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9. 已知 $abc＜0,a+b+c=0$,若 $x=\dfrac{|b+c|}{a}+$
$\dfrac{2|a+c|}{b}-\dfrac{3|a+b|}{c}$,则 $x$ 的最大值与最小值的乘积为
$\dfrac{2|a+c|}{b}-\dfrac{3|a+b|}{c}$,则 $x$ 的最大值与最小值的乘积为
$-24$
.答案
9. $-24$ 提示:因为 $a+b+c=0$,所以 $b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c$,所以 $x=\dfrac{|-a|}{a}+\dfrac{2|-b|}{b}-\dfrac{3|-c|}{c}=\dfrac{|a|}{a}+\dfrac{2|b|}{b}-\dfrac{3|c|}{c}$. 因为 $abc＜0$,所以 $a,b,c$ 中有奇数个负数. 若 $a,b,c$ 都为负数,则 $a+b+c＜0$,不符合题意,所以 $a,b,c$ 中有且仅有一个负数. 所以当$a＞0,b＞0,c＜0$ 时,$x$ 取得最大值为 $1+2+3=6$;当$a＞0,b＜0,c＞0$ 时,$x$ 取得最小值为 $1-2-3=-4$. 所以 $x$ 的最大值与最小值的乘积为 $6×(-4)=-24$.
解析
【分析】
这道题的核心思路是先利用已知的a+b+c=0的条件，把x表达式里的b+c、a+c、a+b全部用仅含单个变量的式子替换，大幅简化x的代数式。接下来结合abc＜0的条件，判断三个数中负数的总个数：三个数乘积小于0说明负数个数是奇数，也就是1个或者3个，再结合a+b+c=0，三个数不可能全为负数（全负的话和肯定小于0，和已知矛盾），所以确定三个数里只有1个负数，剩下两个是正数。接下来分三种情况分别讨论哪个变量是负数，算出每种情况对应的x值，从中找出最大值和最小值，最后计算二者的乘积就能得到答案。
【解析】
1. 整体代换简化x的表达式
由已知$a+b+c=0$，可得：
$b+c=-a$，$a+c=-b$，$a+b=-c$
将其代入x的原式中：
$\begin{aligned}x&=\frac{|b+c|}{a}+\frac{2|a+c|}{b}-\frac{3|a+b|}{c}\\&=\frac{|-a|}{a}+\frac{2|-b|}{b}-\frac{3|-c|}{c}\\&=\frac{|a|}{a}+\frac{2|b|}{b}-\frac{3|c|}{c}\end{aligned}$
2. 判断a、b、c的符号特征
已知$abc＜0$，说明a、b、c中负数的个数为奇数，即1个或3个；
若a、b、c全为负数，则$a+b+c＜0$，与已知$a+b+c=0$矛盾，因此a、b、c中仅有1个负数，剩余两个为正数。
3. 分类计算所有可能的x取值
情况1：a为负数，$b＞0,c＞0$：此时$\frac{|a|}{a}=-1,\frac{|b|}{b}=1,\frac{|c|}{c}=1$，代入得$x=-1+2×1-3×1=-2$
情况2：b为负数，$a＞0,c＞0$：此时$\frac{|a|}{a}=1,\frac{|b|}{b}=-1,\frac{|c|}{c}=1$，代入得$x=1+2×(-1)-3×1=-4$
情况3：c为负数，$a＞0,b＞0$：此时$\frac{|a|}{a}=1,\frac{|b|}{b}=1,\frac{|c|}{c}=-1$，代入得$x=1+2×1-3×(-1)=6$
4. 计算最大值与最小值的乘积
x的所有可能取值为-2、-4、6，可得最大值为6，最小值为-4，二者乘积为$6×(-4)=-24$
【答案】
$-24$
【知识点】
绝对值的性质，有理数符号判断，整体代换
【点评】
本题的突破口是利用$a+b+c=0$做整体代换，快速消去原式中的多个变量，将复杂的分式表达式简化为仅含符号判断的简单形式，结合两个已知条件排除三个数全负的错误情况，仅需讨论单负数的三类情况即可，解题时要注意分类讨论的完整性，避免漏算取值。
【难度系数】
0.4
这道题的核心思路是先利用已知的a+b+c=0的条件，把x表达式里的b+c、a+c、a+b全部用仅含单个变量的式子替换，大幅简化x的代数式。接下来结合abc＜0的条件，判断三个数中负数的总个数：三个数乘积小于0说明负数个数是奇数，也就是1个或者3个，再结合a+b+c=0，三个数不可能全为负数（全负的话和肯定小于0，和已知矛盾），所以确定三个数里只有1个负数，剩下两个是正数。接下来分三种情况分别讨论哪个变量是负数，算出每种情况对应的x值，从中找出最大值和最小值，最后计算二者的乘积就能得到答案。
【解析】
1. 整体代换简化x的表达式
由已知$a+b+c=0$，可得：
$b+c=-a$，$a+c=-b$，$a+b=-c$
将其代入x的原式中：
$\begin{aligned}x&=\frac{|b+c|}{a}+\frac{2|a+c|}{b}-\frac{3|a+b|}{c}\\&=\frac{|-a|}{a}+\frac{2|-b|}{b}-\frac{3|-c|}{c}\\&=\frac{|a|}{a}+\frac{2|b|}{b}-\frac{3|c|}{c}\end{aligned}$
2. 判断a、b、c的符号特征
已知$abc＜0$，说明a、b、c中负数的个数为奇数，即1个或3个；
若a、b、c全为负数，则$a+b+c＜0$，与已知$a+b+c=0$矛盾，因此a、b、c中仅有1个负数，剩余两个为正数。
3. 分类计算所有可能的x取值
情况1：a为负数，$b＞0,c＞0$：此时$\frac{|a|}{a}=-1,\frac{|b|}{b}=1,\frac{|c|}{c}=1$，代入得$x=-1+2×1-3×1=-2$
情况2：b为负数，$a＞0,c＞0$：此时$\frac{|a|}{a}=1,\frac{|b|}{b}=-1,\frac{|c|}{c}=1$，代入得$x=1+2×(-1)-3×1=-4$
情况3：c为负数，$a＞0,b＞0$：此时$\frac{|a|}{a}=1,\frac{|b|}{b}=1,\frac{|c|}{c}=-1$，代入得$x=1+2×1-3×(-1)=6$
4. 计算最大值与最小值的乘积
x的所有可能取值为-2、-4、6，可得最大值为6，最小值为-4，二者乘积为$6×(-4)=-24$
【答案】
$-24$
【知识点】
绝对值的性质，有理数符号判断，整体代换
【点评】
本题的突破口是利用$a+b+c=0$做整体代换，快速消去原式中的多个变量，将复杂的分式表达式简化为仅含符号判断的简单形式，结合两个已知条件排除三个数全负的错误情况，仅需讨论单负数的三类情况即可，解题时要注意分类讨论的完整性，避免漏算取值。
【难度系数】
0.4
10. 数轴上表示数$m$和数$n$的两点之间的距离等于$|m-n|$.请你结合数轴与绝对值的知识,求得$|a+3|+|a-1|+2|a-3|$的最小值为
$8$
.答案
10. 8 提示:因为$|a+3|+|a-1|+2|a-3|=|a-(-3)|+|a-3|+|a-1|+|a-3|$,所以式子$|a+3|+|a-1|+2|a-3|$表示$a$到$-3$的距离与$a$到3的距离之和加上$a$到1的距离与$a$到3的距离之和,如图,结合数轴可知,当$a$在$-3$到3之间时$|a-(-3)|+|a-3|$的值最小;当$a$在1到3之间时$|a-1|+|a-3|$的值最小. 所以当$a$在1到3之间时,原式的值最小,如图,取$a=1$,则原式的最小值为$|1-(-3)|+2×|3-1|=4+4=8.$
解析
【分析】
这道题可以借助绝对值的几何意义快速求解，不用进行繁琐的分段去绝对值讨论。首先回忆核心结论：|x-k|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数k的点的距离。第一步先把原式中系数为2的2|a-3|拆成两个|a-3|相加，把原式转化为4个绝对值的和，对应数轴上的动点a到4个定点的距离之和。接着把这4个定点从小到大排序，根据“偶数个定点时，动点落在排序后第2个点和第3个点之间（包含端点）时，所有距离之和取得最小值”的规律，锁定a的最优取值区间，最后代入区间内的任意点计算就能得到最小值。
【解析】
1. 等价变形原式
将2|a-3|拆分为|a-3|+|a-3|，可得：
$|a+3|+|a-1|+2|a-3|=|a-(-3)|+|a-1|+|a-3|+|a-3|$
2. 明确几何意义
上式表示数轴上的动点a，到-3、1、3、3这四个定点的总距离之和。
3. 确定最值对应的a的范围
把四个定点从小到大排序为：-3、1、3、3，共4个点属于偶数个定点的情况，当动点a落在1到3的区间内（包含端点）时，总距离之和最小。
4. 代入计算最小值
在区间$1≤ a≤3$中任取数值代入，比如取a=1：
原式$=|1+3|+|1-1|+2×|1-3|=4+0+4=8$，取a=3代入验证也可得到相同结果。
【答案】
8
【知识点】
绝对值几何意义，数轴两点距离，绝对值最值
【点评】
本题的核心技巧是把系数不为1的绝对值项拆分为多个相同绝对值相加，将原式转化为动点到多个定点的距离和问题，避开了复杂的分段去绝对值运算，利用多绝对值求和的最值规律可以快速锁定最优区间，大幅降低计算难度。
【难度系数】
0.4
这道题可以借助绝对值的几何意义快速求解，不用进行繁琐的分段去绝对值讨论。首先回忆核心结论：|x-k|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数k的点的距离。第一步先把原式中系数为2的2|a-3|拆成两个|a-3|相加，把原式转化为4个绝对值的和，对应数轴上的动点a到4个定点的距离之和。接着把这4个定点从小到大排序，根据“偶数个定点时，动点落在排序后第2个点和第3个点之间（包含端点）时，所有距离之和取得最小值”的规律，锁定a的最优取值区间，最后代入区间内的任意点计算就能得到最小值。
【解析】
1. 等价变形原式
将2|a-3|拆分为|a-3|+|a-3|，可得：
$|a+3|+|a-1|+2|a-3|=|a-(-3)|+|a-1|+|a-3|+|a-3|$
2. 明确几何意义
上式表示数轴上的动点a，到-3、1、3、3这四个定点的总距离之和。
3. 确定最值对应的a的范围
把四个定点从小到大排序为：-3、1、3、3，共4个点属于偶数个定点的情况，当动点a落在1到3的区间内（包含端点）时，总距离之和最小。
4. 代入计算最小值
在区间$1≤ a≤3$中任取数值代入，比如取a=1：
原式$=|1+3|+|1-1|+2×|1-3|=4+0+4=8$，取a=3代入验证也可得到相同结果。
【答案】
8
【知识点】
绝对值几何意义，数轴两点距离，绝对值最值
【点评】
本题的核心技巧是把系数不为1的绝对值项拆分为多个相同绝对值相加，将原式转化为动点到多个定点的距离和问题，避开了复杂的分段去绝对值运算，利用多绝对值求和的最值规律可以快速锁定最优区间，大幅降低计算难度。
【难度系数】
0.4
11. 设$[x)$表示大于$x$的最小整数，如$[3)=4$，$[-1.2)=-1$. 有下列结论：①$[0)=0$；②$[x)-x$的最小值是0；③$[x)-x$的最大值是1；④存在正数$x$，使$[x)-x=0.5$成立. 其中正确的有
③④
(填序号).答案
11. ③④ 提示:由题意,得$x＜[x)≤ x+1$,$[0)=1$,故①错误;$[x)-x＞0$,故②错误;$[x)-x≤1$,即最大值为1,故③正确;存在正数$x$,使$[x)-x=0.5$成立,例如$x=0.5$,故④正确. 故正确的有③④.
解析
【分析】
首先要先吃透题目给出的新定义：[x)是大于x的最小整数，我们可以先把这个定义转化为直观的不等式关系：对任意实数x，都满足x ＜ [x) ≤ x+1，接下来只需要逐个代入验证四个结论，举反例排除错误选项，推导证明正确选项即可：第一步先验证①，直接按定义算[0)的值；第二步分析[x)-x的取值范围，判断它的最值情况，验证②③；第三步尝试找符合条件的正数x，验证④是否成立。
【解析】
解：根据题中对[x)的定义：[x)表示大于x的最小整数，可得对任意实数x，恒有不等式：
$x ＜ [x) ≤ x+1$
我们逐个判断结论：
1. 对于结论①：当x=0时，大于0的最小整数是1，即[0)=1≠0，因此①错误；
2. 对于结论②：由$x ＜ [x)$移项可得$[x)-x ＞ 0$，即[x)-x永远无法取到0，不存在最小值为0的情况，因此②错误；
3. 对于结论③：由$[x) ≤ x+1$移项可得$[x)-x ≤ 1$，当x为整数时，例如x=3，此时[3)=4，$[3)-3=1$，可以取到1，因此[x)-x的最大值是1，③正确；
4. 对于结论④：取正数x=0.5，此时[0.5)=1，计算得$[0.5)-0.5=1-0.5=0.5$，满足条件，因此存在正数x使得[x)-x=0.5成立，④正确。
综上，正确的是③④。
【答案】
③④
【知识点】
新定义运算，不等式性质
【点评】
本题属于典型的新概念探究题型，核心解题技巧是将陌生的取整类新定义转化为熟悉的不等式范围，避免凭直觉判断结论，通过举反例可以快速排除错误选项，要注意区分该定义和常见的向下取整、向上取整概念的差异，不要混淆规则。
【难度系数】
0.6
首先要先吃透题目给出的新定义：[x)是大于x的最小整数，我们可以先把这个定义转化为直观的不等式关系：对任意实数x，都满足x ＜ [x) ≤ x+1，接下来只需要逐个代入验证四个结论，举反例排除错误选项，推导证明正确选项即可：第一步先验证①，直接按定义算[0)的值；第二步分析[x)-x的取值范围，判断它的最值情况，验证②③；第三步尝试找符合条件的正数x，验证④是否成立。
【解析】
解：根据题中对[x)的定义：[x)表示大于x的最小整数，可得对任意实数x，恒有不等式：
$x ＜ [x) ≤ x+1$
我们逐个判断结论：
1. 对于结论①：当x=0时，大于0的最小整数是1，即[0)=1≠0，因此①错误；
2. 对于结论②：由$x ＜ [x)$移项可得$[x)-x ＞ 0$，即[x)-x永远无法取到0，不存在最小值为0的情况，因此②错误；
3. 对于结论③：由$[x) ≤ x+1$移项可得$[x)-x ≤ 1$，当x为整数时，例如x=3，此时[3)=4，$[3)-3=1$，可以取到1，因此[x)-x的最大值是1，③正确；
4. 对于结论④：取正数x=0.5，此时[0.5)=1，计算得$[0.5)-0.5=1-0.5=0.5$，满足条件，因此存在正数x使得[x)-x=0.5成立，④正确。
综上，正确的是③④。
【答案】
③④
【知识点】
新定义运算，不等式性质
【点评】
本题属于典型的新概念探究题型，核心解题技巧是将陌生的取整类新定义转化为熟悉的不等式范围，避免凭直觉判断结论，通过举反例可以快速排除错误选项，要注意区分该定义和常见的向下取整、向上取整概念的差异，不要混淆规则。
【难度系数】
0.6
三、解答题
12. 计算：
(1) $(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{12})÷(-\dfrac{1}{36})$；
(2) $-2^2+[12-(-3)×2]÷(-3).$
12. 计算：
(1) $(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{12})÷(-\dfrac{1}{36})$；
(2) $-2^2+[12-(-3)×2]÷(-3).$
答案
12. 解: (1) 原式 $=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{12})×(-36)=\dfrac{1}{2}×(-36)+\dfrac{5}{6}×(-36)-\dfrac{7}{12}×(-36)=-18-30+21=-27.$
(2) 原式 $=-4+18×(-\dfrac{1}{3})=-4-6=-10.$
(2) 原式 $=-4+18×(-\dfrac{1}{3})=-4-6=-10.$
解析
【分析】
对于第(1)小题，观察到括号内是异分母分数的加减，直接通分计算比较麻烦，我们可以先将除以$-\frac{1}{36}$转化为乘以它的倒数$-36$，再利用乘法分配律将括号内的每一项分别和$-36$相乘，这样可以避免通分，大幅简化计算，最后合并各项的结果即可。
对于第(2)小题，按照有理数混合运算的优先级顺序思考：先计算乘方运算，注意$-2^2$表示2的平方的相反数，结果为-4，不要误算成4；接下来计算中括号内的乘法，再计算中括号内的减法得到中括号的结果；之后计算括号外的除法，最后计算加法得到最终结果，全程要注意符号的正确性。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
原式$=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{12})×(-36)$
根据乘法分配律展开：
$=\dfrac{1}{2}×(-36)+\dfrac{5}{6}×(-36)-\dfrac{7}{12}×(-36)$
分别计算每一项的乘积：
$=-18 - 30 + 21$
合并计算得：
$=-27$
(2) 先计算乘方运算：$-2^2=-4$
再计算中括号内的运算：$12-(-3)×2=12+6=18$
原式可改写为：
$=-4 + 18÷(-3)$
计算除法：
$=-4 + (-6)$
合并得：
$=-10$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-27}$；(2) $\boldsymbol{-10}$
【知识点】
1. 有理数除法法则
2. 乘法分配律
3. 有理数混合运算
【点评】
本题是有理数运算的基础常规题，核心考察学生对有理数运算规则的掌握程度，易错点集中在两处：一是$-2^2$的符号容易误判为正，二是使用乘法分配律时最后一项的负号容易漏乘出错，通过合理运用运算律可以有效简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
对于第(1)小题，观察到括号内是异分母分数的加减，直接通分计算比较麻烦，我们可以先将除以$-\frac{1}{36}$转化为乘以它的倒数$-36$，再利用乘法分配律将括号内的每一项分别和$-36$相乘，这样可以避免通分，大幅简化计算，最后合并各项的结果即可。
对于第(2)小题，按照有理数混合运算的优先级顺序思考：先计算乘方运算，注意$-2^2$表示2的平方的相反数，结果为-4，不要误算成4；接下来计算中括号内的乘法，再计算中括号内的减法得到中括号的结果；之后计算括号外的除法，最后计算加法得到最终结果，全程要注意符号的正确性。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法：
原式$=(\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{12})×(-36)$
根据乘法分配律展开：
$=\dfrac{1}{2}×(-36)+\dfrac{5}{6}×(-36)-\dfrac{7}{12}×(-36)$
分别计算每一项的乘积：
$=-18 - 30 + 21$
合并计算得：
$=-27$
(2) 先计算乘方运算：$-2^2=-4$
再计算中括号内的运算：$12-(-3)×2=12+6=18$
原式可改写为：
$=-4 + 18÷(-3)$
计算除法：
$=-4 + (-6)$
合并得：
$=-10$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-27}$；(2) $\boldsymbol{-10}$
【知识点】
1. 有理数除法法则
2. 乘法分配律
3. 有理数混合运算
【点评】
本题是有理数运算的基础常规题，核心考察学生对有理数运算规则的掌握程度，易错点集中在两处：一是$-2^2$的符号容易误判为正，二是使用乘法分配律时最后一项的负号容易漏乘出错，通过合理运用运算律可以有效简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
13. 出租车司机李师傅国庆节第一天下午的营运全是在某南北走向的公路上进行的,如果向南记作“−”,向北记作“+”,那么他这天下午的行车情况如下(单位:km,每次行车都有乘客):−2,+5,−1,+8,−3,−2,−4,+7.请回答下列问题:
(1) 李师傅将最后一名乘客送到目的地时,在出发地的什么方向?距出发地多远?
(2) 规定每趟车的起步价是10元,若每趟车行驶3 km以内(含3 km),只收起步价;若超过3 km,除收起步价外,超过的每千米还需收2元钱,那么李师傅这天下午共收到车费多少元?
(3) 若李师傅的出租车每千米耗油0.1 L,每升汽油8元,不计汽车的损耗,则李师傅这天下午是盈利还是亏损了?盈利(或亏损)多少钱?
(1) 李师傅将最后一名乘客送到目的地时,在出发地的什么方向?距出发地多远?
(2) 规定每趟车的起步价是10元,若每趟车行驶3 km以内(含3 km),只收起步价;若超过3 km,除收起步价外,超过的每千米还需收2元钱,那么李师傅这天下午共收到车费多少元?
(3) 若李师傅的出租车每千米耗油0.1 L,每升汽油8元,不计汽车的损耗,则李师傅这天下午是盈利还是亏损了?盈利(或亏损)多少钱?
答案
13. 解:(1) $-2+5-1+8-3-2-4+7=8(\mathrm{km}).$
答:李师傅在出发地的正北方向,距出发地 8 km.
(2) $10+10+2×(5-3)+10+10+2×(8-3)+10+10+10+2×(4-3)+10+2×(7-3)=104(\mathrm{元}).$
答:李师傅这天下午共收到车费 104 元.
(3) $(2+5+1+8+3+2+4+7)×0.1×8=32×0.1×8=25.6(\mathrm{元}),104-25.6=78.4(\mathrm{元}).$
答:李师傅这天下午盈利了,盈利 78.4 元.
答:李师傅在出发地的正北方向,距出发地 8 km.
(2) $10+10+2×(5-3)+10+10+2×(8-3)+10+10+10+2×(4-3)+10+2×(7-3)=104(\mathrm{元}).$
答:李师傅这天下午共收到车费 104 元.
(3) $(2+5+1+8+3+2+4+7)×0.1×8=32×0.1×8=25.6(\mathrm{元}),104-25.6=78.4(\mathrm{元}).$
答:李师傅这天下午盈利了,盈利 78.4 元.
解析
【分析】
这是有理数的实际应用类问题，我们可以分三个小问逐步梳理思路：
1. 第一问要确定最终相对出发地的位置，只需把所有带正负标识的行车里程相加，最终计算结果为正则代表在向北方向，为负则代表向南，结果的绝对值就是距离出发地的长度。
2. 第二问计算总车费，首先明确总共有8趟载客行程，每趟无论行驶距离多少都先收取10元起步价，再逐一判断每趟行程的里程绝对值是否超过3km，超出部分按每千米2元加收费用，把所有费用求和即可得到总车费。
3. 第三问判断盈亏，计算油耗成本时，无论向南还是向北行驶，所有行驶的路程都要耗油，因此需要把所有里程的绝对值相加得到总行驶路程，算出总油耗成本后用总车费减去成本，结果为正则盈利，为负则亏损。
【解析】
(1) 将所有行车记录相加：
$-2 + 5 -1 +8 -3 -2 -4 +7 = 8\ (\mathrm{km})$
结果为正数，说明最终位置在出发地的正北方向，距离出发地8km。
(2) 总共有8趟行程，起步价总和为$8×10=80$元，再计算超出3km部分的额外收费：
里程为5km的行程：超出$5-3=2\ \mathrm{km}$，额外收费$2×2=4$元
里程为8km的行程：超出$8-3=5\ \mathrm{km}$，额外收费$5×2=10$元
里程为4km的行程：超出$4-3=1\ \mathrm{km}$，额外收费$1×2=2$元
里程为7km的行程：超出$7-3=4\ \mathrm{km}$，额外收费$4×2=8$元
其余行程里程均不超过3km，无额外收费，总车费为$80+4+10+2+8=104$元。
(3) 计算总行驶路程，对所有里程取绝对值求和：
$|-2|+|5|+|-1|+|8|+|-3|+|-2|+|-4|+|7| = 32\ \mathrm{km}$
总油耗成本为$32×0.1×8=25.6$元，利润为$104-25.6=78.4$元，结果为正，说明盈利。
【答案】
(1) 李师傅在出发地的正北方向，距出发地8km；
(2) 李师傅这天下午共收到车费104元；
(3) 李师傅这天下午盈利了，盈利78.4元。
【知识点】
有理数加减运算，绝对值实际应用，有理数场景应用
【点评】
本题是有理数在行程计费场景的典型应用题，易错点集中在两处：一是计算总路程时容易直接将带符号的里程相加，忽略不同方向的行驶都要计入总路程，必须取绝对值求和；二是计算车费时容易漏算部分行程的起步价，要明确每一趟载客行程都先收取起步价，再核算超出部分费用，能很好考察学生对有理数正负实际意义的理解。
【难度系数】
0.7
这是有理数的实际应用类问题，我们可以分三个小问逐步梳理思路：
1. 第一问要确定最终相对出发地的位置，只需把所有带正负标识的行车里程相加，最终计算结果为正则代表在向北方向，为负则代表向南，结果的绝对值就是距离出发地的长度。
2. 第二问计算总车费，首先明确总共有8趟载客行程，每趟无论行驶距离多少都先收取10元起步价，再逐一判断每趟行程的里程绝对值是否超过3km，超出部分按每千米2元加收费用，把所有费用求和即可得到总车费。
3. 第三问判断盈亏，计算油耗成本时，无论向南还是向北行驶，所有行驶的路程都要耗油，因此需要把所有里程的绝对值相加得到总行驶路程，算出总油耗成本后用总车费减去成本，结果为正则盈利，为负则亏损。
【解析】
(1) 将所有行车记录相加：
$-2 + 5 -1 +8 -3 -2 -4 +7 = 8\ (\mathrm{km})$
结果为正数，说明最终位置在出发地的正北方向，距离出发地8km。
(2) 总共有8趟行程，起步价总和为$8×10=80$元，再计算超出3km部分的额外收费：
里程为5km的行程：超出$5-3=2\ \mathrm{km}$，额外收费$2×2=4$元
里程为8km的行程：超出$8-3=5\ \mathrm{km}$，额外收费$5×2=10$元
里程为4km的行程：超出$4-3=1\ \mathrm{km}$，额外收费$1×2=2$元
里程为7km的行程：超出$7-3=4\ \mathrm{km}$，额外收费$4×2=8$元
其余行程里程均不超过3km，无额外收费，总车费为$80+4+10+2+8=104$元。
(3) 计算总行驶路程，对所有里程取绝对值求和：
$|-2|+|5|+|-1|+|8|+|-3|+|-2|+|-4|+|7| = 32\ \mathrm{km}$
总油耗成本为$32×0.1×8=25.6$元，利润为$104-25.6=78.4$元，结果为正，说明盈利。
【答案】
(1) 李师傅在出发地的正北方向，距出发地8km；
(2) 李师傅这天下午共收到车费104元；
(3) 李师傅这天下午盈利了，盈利78.4元。
【知识点】
有理数加减运算，绝对值实际应用，有理数场景应用
【点评】
本题是有理数在行程计费场景的典型应用题，易错点集中在两处：一是计算总路程时容易直接将带符号的里程相加，忽略不同方向的行驶都要计入总路程，必须取绝对值求和；二是计算车费时容易漏算部分行程的起步价，要明确每一趟载客行程都先收取起步价，再核算超出部分费用，能很好考察学生对有理数正负实际意义的理解。
【难度系数】
0.7
14. 把几个数用大括号括起来,中间用逗号断开,我们称之为集合,其中的数称为集合的元素,一个集合中没有相同的元素.如果一个集合满足:只要其中有一个元素$m$,使得$|m|-4$也是这个集合的元素,那么这样的集合我们称为“条件集合”.例如集合$\{7,3\}$,因为$|7|-4=3$,而3恰好是这个集合的元素,所以$\{7,3\}$就是一个“条件集合”.
(1) 集合$\{-8,12\}$
(2) 请说明集合$\{1,-2\dfrac{1}{3},-1\dfrac{2}{3}\}$是“条件集合”.
(3) 已知集合$\{x,1\}$是“条件集合”,求出所有符合条件的$x$的值.
(4) 若集合$\{m\}$是“条件集合”,则$m=$
(1) 集合$\{-8,12\}$
不是
(填“是”或“不是”)“条件集合”.(2) 请说明集合$\{1,-2\dfrac{1}{3},-1\dfrac{2}{3}\}$是“条件集合”.
(3) 已知集合$\{x,1\}$是“条件集合”,求出所有符合条件的$x$的值.
(4) 若集合$\{m\}$是“条件集合”,则$m=$
$-2$
.答案
14. 解:(1) 不是
(2) 因为$\left|-2\dfrac{1}{3}\right|-4=-1\dfrac{2}{3}$,所以集合$\{1,-2\dfrac{1}{3},-1\dfrac{2}{3}\}$是“条件集合”.
(3) 因为集合$\{x,1\}$是“条件集合”,所以当$|1|-4=x$时,解得$x=-3$;当$|x|-4=1$时,解得$x=-5$或$x=5$. 故所有符合条件的$x$的值是$-3$或$-5$或$5$.
(4) $-2$ 提示:因为集合$\{m\}$是“条件集合”,所以$|m|-4=m$. 当$m≤0$时,$-m-4=m$,解得$m=-2$;当$m＞0$时,$m-4=m$,方程无解. 所以$m=-2$.
(2) 因为$\left|-2\dfrac{1}{3}\right|-4=-1\dfrac{2}{3}$,所以集合$\{1,-2\dfrac{1}{3},-1\dfrac{2}{3}\}$是“条件集合”.
(3) 因为集合$\{x,1\}$是“条件集合”,所以当$|1|-4=x$时,解得$x=-3$;当$|x|-4=1$时,解得$x=-5$或$x=5$. 故所有符合条件的$x$的值是$-3$或$-5$或$5$.
(4) $-2$ 提示:因为集合$\{m\}$是“条件集合”,所以$|m|-4=m$. 当$m≤0$时,$-m-4=m$,解得$m=-2$;当$m＞0$时,$m-4=m$,方程无解. 所以$m=-2$.
解析
【分析】
首先我们需要先明确题目给出的“条件集合”的核心定义：集合中只要存在任意一个元素m，使得|m|-4的计算结果也属于该集合，这个集合就是条件集合。接下来逐个小问推导：
1. 第(1)问：分别把集合{-8,12}里的两个元素代入计算|m|-4，看得到的结果是否在这个集合内，如果都不在，就说明它不是条件集合。
2. 第(2)问：只需要在给出的三个元素中找到任意一个m，满足|m|-4是集合里的另一个元素，代入验证后就能证明它是条件集合。
3. 第(3)问：集合有两个元素x和1，分两类讨论：第一类是取元素1作为m，计算|1|-4，结果等于x；第二类是取元素x作为m，计算|x|-4，结果等于1，分别解方程就能得到所有符合条件的x，同时验证得到的x不会让集合出现重复元素，全部保留即可。
4. 第(4)问：集合只有唯一元素m，说明必须满足|m|-4的结果也只能是m本身，据此列绝对值方程，分m≥0和m＜0两种情况去掉绝对值解方程，舍去无解的情况就能得到m的值。
【解析】
(1) 分别计算集合{-8,12}中两个元素的|m|-4：
当m=-8时，|m|-4=8-4=4，4不在集合{-8,12}中；
当m=12时，|m|-4=12-4=8，8也不在集合{-8,12}中，因此该集合不满足条件集合的要求。
(2) 对集合$\{1,-2\dfrac{1}{3},-1\dfrac{2}{3}\}$进行验证：
取元素$m=-2\dfrac{1}{3}$，计算可得$\left|-2\dfrac{1}{3}\right|-4=2\dfrac{1}{3}-4=-1\dfrac{2}{3}$，而$-1\dfrac{2}{3}$恰好是这个集合的元素，因此该集合满足条件集合的定义。
(3) 已知集合$\{x,1\}$是条件集合，分两种情况讨论：
① 若取$m=1$，满足$|1|-4=x$，计算得$1-4=x$，解得$x=-3$，此时集合为$\{-3,1\}$，元素不重复，符合要求；
② 若取$m=x$，满足$|x|-4=1$，移项得$|x|=5$，解得$x=5$或$x=-5$，对应的集合分别为$\{5,1\}$、$\{-5,1\}$，元素均不重复，都符合要求。
因此所有符合条件的x为-3、-5、5。
(4) 集合$\{m\}$是单元素的条件集合，说明集合中仅有的元素m必须满足$|m|-4=m$，分情况去绝对值：
① 当$m＞0$时，绝对值去掉后为$m-4=m$，化简得$-4=0$，方程无解；
② 当$m≤0$时，绝对值去掉后为$-m-4=m$，移项得$-2m=4$，解得$m=-2$，符合$m≤0$的要求。
【答案】
(1) 不是
(2) 因为$\left|-2\dfrac{1}{3}\right|-4=-1\dfrac{2}{3}$，而$-1\dfrac{2}{3}$是该集合的元素，所以集合$\{1,-2\dfrac{1}{3},-1\dfrac{2}{3}\}$是“条件集合”。
(3) 所有符合条件的x的值是-3或-5或5
(4) -2
【知识点】
新定义运算，绝对值化简，一元一次方程求解
【点评】
本题属于新定义类创新题型，核心是准确理解“条件集合”的规则，解题时要注意分类讨论的完整性，避免漏解，同时结合集合元素互异性、单元素集合的唯一性特点验证结果，难度适中，能很好考查学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
首先我们需要先明确题目给出的“条件集合”的核心定义：集合中只要存在任意一个元素m，使得|m|-4的计算结果也属于该集合，这个集合就是条件集合。接下来逐个小问推导：
1. 第(1)问：分别把集合{-8,12}里的两个元素代入计算|m|-4，看得到的结果是否在这个集合内，如果都不在，就说明它不是条件集合。
2. 第(2)问：只需要在给出的三个元素中找到任意一个m，满足|m|-4是集合里的另一个元素，代入验证后就能证明它是条件集合。
3. 第(3)问：集合有两个元素x和1，分两类讨论：第一类是取元素1作为m，计算|1|-4，结果等于x；第二类是取元素x作为m，计算|x|-4，结果等于1，分别解方程就能得到所有符合条件的x，同时验证得到的x不会让集合出现重复元素，全部保留即可。
4. 第(4)问：集合只有唯一元素m，说明必须满足|m|-4的结果也只能是m本身，据此列绝对值方程，分m≥0和m＜0两种情况去掉绝对值解方程，舍去无解的情况就能得到m的值。
【解析】
(1) 分别计算集合{-8,12}中两个元素的|m|-4：
当m=-8时，|m|-4=8-4=4，4不在集合{-8,12}中；
当m=12时，|m|-4=12-4=8，8也不在集合{-8,12}中，因此该集合不满足条件集合的要求。
(2) 对集合$\{1,-2\dfrac{1}{3},-1\dfrac{2}{3}\}$进行验证：
取元素$m=-2\dfrac{1}{3}$，计算可得$\left|-2\dfrac{1}{3}\right|-4=2\dfrac{1}{3}-4=-1\dfrac{2}{3}$，而$-1\dfrac{2}{3}$恰好是这个集合的元素，因此该集合满足条件集合的定义。
(3) 已知集合$\{x,1\}$是条件集合，分两种情况讨论：
① 若取$m=1$，满足$|1|-4=x$，计算得$1-4=x$，解得$x=-3$，此时集合为$\{-3,1\}$，元素不重复，符合要求；
② 若取$m=x$，满足$|x|-4=1$，移项得$|x|=5$，解得$x=5$或$x=-5$，对应的集合分别为$\{5,1\}$、$\{-5,1\}$，元素均不重复，都符合要求。
因此所有符合条件的x为-3、-5、5。
(4) 集合$\{m\}$是单元素的条件集合，说明集合中仅有的元素m必须满足$|m|-4=m$，分情况去绝对值：
① 当$m＞0$时，绝对值去掉后为$m-4=m$，化简得$-4=0$，方程无解；
② 当$m≤0$时，绝对值去掉后为$-m-4=m$，移项得$-2m=4$，解得$m=-2$，符合$m≤0$的要求。
【答案】
(1) 不是
(2) 因为$\left|-2\dfrac{1}{3}\right|-4=-1\dfrac{2}{3}$，而$-1\dfrac{2}{3}$是该集合的元素，所以集合$\{1,-2\dfrac{1}{3},-1\dfrac{2}{3}\}$是“条件集合”。
(3) 所有符合条件的x的值是-3或-5或5
(4) -2
【知识点】
新定义运算，绝对值化简，一元一次方程求解
【点评】
本题属于新定义类创新题型，核心是准确理解“条件集合”的规则，解题时要注意分类讨论的完整性，避免漏解，同时结合集合元素互异性、单元素集合的唯一性特点验证结果，难度适中，能很好考查学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
