表示的数：$4-9=-5$；
第4次向右移动12个单位，$A_4$表示的数：$-5+12=7$；
……
2. 分奇偶推导点到原点的距离公式：
① 当n为奇数时，总移动效果为向左，点$A_n$表示负数，它到原点的距离为$\frac{3(n+1)}{2}-1=\frac{3n+1}{2}$；
② 当n为偶数时，总移动效果为向右，点$A_n$表示正数，它到原点的距离为$\frac{3n}{2}+1$。
3. 列不等式求解：
若n为奇数，要求距离不小于20：
$\frac{3n+1}{2}\ge20$，解得$n\ge13$，符合条件的最小奇数n为13；
若n为偶数，要求距离不小于20：
$\frac{3n}{2}+1\ge20$，解得$n\ge12\frac{2}{3}$，符合条件的最小偶数n为14。
对比两种结果，满足要求的n的最小值是13。
【答案】
A
【知识点】
数轴点的移动；规律探究；一元一次不等式
【点评】
本题是数轴结合数字规律的典型题型，核心是通过列举前几次移动的结果，分奇偶次移动总结点的数值规律，再通过不等式求解得到符合条件的最小n，解题时注意分奇偶讨论，避免直接套用单一规律出现错解。
【难度系数】
0.5
我们可以先从已知的前几次移动入手，先依次算出每次移动后点对应的数值，观察移动的特征：第n次移动的单位长度是3n，且奇数次移动为向左（数值减小），偶数次移动为向右（数值增大）。接下来分n为奇数、n为偶数两种情况，分别推导出点$A_n$对应的数的表达式，再根据“点$A_n$与原点的距离不小于20”列出对应不等式，分别求解后对比即可得到最小的正整数n。
【解析】
1. 先计算前几次移动后点表示的数，梳理规律：
初始点A表示的数为1：
第1次向左移动3个单位，$A_1$表示的数：$1-3=-2$；
第2次向右移动6个单位，$A_2$表示的数：$-2+6=4$；
第3次向左移动9个单位，$A_3$表示的数：$4-9=-5$；
第4次向右移动12个单位，$A_4$表示的数：$-5+12=7$；
……
2. 分奇偶推导点到原点的距离公式：
① 当n为奇数时，总移动效果为向左，点$A_n$表示负数，它到原点的距离为$\frac{3(n+1)}{2}-1=\frac{3n+1}{2}$；
② 当n为偶数时，总移动效果为向右，点$A_n$表示正数，它到原点的距离为$\frac{3n}{2}+1$。
3. 列不等式求解：
若n为奇数，要求距离不小于20：
$\frac{3n+1}{2}\ge20$，解得$n\ge13$，符合条件的最小奇数n为13；
若n为偶数，要求距离不小于20：
$\frac{3n}{2}+1\ge20$，解得$n\ge12\frac{2}{3}$，符合条件的最小偶数n为14。
对比两种结果，满足要求的n的最小值是13。
【答案】
A
【知识点】
数轴点的移动；规律探究；一元一次不等式
【点评】
本题是数轴结合数字规律的典型题型，核心是通过列举前几次移动的结果，分奇偶次移动总结点的数值规律，再通过不等式求解得到符合条件的最小n，解题时注意分奇偶讨论，避免直接套用单一规律出现错解。
【难度系数】
0.5
5. 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》,如图所示的程序框图,当输入$x$的值是6时,根据程序,第1次计算输出的结果是3,第2次计算输出的结果是$-4······$照这样计算下去,第2 026次计算输出的结果是（
A.$-1$
B.$-2$
C.$-8$
D.$-4$
D
）A.$-1$
B.$-2$
C.$-8$
D.$-4$
答案
5. D 提示:由题意可知,第 1 次输出的结果为3,第 2 次输出的结果为-4,第 3 次输出的结果为-2,第 4 次输出的结果为-1,第 5 次输出的结果为-8,第 6次输出的结果为-4,第 7 次输出的结果为-2,第 8 次输出的结果为-1,第 9 次输出的结果为-8……输出的结果除第 1 次外,每 4 次为一组循环. 因为$(2\ 026-1)÷4=506······1$,所以第 2 026 次计算输出的结果是-4.
解析
【分析】
这是一道程序框图结合周期规律探究的题目，解题思路非常清晰：首先我们按照给定的程序规则，从输入x=6开始，依次计算前若干次的输出结果，很快就能发现输出序列会进入重复循环的状态，接下来只需要确定循环的起始位置、循环周期，再用总次数减去不参与循环的前序项，通过除法求余数，就能快速定位第2026次的输出结果，完全不需要手动计算2026次，用周期特性就能简化运算。
【解析】
我们按照程序规则逐步计算每次输出的结果：
1. 第1次：输入x=6为偶数，计算得0.5×6=3，输出3，将3作为新输入返回程序；
2. 第2次：输入x=3为奇数，计算得3-7=-4，输出-4，将-4作为新输入返回程序；
3. 第3次：输入x=-4为偶数，计算得0.5×(-4)=-2，输出-2，将-2作为新输入返回程序；
4. 第4次：输入x=-2为偶数，计算得0.5×(-2)=-1，输出-1，将-1作为新输入返回程序；
5. 第5次：输入x=-1为奇数，计算得-1-7=-8，输出-8，将-8作为新输入返回程序；
6. 第6次：输入x=-8为偶数，计算得0.5×(-8)=-4，输出-4，此时发现第6次输出的-4和第2次输出的结果完全一致，后续输出将开始重复。
由此可得：除了第1次输出的3是单独项之外，从第2次开始，输出结果按照-4、-2、-1、-8的顺序循环，循环周期为4。
计算2026次对应的位置：先减去不参与循环的第1次，得到2026-1=2025，再计算2025÷4=506余1，余数为1，对应循环节的第1个元素，也就是-4。
【答案】
D
【知识点】
程序框图，周期规律探究
【点评】
本题属于程序框图的基础拓展题型，核心考察学生枚举找规律的能力，不需要复杂运算，易错点是容易忽略第1次输出不参与循环，直接用2026除以4导致余数计算错误，只要先完整列出前6次输出确认循环周期，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.6
这是一道程序框图结合周期规律探究的题目，解题思路非常清晰：首先我们按照给定的程序规则，从输入x=6开始，依次计算前若干次的输出结果，很快就能发现输出序列会进入重复循环的状态，接下来只需要确定循环的起始位置、循环周期，再用总次数减去不参与循环的前序项，通过除法求余数，就能快速定位第2026次的输出结果，完全不需要手动计算2026次，用周期特性就能简化运算。
【解析】
我们按照程序规则逐步计算每次输出的结果：
1. 第1次：输入x=6为偶数，计算得0.5×6=3，输出3，将3作为新输入返回程序；
2. 第2次：输入x=3为奇数，计算得3-7=-4，输出-4，将-4作为新输入返回程序；
3. 第3次：输入x=-4为偶数，计算得0.5×(-4)=-2，输出-2，将-2作为新输入返回程序；
4. 第4次：输入x=-2为偶数，计算得0.5×(-2)=-1，输出-1，将-1作为新输入返回程序；
5. 第5次：输入x=-1为奇数，计算得-1-7=-8，输出-8，将-8作为新输入返回程序；
6. 第6次：输入x=-8为偶数，计算得0.5×(-8)=-4，输出-4，此时发现第6次输出的-4和第2次输出的结果完全一致，后续输出将开始重复。
由此可得：除了第1次输出的3是单独项之外，从第2次开始，输出结果按照-4、-2、-1、-8的顺序循环，循环周期为4。
计算2026次对应的位置：先减去不参与循环的第1次，得到2026-1=2025，再计算2025÷4=506余1，余数为1，对应循环节的第1个元素，也就是-4。
【答案】
D
【知识点】
程序框图，周期规律探究
【点评】
本题属于程序框图的基础拓展题型，核心考察学生枚举找规律的能力，不需要复杂运算，易错点是容易忽略第1次输出不参与循环，直接用2026除以4导致余数计算错误，只要先完整列出前6次输出确认循环周期，就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.6
6. 如图,数轴上A,B两点之间的距离为1个单位长度,B,C两点之间的距离为3个单位长度.现有一动点P从点A开始沿该数轴的正方向运动,到达点C停止.若运动过程中,点P到A,B,C三点的距离之和的最大值为m,最小值为n,则$(-m)^{n}$的值为
2 041
.答案
6. 2 041 提示:因为数轴上 A,B 两点之间的距离为 1 个单位长度,B,C 两点之间的距离为 3 个单位长度,所以 A,C 两点间的距离为 4 个单位长度. 因为有一动点 P 从点 A 开始沿该数轴的正方向运动,到达点 C 停止,所以当点 P 在点 B 处时,点 P 到 A,B,C 三点的距离之和最小为$AC=4$;当点 P 在点 C 处时,点 P 到A,B,C 三点的距离之和最大为$AC+BC=4+3=7$,所以$m=7,n=4$,所以$(-m)^n=(-7)^4=2\ 401$.
解析
【分析】
我们首先梳理已知条件：AB距离为1，BC距离为3，动点P仅在线段AC上从A向C运动到C停止。首先可以算出AC的总长度为AB+BC=4。接下来要计算P到A、B、C三点的距离之和，我们可以利用“线段上任意一点到线段两个端点的距离之和恒等于线段总长”的性质，把PA+PC直接替换成定值AC=4，这样三点距离之和就等价于4加上PB的长度，问题就转化为求PB的最大值和最小值：PB最小为0（P和B重合时），此时总和最小；PB最大为3（P在C点时），此时总和最大，得到m和n之后代入乘方运算即可得到结果。
【解析】
1. 计算A、C两点的距离：
由题意得AB=1，BC=3，因此AC = AB + BC = 1 + 3 = 4。
2. 转化三点距离之和：
因为点P在线段AC上运动，所以对任意位置的P，都满足PA + PC = AC = 4。
因此P到A、B、C三点的距离之和S = PA + PB + PC = (PA + PC) + PB = 4 + PB。
3. 求S的最值：
当点P与点B重合时，PB=0，此时S取得最小值：S_min = 4 + 0 = 4，即n=4；
当点P运动到端点C时，PB=BC=3，此时S取得最大值：S_max = 4 + 3 = 7，即m=7。
4. 代入计算最终结果：
将m=7，n=4代入(-m)^n，得$(-7)^4 = 7^4 = 2401$。
【答案】
2401
【知识点】
数轴两点距离，有理数乘方
【点评】
本题属于数轴动点的最值问题，核心技巧是利用线段的性质将三个距离的和进行简化，避免了设坐标分类讨论的复杂运算，能有效锻炼学生对距离和性质的理解运用能力，注意不要误将P在A点的距离和当成最大值。
【难度系数】
0.5
我们首先梳理已知条件：AB距离为1，BC距离为3，动点P仅在线段AC上从A向C运动到C停止。首先可以算出AC的总长度为AB+BC=4。接下来要计算P到A、B、C三点的距离之和，我们可以利用“线段上任意一点到线段两个端点的距离之和恒等于线段总长”的性质，把PA+PC直接替换成定值AC=4，这样三点距离之和就等价于4加上PB的长度，问题就转化为求PB的最大值和最小值：PB最小为0（P和B重合时），此时总和最小；PB最大为3（P在C点时），此时总和最大，得到m和n之后代入乘方运算即可得到结果。
【解析】
1. 计算A、C两点的距离：
由题意得AB=1，BC=3，因此AC = AB + BC = 1 + 3 = 4。
2. 转化三点距离之和：
因为点P在线段AC上运动，所以对任意位置的P，都满足PA + PC = AC = 4。
因此P到A、B、C三点的距离之和S = PA + PB + PC = (PA + PC) + PB = 4 + PB。
3. 求S的最值：
当点P与点B重合时，PB=0，此时S取得最小值：S_min = 4 + 0 = 4，即n=4；
当点P运动到端点C时，PB=BC=3，此时S取得最大值：S_max = 4 + 3 = 7，即m=7。
4. 代入计算最终结果：
将m=7，n=4代入(-m)^n，得$(-7)^4 = 7^4 = 2401$。
【答案】
2401
【知识点】
数轴两点距离，有理数乘方
【点评】
本题属于数轴动点的最值问题，核心技巧是利用线段的性质将三个距离的和进行简化，避免了设坐标分类讨论的复杂运算，能有效锻炼学生对距离和性质的理解运用能力，注意不要误将P在A点的距离和当成最大值。
【难度系数】
0.5
7. 幻方是一个古老的数学问题,我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图.在如图所示的九宫图中,每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等,则$n-m=$
4
.答案
7. 4
解析
【分析】
这道题的核心是利用三阶幻方的性质：所有横行、竖列、对角线上的数字之和都相等。我们的解题思路是：第一步先从已知数最全的第二行计算出这个公共的和（也就是幻和），第二步利用第三列的和等于幻和求出m的值，第三步利用左上到右下的对角线的和等于幻和，代入已经求出的m得到n的值，最后直接计算n-m即可得到结果，全程不需要设置多余未知数，推导逻辑非常清晰。
【解析】
解：
1. 计算幻和：第二行的三个数全部已知，分别为-7、1、9，因此所有行/列/对角线的公共和（幻和）为：
$S=-7+1+9=3$
2. 求m的值：第三列的三个数为-5、9、m，根据幻方性质，第三列的和等于幻和3，列方程得：
$-5+9+m=3$
解得：$m=-1$
3. 求n的值：左上到右下的对角线三个数为n、1、m，它们的和也等于幻和3，代入m=-1得：
$n+1+m=3$
$n+1+(-1)=3$
解得：$n=3$
4. 计算n-m：
$n-m=3-(-1)=4$
【答案】
4
【知识点】
三阶幻方性质，有理数加减运算
【点评】
本题属于基础的三阶幻方计算题，突破口非常明确，先通过全已知的行算出公共幻和，后续未知量都可以直接通过幻和的定义逐步推导，主要考察学生对幻方规则的理解和有理数加减的计算能力，计算量很小不容易出错。
【难度系数】
0.7
这道题的核心是利用三阶幻方的性质：所有横行、竖列、对角线上的数字之和都相等。我们的解题思路是：第一步先从已知数最全的第二行计算出这个公共的和（也就是幻和），第二步利用第三列的和等于幻和求出m的值，第三步利用左上到右下的对角线的和等于幻和，代入已经求出的m得到n的值，最后直接计算n-m即可得到结果，全程不需要设置多余未知数，推导逻辑非常清晰。
【解析】
解：
1. 计算幻和：第二行的三个数全部已知，分别为-7、1、9，因此所有行/列/对角线的公共和（幻和）为：
$S=-7+1+9=3$
2. 求m的值：第三列的三个数为-5、9、m，根据幻方性质，第三列的和等于幻和3，列方程得：
$-5+9+m=3$
解得：$m=-1$
3. 求n的值：左上到右下的对角线三个数为n、1、m，它们的和也等于幻和3，代入m=-1得：
$n+1+m=3$
$n+1+(-1)=3$
解得：$n=3$
4. 计算n-m：
$n-m=3-(-1)=4$
【答案】
4
【知识点】
三阶幻方性质，有理数加减运算
【点评】
本题属于基础的三阶幻方计算题，突破口非常明确，先通过全已知的行算出公共幻和，后续未知量都可以直接通过幻和的定义逐步推导，主要考察学生对幻方规则的理解和有理数加减的计算能力，计算量很小不容易出错。
【难度系数】
0.7
8. 观察下列各式：
$\frac{1}{1 × 4} = \frac{1}{3} × (1 - \frac{1}{4});$
$\frac{1}{4 × 7} = \frac{1}{3} × (\frac{1}{4} - \frac{1}{7});$
$\frac{1}{7 × 10} = \frac{1}{3} × (\frac{1}{7} - \frac{1}{10});$
…
$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3} × (\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}).$
根据以上观察计算：$\frac{1}{1 × 4} + \frac{1}{4 × 7} + \frac{1}{7 × 10} + \dots + \frac{1}{2\ 023 × 2\ 026} =$
$\frac{1}{1 × 4} = \frac{1}{3} × (1 - \frac{1}{4});$
$\frac{1}{4 × 7} = \frac{1}{3} × (\frac{1}{4} - \frac{1}{7});$
$\frac{1}{7 × 10} = \frac{1}{3} × (\frac{1}{7} - \frac{1}{10});$
…
$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3} × (\frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1}).$
根据以上观察计算：$\frac{1}{1 × 4} + \frac{1}{4 × 7} + \frac{1}{7 × 10} + \dots + \frac{1}{2\ 023 × 2\ 026} =$
$\dfrac{675}{2\ 026}$
.答案
8. $\dfrac{675}{2\ 026}$ 提示:根据题意可知,原式$=\dfrac{1}{3}×(1-\dfrac{1}{4})+\dfrac{1}{3}×(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7})+\dots + \dfrac{1}{3} × ( \dfrac{1}{2\ 023} -\dfrac{1}{2\ 026})=\dfrac{1}{3}×(1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+\dots +\dfrac{1}{2\ 023}-\dfrac{1}{2\ 026})=\dfrac{1}{3}×(1-\dfrac{1}{2\ 026})=\dfrac{1}{3}×\dfrac{2\ 025}{2\ 026}=\dfrac{675}{2\ 026}.$
解析
【分析】
首先观察题目给出的一系列等式，可发现本题属于裂项相消求和的题型：第一步先按照题干给出的拆分规则，将原式中每一个形如$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$的项都改写为$\frac{1}{3}$乘以两个相邻分数差的形式；第二步将所有拆分后的项的公因子$\frac{1}{3}$提取出来，此时括号内的相邻正负分数可以两两抵消，仅剩下最开头的1和最末尾的$-\frac{1}{2026}$；最后对剩余的部分进行分数运算即可快速得到结果，无需进行复杂的通分计算。
【解析】
解：根据题干给出的裂项规律，对原式每一项拆分后计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{4})+\frac{1}{3}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{7})+\frac{1}{3}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{10})+\dots+\frac{1}{3}×(\frac{1}{2023}-\frac{1}{2026})\\&=\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\dots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2026})\\&=\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{2026})\\&=\frac{1}{3}×\frac{2025}{2026}\\&=\frac{675}{2026}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{675}{2\ 026}$
【知识点】
裂项相消求和，数字规律探究，分数四则运算
【点评】
本题是基础的规律探究类求和题，题干已经直接给出了裂项的拆分规则，降低了自行推导裂项公式的难度，核心考点是让学生理解裂项相消中中间项两两抵消的简化逻辑，计算时注意不要遗漏公因子$\frac{1}{3}$，最后约分步骤仔细核对即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的一系列等式，可发现本题属于裂项相消求和的题型：第一步先按照题干给出的拆分规则，将原式中每一个形如$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$的项都改写为$\frac{1}{3}$乘以两个相邻分数差的形式；第二步将所有拆分后的项的公因子$\frac{1}{3}$提取出来，此时括号内的相邻正负分数可以两两抵消，仅剩下最开头的1和最末尾的$-\frac{1}{2026}$；最后对剩余的部分进行分数运算即可快速得到结果，无需进行复杂的通分计算。
【解析】
解：根据题干给出的裂项规律，对原式每一项拆分后计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{4})+\frac{1}{3}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{7})+\frac{1}{3}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{10})+\dots+\frac{1}{3}×(\frac{1}{2023}-\frac{1}{2026})\\&=\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+\dots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2026})\\&=\frac{1}{3}×(1-\frac{1}{2026})\\&=\frac{1}{3}×\frac{2025}{2026}\\&=\frac{675}{2026}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{675}{2\ 026}$
【知识点】
裂项相消求和，数字规律探究，分数四则运算
【点评】
本题是基础的规律探究类求和题，题干已经直接给出了裂项的拆分规则，降低了自行推导裂项公式的难度，核心考点是让学生理解裂项相消中中间项两两抵消的简化逻辑，计算时注意不要遗漏公因子$\frac{1}{3}$，最后约分步骤仔细核对即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
