1[中]如图,已知AC,BD相交于点O,且AB=DC,AC=DB,那么∠A=∠D吗？说明理由.

∠A=∠D.理由如下：
如图,连接BC.
在△ABC 和△DCB 中,
$\begin{cases} AB=DC, \\ AC=DB, \\ BC=CB, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DCB(SSS),
∴ ∠A=∠D.

2[中]如图，△AOB中，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD交BD的延长线于E.求证:BD=2AE.

证明:如图,延长 BO,AE 交于 F.
∵ BD 平分∠ABO,AF ⊥ BD,
∴ ∠1 = ∠2,∠AEB=∠FEB=90°.
在 △ABE 和 △FBE 中,$\begin{cases} ∠1=∠2, \\ BE=BE, \\ ∠AEB=∠FEB, \end{cases}$
∴ △ABE≌△FBE(ASA),
∴ AE = EF.
∵ ∠AOB = 90°, ∠AED = 90°, ∠ADE = ∠BDO,
∴ ∠2 = ∠OAF.
∵ ∠AOB = 90°,
∴ ∠DOB = ∠FOA = 90°.
在 △OBD 和 △OAF 中, $\begin{cases} ∠2=∠FAO, \\ BO=AO, \\ ∠BOD=∠AOF, \end{cases}$
∴ △OBD≌△OAF(ASA),
∴ BD = AF.
∵ AE = EF,
∴ BD = 2AE.

3[中]如图,在四边形ABCD中,AB//CD,E是边AD上的点,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD.求证:(1)BE⊥CE;(2)BC=AB+CD.

(1)
∵ AB//CD,
∴ ∠ABC+∠DCB = 180°.
∵ BE 平分∠ABC,CE 平分∠BCD,
∴ ∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC, ∠ECB = $\frac{1}{2}$∠BCD,
∴ ∠EBC+∠ECB = $\frac{1}{2}$( ∠ABC + ∠BCD ) = 90°,
∴ ∠BEC=180°-( ∠EBC + ∠ECB ) = 180°-90°=90°,
∴ BE ⊥ CE.
(2)如图,在 BC 上截取BF=AB,连接 EF.
∵ BE 平分∠ABC,
∴ ∠ABE = ∠FBE.
在△BAE 和△BFE 中,$\begin{cases} BA=BF, \\ ∠ABE=∠FBE, \\ BE=BE, \end{cases}$
∴ △BAE≌△BFE(SAS),
∴ ∠BEA = ∠BEF.
∵ BE ⊥ CE,
∴ ∠BEF+∠CEF = ∠AEB+∠DEC = 90°,
∴ ∠FEC = ∠DEC.
∵ CE 平分∠BCD,
∴ ∠ECF = ∠ECD.
在△CFE 和△CDE 中,$\begin{cases} ∠FEC=∠DEC, \\ CE=CE, \\ ∠ECF=∠ECD, \end{cases}$
∴ △CFE≌△CDE(ASA),
∴ CF = CD,
∴ BC = BF+CF = AB+CD.

4[中]如图，AD是$△ ABC$的中线，点E在BC的延长线上，$CE = AB$，$∠ BAC = ∠ BCA$，求证：$AE=2AD$.

证明:如图,延长 AD 至 M,使 DM = AD,连接 CM. 因为 AD 是△ABC 的中线,所以 BD = CD.
在 △ABD 和 △MCD 中,$\begin{cases} BD=CD, \\ ∠ADB=∠MDC, \\ AD=MD, \end{cases}$
所以△ABD≌△MCD(SAS),所以 MC = AB,∠B = ∠MCD. 因为 AB = CE,所以 CM = CE.
因为 ∠BAC = ∠BCA,所以 ∠B + ∠BAC = ∠ACB+∠MCD,即∠ACE = ∠ACM.
在△ACE 和△ACM 中,$\begin{cases} AC=AC, \\ ∠ACE=∠ACM, \\ CE=CM, \end{cases}$
所以△ACE≌△ACM(SAS),所以 AE = AM.
因为 AM = 2AD,所以 AE = 2AD.

5[2025江苏南京质检,较难](1)如图(1),在△ABC中,AB=9,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.(2)如图(2),AD是△ABC的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠FAC=90°,试探究线段AD与EF的数量和位置关系,并加以证明.

(1)如图(1),延长 AD 到 E,使得 AD = DE,则 AE = 2AD.
∵ D 是 BC 的中点,
∴ BD = CD. 在△ACD 和 △EBD 中,
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠ADC=∠EDB, \\ AD=DE, \end{cases}$
∴ △ACD≌△EBD ( SAS ),
∴ BE = AC. 在△ABE 中,由三角形的三边关系可得 AB-BE＜ AE＜AB+BE,即 AB-BE＜2AD＜AB+BE.
∵ AB = 9,AC = BE = 5,
∴ 9-5＜2AD＜9+5,
∴ 2＜AD＜7,
∴ BC 边上的中线 AD 的取值范围为 2＜AD＜7.
(2) EF = 2AD 且 EF ⊥ AD. 证明如下: 如图(2),延长 AD 到 G,使得 AD = DG,连接 BG,延长 DA 交 EF 于点 H. 同(1) 可证 △ACD ≌ △GBD,
∴ AC = BG, ∠DAC = ∠DGB,
∴ ∠BAC = ∠BAD+∠DAC = ∠BAD+∠DGB,
∴ ∠ABG + ∠BAD + ∠DGB = ∠ABG + ∠BAC = 180°.
∵ ∠BAE = ∠FAC = 90°,
∴ ∠EAF + ∠BAC = 180°,
∴ ∠EAF = ∠ABG.
∵ AC = AF,AC = BG,
∴ BG = AF. 在△ABG 和△EAF 中, $\begin{cases} AB=AE, \\ ∠ABG=∠EAF, \\ BG=AF, \end{cases}$
∴ △ABG ≌ △EAF(SAS),
∴ EF = AG, ∠HEA = ∠BAG.
∵ AG = 2AD,
∴ EF = 2AD.
∵ ∠BAE = 90°,
∴ ∠EAH + ∠BAG = 90°.
∵ ∠HEA = ∠BAG,
∴ ∠HEA + ∠EAH = 90°,
∴ ∠AHE = 90°,
∴ AD ⊥ EF. 综上所述,EF=2AD 且 EF ⊥ AD.