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9. 如右图，正方形的面积是 $10\ \mathrm{cm}^2$，圆的面积是（$\quad$）$\mathrm{cm}^2$。
A.$\dfrac{2}{5}π$
B.$5π$
C.$10π$
D.$20π$
A.$\dfrac{2}{5}π$
B.$5π$
C.$10π$
D.$20π$
答案
9.B
解析
【分析】
首先观察图形，可知正方形内接于圆，因此正方形的对角线长度等于圆的直径。我们需要利用正方形的面积求出圆半径的平方，再代入圆的面积公式计算。具体思路：设圆的半径为$r$，先将正方形面积用$r$表示，结合已知正方形面积求出$r^2$，最后计算圆的面积。
【解析】
设圆的半径为$r$，则圆的直径为$2r$，即正方形的对角线长为$2r$。
根据正方形面积与对角线的关系：正方形面积$=\frac{1}{2}×$对角线$^2$，可得该正方形的面积为：
$\frac{1}{2}×(2r)^2=\frac{1}{2}×4r^2=2r^2$
已知正方形面积为$10\ \mathrm{cm}^2$，因此：
$2r^2=10$，解得$r^2=5$
圆的面积公式为$S=π r^2$，代入$r^2=5$，得圆的面积为$π×5=5π\ \mathrm{cm}^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆的面积计算、正方形面积计算、圆内接正方形性质
【点评】
本题结合圆内接正方形的性质，考查圆与正方形的面积计算，关键是利用正方形对角线与圆直径的关系建立等式，推导圆半径的平方，难度适中，需要学生掌握图形间的关系及面积公式的灵活运用。
【难度系数】
0.5
首先观察图形，可知正方形内接于圆，因此正方形的对角线长度等于圆的直径。我们需要利用正方形的面积求出圆半径的平方，再代入圆的面积公式计算。具体思路：设圆的半径为$r$，先将正方形面积用$r$表示，结合已知正方形面积求出$r^2$，最后计算圆的面积。
【解析】
设圆的半径为$r$，则圆的直径为$2r$，即正方形的对角线长为$2r$。
根据正方形面积与对角线的关系：正方形面积$=\frac{1}{2}×$对角线$^2$，可得该正方形的面积为：
$\frac{1}{2}×(2r)^2=\frac{1}{2}×4r^2=2r^2$
已知正方形面积为$10\ \mathrm{cm}^2$，因此：
$2r^2=10$，解得$r^2=5$
圆的面积公式为$S=π r^2$，代入$r^2=5$，得圆的面积为$π×5=5π\ \mathrm{cm}^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆的面积计算、正方形面积计算、圆内接正方形性质
【点评】
本题结合圆内接正方形的性质，考查圆与正方形的面积计算，关键是利用正方形对角线与圆直径的关系建立等式，推导圆半径的平方，难度适中，需要学生掌握图形间的关系及面积公式的灵活运用。
【难度系数】
0.5
10. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（
A.$13=3+10$
B.$25=9+16$
C.$36=15+21$
D.$49=18+31$
C
）。A.$13=3+10$
B.$25=9+16$
C.$36=15+21$
D.$49=18+31$
答案
10.C
解析
【分析】首先明确“正方形数”是大于1的平方数，即$k^2$（$k≥2$）；“三角形数”的规律是第$n$个三角形数的通项公式为$T_n=\frac{n(n+1)}{2}$。题目规律为：任意大于1的正方形数$k^2$，等于相邻两个三角形数$T_{k-1}$与$T_k$之和。解题时需先判断选项中的数是否为正方形数，再验证其是否等于对应相邻三角形数的和。
【解析】1. 确定公式：三角形数通项$T_n=\frac{n(n+1)}{2}$，正方形数$k^2=T_{k-1}+T_k$；
2. 逐一分析选项：
A选项：13不是平方数，不符合正方形数定义，排除；
B选项：25是$5^2$，对应需计算$T_4=\frac{4×5}{2}=10$、$T_5=\frac{5×6}{2}=15$，和为$10+15=25$，但选项中是$9+16$，9和16非相邻三角形数，排除；
C选项：36是$6^2$，对应计算$T_5=\frac{5×6}{2}=15$、$T_6=\frac{6×7}{2}=21$，和为$15+21=36$，符合规律；
D选项：49是$7^2$，对应计算$T_6=\frac{6×7}{2}=21$、$T_7=\frac{7×8}{2}=28$，和为$21+28=49$，选项中是$18+31$，非相邻三角形数，排除。
【答案】C
【知识点】三角形数、正方形数、规律探究
【点评】本题属于规律探究类基础题，核心是掌握三角形数的通项公式，通过验证选项即可得出答案，需明确正方形数与相邻三角形数的对应关系。
【难度系数】0.5
【解析】1. 确定公式：三角形数通项$T_n=\frac{n(n+1)}{2}$，正方形数$k^2=T_{k-1}+T_k$；
2. 逐一分析选项：
A选项：13不是平方数，不符合正方形数定义，排除；
B选项：25是$5^2$，对应需计算$T_4=\frac{4×5}{2}=10$、$T_5=\frac{5×6}{2}=15$，和为$10+15=25$，但选项中是$9+16$，9和16非相邻三角形数，排除；
C选项：36是$6^2$，对应计算$T_5=\frac{5×6}{2}=15$、$T_6=\frac{6×7}{2}=21$，和为$15+21=36$，符合规律；
D选项：49是$7^2$，对应计算$T_6=\frac{6×7}{2}=21$、$T_7=\frac{7×8}{2}=28$，和为$21+28=49$，选项中是$18+31$，非相邻三角形数，排除。
【答案】C
【知识点】三角形数、正方形数、规律探究
【点评】本题属于规律探究类基础题，核心是掌握三角形数的通项公式，通过验证选项即可得出答案，需明确正方形数与相邻三角形数的对应关系。
【难度系数】0.5
1. 截至2024年底，某大型集团有职工二十万六千五百二十一人，横线上的数写作（
206521
）。该集团2024年销售总额达24680000000元，横线上的数用四舍五入法省略到亿位，是（247
）亿。答案
1. 206521 247
解析
【分析】
本题分为两个小问题，第一个是将汉字表示的数转换为阿拉伯数字，需明确数位顺序对应写数；第二个是用四舍五入法省略亿位后的尾数求近似数，需找到千万位上的数字判断是否进位。
【解析】
1. 写数：“二十万六千五百二十一”的最高位是十万位，对应数位依次为：十万位2、万位0、千位6、百位5、十位2、个位1，因此写作206521。
2. 四舍五入到亿位：24680000000的亿位是6，千万位是8，因为8＞5，需向亿位进1，所以246+1=247，即省略到亿位是247亿。
【答案】
206521；247
【知识点】
数的写法、四舍五入求近似数
【点评】
本题考查整数的写法和近似数的求法，属于基础题型，核心是掌握数位对应关系和四舍五入规则，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题分为两个小问题，第一个是将汉字表示的数转换为阿拉伯数字，需明确数位顺序对应写数；第二个是用四舍五入法省略亿位后的尾数求近似数，需找到千万位上的数字判断是否进位。
【解析】
1. 写数：“二十万六千五百二十一”的最高位是十万位，对应数位依次为：十万位2、万位0、千位6、百位5、十位2、个位1，因此写作206521。
2. 四舍五入到亿位：24680000000的亿位是6，千万位是8，因为8＞5，需向亿位进1，所以246+1=247，即省略到亿位是247亿。
【答案】
206521；247
【知识点】
数的写法、四舍五入求近似数
【点评】
本题考查整数的写法和近似数的求法，属于基础题型，核心是掌握数位对应关系和四舍五入规则，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 在$\frac{1}{7}$、0.17、$\frac{4}{25}$和15%中，最大的数是（$\quad\quad$），最小的数是（$\quad\quad$）。
答案
2. 0.17 $\frac{1}{7}$
解析
【分析】
要比较不同形式的数（分数、小数、百分数）的大小，需先将它们统一转化为同一类数（通常转化为小数），再根据小数大小比较的方法（从高位到低位依次比较）判断，即可找出最大和最小的数。
【解析】
1. 将各数转化为小数：
$\frac{1}{7} \approx 0.1429$
$\frac{4}{25} = 0.16$
$15\% = 0.15$
原数0.17保持不变。
2. 比较小数大小：$0.17 ＞ 0.16 ＞ 0.15 ＞ 0.1429$，即$0.17 ＞ \frac{4}{25} ＞ 15\% ＞ \frac{1}{7}$。
【答案】
0.17；$\frac{1}{7}$
【知识点】
分数、小数、百分数的互化，小数大小比较
【点评】
本题是不同类型数的大小比较基础题，核心是掌握数的互化方法，通过统一形式简化比较过程，适合巩固数的转化与大小比较的基础知识点。
【难度系数】
0.7
要比较不同形式的数（分数、小数、百分数）的大小，需先将它们统一转化为同一类数（通常转化为小数），再根据小数大小比较的方法（从高位到低位依次比较）判断，即可找出最大和最小的数。
【解析】
1. 将各数转化为小数：
$\frac{1}{7} \approx 0.1429$
$\frac{4}{25} = 0.16$
$15\% = 0.15$
原数0.17保持不变。
2. 比较小数大小：$0.17 ＞ 0.16 ＞ 0.15 ＞ 0.1429$，即$0.17 ＞ \frac{4}{25} ＞ 15\% ＞ \frac{1}{7}$。
【答案】
0.17；$\frac{1}{7}$
【知识点】
分数、小数、百分数的互化，小数大小比较
【点评】
本题是不同类型数的大小比较基础题，核心是掌握数的互化方法，通过统一形式简化比较过程，适合巩固数的转化与大小比较的基础知识点。
【难度系数】
0.7
3. 有3个真分数：$\frac{a}{50}$，$\frac{b}{34}$，$\frac{c}{19}$。在这3个数中，（
$\frac{c}{19}$
）一定是最简真分数，（$\frac{a}{50}$
）一定能化成有限小数。答案
3. $\frac{c}{19}$ $\frac{a}{50}$
解析
【分析】
要解决这道题，需明确两个核心知识点：1. 最简真分数的定义：分子小于分母，且分子与分母互质（最大公因数为1）；2. 分数能化成有限小数的条件：最简分数的分母分解质因数后仅含2和5，不含其他质因数。
首先分析“一定是最简真分数”：三个分数均为真分数，故分子分别小于分母（a＜50，b＜34，c＜19）。对于$\frac{c}{19}$，分母19是质数，比19小的正整数c与19的最大公因数只能是1，因此$\frac{c}{19}$一定是最简真分数；而$\frac{a}{50}$中a可能与50有公因数（如a=10时，$\frac{10}{50}$非最简），$\frac{b}{34}$中b可能与34有公因数（如b=17时，$\frac{17}{34}$非最简），故仅$\frac{c}{19}$一定是最简真分数。
再分析“一定能化成有限小数”：$\frac{a}{50}$的分母50分解质因数为$2×5^2$，仅含质因数2和5，无论a取何值（真分数），该分数化简后分母的质因数仍只有2和5，因此一定能化成有限小数；$\frac{b}{34}$的分母含质因数17，$\frac{c}{19}$的分母是质数，均可能无法化成有限小数，故$\frac{a}{50}$一定能化成有限小数。
【解析】
根据最简真分数和分数化有限小数的条件逐一判断：
1. 最简真分数判断：
$\frac{c}{19}$：分母19为质数，真分数中分子c＜19，c与19互质，因此一定是最简真分数；
$\frac{a}{50}$：a可能与50存在公因数，不一定是最简真分数；
$\frac{b}{34}$：b可能与34存在公因数，不一定是最简真分数。
2. 分数化有限小数判断：
$\frac{a}{50}$：分母50=2×5²，仅含质因数2和5，无论a取何值，该分数一定能化成有限小数；
$\frac{b}{34}$：分母34=2×17，含质因数17，不一定能化成有限小数；
$\frac{c}{19}$：分母19为质数，不一定能化成有限小数。
【答案】
$\frac{c}{19}$ $\frac{a}{50}$
【知识点】
最简真分数、分数化有限小数
【点评】
本题考查最简真分数的定义及分数化有限小数的判断条件，需准确掌握相关概念，通过分析分子分母的互质关系和分母的质因数组成解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需明确两个核心知识点：1. 最简真分数的定义：分子小于分母，且分子与分母互质（最大公因数为1）；2. 分数能化成有限小数的条件：最简分数的分母分解质因数后仅含2和5，不含其他质因数。
首先分析“一定是最简真分数”：三个分数均为真分数，故分子分别小于分母（a＜50，b＜34，c＜19）。对于$\frac{c}{19}$，分母19是质数，比19小的正整数c与19的最大公因数只能是1，因此$\frac{c}{19}$一定是最简真分数；而$\frac{a}{50}$中a可能与50有公因数（如a=10时，$\frac{10}{50}$非最简），$\frac{b}{34}$中b可能与34有公因数（如b=17时，$\frac{17}{34}$非最简），故仅$\frac{c}{19}$一定是最简真分数。
再分析“一定能化成有限小数”：$\frac{a}{50}$的分母50分解质因数为$2×5^2$，仅含质因数2和5，无论a取何值（真分数），该分数化简后分母的质因数仍只有2和5，因此一定能化成有限小数；$\frac{b}{34}$的分母含质因数17，$\frac{c}{19}$的分母是质数，均可能无法化成有限小数，故$\frac{a}{50}$一定能化成有限小数。
【解析】
根据最简真分数和分数化有限小数的条件逐一判断：
1. 最简真分数判断：
$\frac{c}{19}$：分母19为质数，真分数中分子c＜19，c与19互质，因此一定是最简真分数；
$\frac{a}{50}$：a可能与50存在公因数，不一定是最简真分数；
$\frac{b}{34}$：b可能与34存在公因数，不一定是最简真分数。
2. 分数化有限小数判断：
$\frac{a}{50}$：分母50=2×5²，仅含质因数2和5，无论a取何值，该分数一定能化成有限小数；
$\frac{b}{34}$：分母34=2×17，含质因数17，不一定能化成有限小数；
$\frac{c}{19}$：分母19为质数，不一定能化成有限小数。
【答案】
$\frac{c}{19}$ $\frac{a}{50}$
【知识点】
最简真分数、分数化有限小数
【点评】
本题考查最简真分数的定义及分数化有限小数的判断条件，需准确掌握相关概念，通过分析分子分母的互质关系和分母的质因数组成解题，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
4. 有两根2 m长的绳子，第一根剪去了全长的$\frac{4}{7}$，第二根剪去了$\frac{1}{7}$ m。第一根绳子还剩全长的（$\quad$），第二根绳子还剩（$\quad$）m。
答案
4. $\frac{3}{7}$ $1\frac{6}{7}$
解析
【分析】
首先明确两个问题的差异：第一个空求第一根绳子剩下全长的分率，需把全长看作单位“1”，用单位“1”减去剪去的分率；第二个空求第二根绳子剩下的具体长度，用全长减去剪去的具体长度，关键是区分分率和具体数量的不同。
【解析】
1. 第一根绳子剩下全长的分率：将第一根绳子全长视为单位“1”，剪去全长的$\frac{4}{7}$，则剩下的分率为 $1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$；
2. 第二根绳子剩下的长度：第二根绳子全长2米，剪去$\frac{1}{7}$米，剩下的长度为 $2 - \frac{1}{7} = \frac{14}{7} - \frac{1}{7} = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7}$（米）。
【答案】
$\frac{3}{7}$；$1\frac{6}{7}$
【知识点】
分数的意义，分数减法
【点评】
本题考查分数的两种意义（分率与具体数量），需明确两者的区别，避免计算混淆，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
首先明确两个问题的差异：第一个空求第一根绳子剩下全长的分率，需把全长看作单位“1”，用单位“1”减去剪去的分率；第二个空求第二根绳子剩下的具体长度，用全长减去剪去的具体长度，关键是区分分率和具体数量的不同。
【解析】
1. 第一根绳子剩下全长的分率：将第一根绳子全长视为单位“1”，剪去全长的$\frac{4}{7}$，则剩下的分率为 $1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$；
2. 第二根绳子剩下的长度：第二根绳子全长2米，剪去$\frac{1}{7}$米，剩下的长度为 $2 - \frac{1}{7} = \frac{14}{7} - \frac{1}{7} = \frac{13}{7} = 1\frac{6}{7}$（米）。
【答案】
$\frac{3}{7}$；$1\frac{6}{7}$
【知识点】
分数的意义，分数减法
【点评】
本题考查分数的两种意义（分率与具体数量），需明确两者的区别，避免计算混淆，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
5. 建设路小学举行足球赛，有4支球队参加。如果每2支球队比赛一场，一共要比赛（
6
）场。答案
5. 6
解析
【分析】这道题是组合类实际问题，每2支球队比赛一场时，A队与B队的比赛和B队与A队的比赛是同一场，不需要重复计算，因此需要计算从4支球队中选取2支的组合数，避免重复计数。
【解析】计算单循环赛（每两队赛一场）总场次的公式为：总场次 = 球队数×(球队数-1)÷2。本题中球队数为4，代入公式得：4×(4-1)÷2 = 4×3÷2 = 6（场）。
【答案】6
【知识点】组合问题、搭配问题
【点评】本题结合足球赛场景考查组合知识的应用，核心是理解“每2支比赛一场”的不重复性，属于小学阶段的基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】计算单循环赛（每两队赛一场）总场次的公式为：总场次 = 球队数×(球队数-1)÷2。本题中球队数为4，代入公式得：4×(4-1)÷2 = 4×3÷2 = 6（场）。
【答案】6
【知识点】组合问题、搭配问题
【点评】本题结合足球赛场景考查组合知识的应用，核心是理解“每2支比赛一场”的不重复性，属于小学阶段的基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.7
6. 某影片首映式共发放 300 张电影票，电影票序号从 001 到 300，观影后有一个抽奖环节，获奖者是“电影票序号后两位为 18”的观众，那么观众中奖率为（
1%
）。（填百分数）答案
6. 1%
解析
【分析】首先明确中奖条件为电影票序号后两位是18，需先找出符合该条件的电影票数量，再根据“中奖率=中奖票数÷总票数×100%”的公式计算中奖率。具体步骤：1. 确定总票数为300张；2. 找出序号后两位是18的票；3. 代入公式计算结果。
【解析】总票数为300张，在001到300中，序号后两位为18的电影票有018、118、218，共3张。根据中奖率公式：中奖率=（中奖票数÷总票数）×100%，代入数据得：(3÷300)×100% = 1%。
【答案】1%
【知识点】百分数的应用、概率初步
【点评】本题是基础的百分数应用题型，核心是准确找出符合中奖条件的票数，利用公式计算即可，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.8
【解析】总票数为300张，在001到300中，序号后两位为18的电影票有018、118、218，共3张。根据中奖率公式：中奖率=（中奖票数÷总票数）×100%，代入数据得：(3÷300)×100% = 1%。
【答案】1%
【知识点】百分数的应用、概率初步
【点评】本题是基础的百分数应用题型，核心是准确找出符合中奖条件的票数，利用公式计算即可，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.8
