1 线段AB的垂直平分线上一点P到点A的距离为5，则点P到点B的距离（）

A.等于5
B.大于5
C.小于5
D.无法确定

1.A 【解析】
∵ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,
∴ PB=PA=5. 故选 A.

2 如图,在$△ ABC$中,边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O,这两条垂直平分线分别交BC于点D,E.已知$△ ADE$的周长为15 cm,分别连接OA,OB,OC,若$△ OBC$的周长为32 cm,则OA的长为 cm.

（第2题图）
（第3题图）

2. 8.5 【解析】
∵ OM, ON 分别为 AB, AC 的垂直平分线,
∴ DA=DB, OA=OB, EA=EC, OA=OC.
∵ △ADE 的周长为 15 cm,
∴ AD+DE+EA=15 cm,
∴ BD+DE+EC = 15 cm, 即 BC = 15 cm.
∵ △OBC 的周长为 32 cm,
∴ OB+BC+OC= 32 cm,
∴ OB+OC = 32-15 = 17 (cm),
∴ OA=8.5 cm. 故答案为 8.5.

3 [2025江苏苏州调研]如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB=CD，∠ABD=116°，∠CDB=28°，则∠OBD=°。

3. 44 【解析】如图,连接 OA, OC.
∵ OE, OF 分别是 AC,BD 的垂直平分线,
∴ OA=OC, OB=OD,
∴ ∠OBD=∠ODB. 在 △AOB 和 △COD 中, $\begin{cases} OA=OC, \\ AB=CD, \\ OB=OD, \end{cases}$
∴ △AOB≌△COD (SSS),
∴ ∠ABO=∠CDO.
∵ ∠ABD=116°, ∠CDB=28°,
∴ ∠ABO + ∠OBD = 116°, ∠CDO - ∠ODB = 28°, 即 ∠CDO - ∠OBD = 28°,
∴ ∠ABO = 72°, ∠OBD=44°, 故答案为 44.

4 如图,在四边形ABCD中,边BC,CD的垂直平分线AE,AF恰好相交于顶点A.
(1)求证:∠BAE+∠DAF=∠EAF.
(2)连接BD,若∠EAF=65°,∠DBC=40°,求∠ADC的度数.

4. (1)【证明】连接 AC.
∵ AF 垂直平分 CD,
∴ AC=AD. 在 Rt △ACF 和 Rt △ADF 中, $\begin{cases} AC=AD, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ Rt △ACF ≌ Rt △ADF (HL),
∴ ∠CAF = ∠DAF. 同理可证 Rt △ABE ≌ Rt △ACE,
∴ ∠BAE = ∠CAE,
∴ ∠BAE + ∠DAF = ∠CAE+∠CAF = ∠EAF.
(2)【解】过点 A 作 AG⊥BD 于点 G. 由(1)得, ∠BAE + ∠DAF = ∠EAF = 65°,
∴ ∠BAD = 2∠EAF=130°. 又
∵ 直线 AE, AF 分别是边 BC,CD 的垂直平分线,
∴ ∠AEC = ∠AFC = 90°,
∴ ∠ECF = 360° - ∠EAF - ∠AEC - ∠AFC = 360°- 245° = 115°.
∵ ∠DBC = 40°,
∴ ∠BDC = 180°-115°-40° = 25°.
∵ ∠BAD = 130°,
∴ ∠ABD+∠ADB = 50°. 在 Rt △ABG 和 Rt△ADG 中, $\begin{cases} AB=AD, \\ AG=AG, \end{cases}$
∴ Rt △ABG≌Rt △ADG (HL),
∴ ∠ABG = ∠ADG,
∴ ∠ADG = 25°,
∴ ∠ADC = ∠ADB+∠BDC = 25°+25° = 50°.

5 [2025江苏盐城射阳调研]如图,在$△ ABC$中,已知点D在BC上,且$BD+AD=BC$,则点D在 ()

A.AC的垂直平分线上
B.$∠ BAC$的平分线上
C.BC的中点处
D.AB的垂直平分线上

5. A 【解析】
∵ BD + DC = BC, BD + AD = BC,
∴ DC=DA,
∴ 点 D 在 AC 的垂直平分线上,故选 A.

6[2026山东聊城期末]如图，下列说法正确的是（）

A.若$AC=AD$，则$CD$垂直平分$AB$
B.若$BC=BD$，则$CD$垂直平分$AB$
C.若$AC=AD$，$BC=BD$，则$AB$垂直平分$CD$
D.若$AC=AD$，$BC=BD$，则$CD$垂直平分$AB$

6. C 【解析】若 AC=AD, 则 A 在线段 CD 的垂直平分线上, 故 A 选项说法错误, 不符合题意; 若 BC=BD, 则 B 在线段 CD 的垂直平分线上, 故 B 选项说法错误, 不符合题意; 若 AC=AD,BC=BD, 则 AB 垂直平分 CD, 故 C 选项说法正确, 符合题意; D 选项说法错误, 不符合题意. 故选 C.

7 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,在线段DC上取一点E,使DE=BD,已知AB+BD=DC,求证:点E在线段AC的垂直平分线上.

7. 【证明】
∵ AD 是 BC 边上的高,
∴ AD ⊥ BC. 又
∵ BD=DE,
∴ AD 所在的直线是线段 BE 的垂直平分线,
∴ AB=AE,
∴ AB+BD = AE+DE. 又
∵ AB+BD = DC,
∴ DC = AE+DE,
∴ DE+EC = AE+DE,
∴ EC=AE,
∴ 点 E 在线段 AC 的垂直平分线上.

8[2026江苏无锡江阴质检]如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C$,点$P,Q,R$分别在边$AB,BC,AC$上,且$PB=QC,QB=RC$,连接$PQ,RQ,PR$.求证:点$Q$在$PR$的垂直平分线上.

8. 【证明】在 △PBQ 和 △QCR 中, $\begin{cases} PB=QC, \\ ∠B=∠C, \\ QB=RC, \end{cases}$
∴ △PBQ≌△QCR(SAS),
∴ PQ=RQ,
∴ 点 Q 在 PR 的垂直平分线上.