1[2025江苏南通期中,中]如图,直线l,m相交于点O,P为这两直线外一点,且$OP=2.8$.若点P关于直线l,m对称的点分别是点$P_1,P_2$,则$P_1,P_2$之间的距离可能是（）


A.0
B.5
C.6
D.7

1. B 【解析】如图,连接 $OP_1,OP_2,P_1P_2,PP_1,PP_2$.
∵ 点 P 关于直线 l,m 的对称点分别是点 $P_1,P_2$,
∴ 直线 l 垂直平分 $PP_1$, 直线 m 垂直平分 $PP_2$,
∴ $OP_1=OP=OP_2=2.8$. 根据三角形三边关系定理可知 $OP_1-OP_2＜P_1P_2＜OP_1+OP_2$, 即 $0＜P_1P_2＜5.6$, 故选 B.

2[2025河北承德质检,中]如图,直线l是线段AB的垂直平分线,点C在直线l外,且与点A在直线l的同侧,连接BC,交直线l于点D,点P是直线l上的一个动点(不与点D重合),连接AP,CP,则BC与AP+PC的大小关系是 ()


A.$BC＞AP+PC$
B.$BC＜AP+PC$
C.$BC=AP+PC$
D.不能确定

2. B 【解析】如图,连接 BP.
∵ 直线 l 是线段 AB 的垂直平分线,
∴ AP = BP,
∴ AP+PC = BP+PC.
∵ 点 P 不与点 D 重合,
∴ AP+PC = BP+PC＞BC. 故选 B.

3[2026江苏扬州期中,中]在$△ ABC$中,$BC=10$,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交边BC于点$D,E$,且$DE=3$,则$AD+AE=$.

3. 7 或 13 【解析】
∵ AB 的垂直平分线交 BC 于点 D,AC 的垂直平分线交 BC 于点 E,
∴ AD=BD,AE=CE. 如图(1),当点 D 在点 E 左侧时, AD+AE = BD+CE = BC-DE = 10-3 = 7;

如图(2),当点 D 在点 E 右侧时, AD+AE = BD+CE = BC+DE = 10+3 = 13.

综上,AD+AE 的值为 7 或 13,故答案为 7 或 13.

4 新考法[2026江苏南京调研,较难]如图,点P为∠AOB的内部一点,用无刻度直尺和圆规在OA,OB上分别作点C,D,得到四边形CODP,使PC+PD=OC+OD,且四边形CODP有一个角为直角.(保留作图痕迹,不写作法)

刷素养 走向重高

4. 【解】如图.

5 核心素养推理能力 [2025 山东青岛期中,较难]对于几何图形,我们通常是从它的定义、性质、判定和应用等方面进行研究,并且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系进行探究.观察、实验、归纳、类比、猜想、推理是我们常用的探究方法.
【定义】
如图(1),在四边形ABCD中,BA=BC,DA=DC,我们把这种有两组邻边分别相等的四边形叫作筝形,不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线,如线段AC,BD就是它的对角线.
【性质】
(1)请结合图(1),写出两条筝形ABCD具有的性质(如BA=BC).
【判定】
(2)下列条件能判定四边形ABCD(AC与BD的交点为O)是筝形的有. (将所有正确的序号填在横线上)
①AB=BC且AD=CD;②∠BAD=∠BCD;
③AC⊥BD且OA=OC;④∠ABD=∠CBD.
【应用】
(3)如图(2),在筝形ABCD中,AB=AD,BC=CD,请利用无刻度的直尺和圆规,在筝形ABCD内部找一点P,连接PB,PD,使折线B-P-D恰好将筝形ABCD的面积分为相等的两部分.(保留作图痕迹,不写作法)

5. (1) ∠BAD = ∠BCD, AC ⊥ BD. (答案不唯一)
(2) 根据筝形定义知由①AB=BC 且 AD=CD 能判定四边形 ABCD 是筝形,故①正确.
由②∠BAD = ∠BCD 和④∠ABD = ∠CBD 均不能判定四边形 ABCD 是筝形.
∵ AC ⊥ BD 且 OA = OC,
∴ BD 垂直平分 AC,
∴ AB=BC,AD=CD,
∴ 四边形 ABCD 是筝形,
∴ 由③AC ⊥ BD 且 OA = OC 能判定四边形 ABCD 是筝形. 故答案为①③.
(3) 如图所示.