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5. 一个高速公路检查站$\frac{3}{5}$小时可以检查60辆车，平均每小时能检查几辆车？小明画图并列式计算如右图所示，算式中的$60×\frac{1}{3}$表示的是（）。
A.$\frac{1}{5}$小时检查的车辆数
B.$\frac{1}{3}$小时检查的车辆数
C.$\frac{3}{5}$小时检查的车辆数
D.1小时检查的车辆数
A.$\frac{1}{5}$小时检查的车辆数
B.$\frac{1}{3}$小时检查的车辆数
C.$\frac{3}{5}$小时检查的车辆数
D.1小时检查的车辆数
答案
5. A
解析
【分析】
要明确算式中$60×\frac{1}{3}$的意义，需结合题目中时间与车辆数的对应关系：已知$\frac{3}{5}$小时检查60辆车，将$\frac{3}{5}$小时平均分成3份，每份对应的时间是$\frac{3}{5}÷3=\frac{1}{5}$小时，对应的车辆数就是60的$\frac{1}{3}$，即$60×\frac{1}{3}$，因此该式表示$\frac{1}{5}$小时检查的车辆数。
【解析】
已知$\frac{3}{5}$小时检查60辆车，把$\frac{3}{5}$小时看作单位“1”，平均分成3份，每份是$\frac{3}{5}$小时的$\frac{1}{3}$，对应的时间为$\frac{3}{5}×\frac{1}{3}=\frac{1}{5}$小时，对应的车辆数就是60的$\frac{1}{3}$，即$60×\frac{1}{3}$，所以该式表示$\frac{1}{5}$小时检查的车辆数，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分数乘法的意义、分数除法的应用
【点评】
本题结合实际场景考查分数运算的意义，核心是理解“时间平均分”与“车辆数对应分率”的关系，通过拆分时间找到对应车辆数，难度适中。
【难度系数】
0.5
要明确算式中$60×\frac{1}{3}$的意义，需结合题目中时间与车辆数的对应关系：已知$\frac{3}{5}$小时检查60辆车，将$\frac{3}{5}$小时平均分成3份，每份对应的时间是$\frac{3}{5}÷3=\frac{1}{5}$小时，对应的车辆数就是60的$\frac{1}{3}$，即$60×\frac{1}{3}$，因此该式表示$\frac{1}{5}$小时检查的车辆数。
【解析】
已知$\frac{3}{5}$小时检查60辆车，把$\frac{3}{5}$小时看作单位“1”，平均分成3份，每份是$\frac{3}{5}$小时的$\frac{1}{3}$，对应的时间为$\frac{3}{5}×\frac{1}{3}=\frac{1}{5}$小时，对应的车辆数就是60的$\frac{1}{3}$，即$60×\frac{1}{3}$，所以该式表示$\frac{1}{5}$小时检查的车辆数，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分数乘法的意义、分数除法的应用
【点评】
本题结合实际场景考查分数运算的意义，核心是理解“时间平均分”与“车辆数对应分率”的关系，通过拆分时间找到对应车辆数，难度适中。
【难度系数】
0.5
6. 如右图，三角形中a边上的高为b，c边上的高为d。根据这些信息，下列式子中（）不成立。
A.$a:c=d:b$
B.$a:c=b:d$
C.$\frac{a}{d}=\frac{c}{b}$
D.$\frac{b}{c}=\frac{d}{a}$
A.$a:c=d:b$
B.$a:c=b:d$
C.$\frac{a}{d}=\frac{c}{b}$
D.$\frac{b}{c}=\frac{d}{a}$
答案
6. B
解析
【分析】
首先，三角形的面积公式为：面积 = $\frac{1}{2}$×底×高。本题中，以a为底时对应的高是b，以c为底时对应的高是d，两种方式计算的三角形面积相等，据此可得到等式$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}cd$，化简后为$ab=cd$。再根据比例的基本性质（比例中两个外项的积等于两个内项的积），将各选项的比例式转化为乘积形式，与$ab=cd$对比，即可判断式子是否成立。
【解析】
根据三角形面积相等，推导得：
$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}cd$，两边同乘2，得 $ab=cd$。
对各选项逐一分析：
选项A：$a:c=d:b$，根据比例性质，外项积为$a×b$，内项积为$c×d$，即$ab=cd$，与推导结果一致，成立；
选项B：$a:c=b:d$，外项积为$a×d$，内项积为$c×b$，即$ad=bc$，与推导结果$ab=cd$不符，不成立；
选项C：$\frac{a}{d}=\frac{c}{b}$，交叉相乘得$ab=cd$，与推导结果一致，成立；
选项D：$\frac{b}{c}=\frac{d}{a}$，交叉相乘得$ab=cd$，与推导结果一致，成立。
综上，不成立的式子是选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积、比例的基本性质
【点评】
本题结合三角形面积公式和比例的基本性质解题，核心是利用面积相等得到底与对应高的乘积关系，再转化为比例式，考查学生对基础公式和比例性质的应用能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
首先，三角形的面积公式为：面积 = $\frac{1}{2}$×底×高。本题中，以a为底时对应的高是b，以c为底时对应的高是d，两种方式计算的三角形面积相等，据此可得到等式$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}cd$，化简后为$ab=cd$。再根据比例的基本性质（比例中两个外项的积等于两个内项的积），将各选项的比例式转化为乘积形式，与$ab=cd$对比，即可判断式子是否成立。
【解析】
根据三角形面积相等，推导得：
$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}cd$，两边同乘2，得 $ab=cd$。
对各选项逐一分析：
选项A：$a:c=d:b$，根据比例性质，外项积为$a×b$，内项积为$c×d$，即$ab=cd$，与推导结果一致，成立；
选项B：$a:c=b:d$，外项积为$a×d$，内项积为$c×b$，即$ad=bc$，与推导结果$ab=cd$不符，不成立；
选项C：$\frac{a}{d}=\frac{c}{b}$，交叉相乘得$ab=cd$，与推导结果一致，成立；
选项D：$\frac{b}{c}=\frac{d}{a}$，交叉相乘得$ab=cd$，与推导结果一致，成立。
综上，不成立的式子是选项B。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积、比例的基本性质
【点评】
本题结合三角形面积公式和比例的基本性质解题，核心是利用面积相等得到底与对应高的乘积关系，再转化为比例式，考查学生对基础公式和比例性质的应用能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
7. 考古学家常常利用文物中“碳－14”（一种元素）的含量来测定文物的年份。“碳－14”测年法的依据是：生物死亡后，其“碳－14”的含量大概每过5730年会减少到原来的一半。河南贾湖骨笛已有约 9000 年的历史，骨笛中现在的“碳－14”含量与制造时“碳－14”含量的比值最可能在以下（）所示范围内。
A.$\frac{2}{3} ∼ 1$
B.$\frac{1}{4} ∼ \frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{8} ∼ \frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{16} ∼ \frac{1}{8}$
A.$\frac{2}{3} ∼ 1$
B.$\frac{1}{4} ∼ \frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{8} ∼ \frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{16} ∼ \frac{1}{8}$
答案
7. B
解析
【分析】首先明确碳-14的半衰期为5730年，即每经过5730年，其含量减少为原来的一半。先计算9000年包含的半衰期个数，判断剩余含量的区间，再匹配选项。
【解析】碳-14每5730年含量减半，即半衰期为5730年。计算9000年对应的半衰期数量：9000÷5730≈1.57，可知9000年处于1个半衰期（5730年）和2个半衰期（5730×2=11460年）之间。经过1个半衰期后，剩余含量为原来的$\frac{1}{2}$；经过2个半衰期后，剩余含量为原来的$\frac{1}{4}$。因此，9000年后碳-14的剩余含量在$\frac{1}{4} ∼ \frac{1}{2}$范围内，对应选项B。
【答案】B
【知识点】半衰期计算、指数衰减应用
【点评】本题结合实际场景考查指数衰减的简单应用，核心是理解半衰期的含义，通过计算时间对应的半衰期个数确定含量范围，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】碳-14每5730年含量减半，即半衰期为5730年。计算9000年对应的半衰期数量：9000÷5730≈1.57，可知9000年处于1个半衰期（5730年）和2个半衰期（5730×2=11460年）之间。经过1个半衰期后，剩余含量为原来的$\frac{1}{2}$；经过2个半衰期后，剩余含量为原来的$\frac{1}{4}$。因此，9000年后碳-14的剩余含量在$\frac{1}{4} ∼ \frac{1}{2}$范围内，对应选项B。
【答案】B
【知识点】半衰期计算、指数衰减应用
【点评】本题结合实际场景考查指数衰减的简单应用，核心是理解半衰期的含义，通过计算时间对应的半衰期个数确定含量范围，难度适中。
【难度系数】0.5
8. 如图，圆锥容器和长方体容器等底等高。圆锥容器里装满水，现将水全部倒入长方体容器中。下列表示倒入水后长方体容器中的水位正确的是（）。
A.
A.
答案
8. C
解析
【分析】
要解决该问题，需结合圆锥和长方体的体积公式，利用“等底等高”的条件推导水在长方体中的高度，再匹配对应选项。首先明确：圆锥体积公式为$ V_{锥}=\frac{1}{3}Sh $，长方体体积公式为$ V_{长}=Sh $（$ S $为底面积，$ h $为高）；题目中圆锥与长方体等底等高，因此圆锥体积是长方体体积的$\frac{1}{3}$，将圆锥内的水全部倒入长方体后，水的体积等于圆锥体积，故水在长方体中的高度为长方体总高度的$\frac{1}{3}$，据此判断选项。
【解析】
设圆锥和长方体的底面积为$ S $，高为$ h $：
1. 圆锥体积（即水的体积）：$ V_{水}=V_{锥}=\frac{1}{3}Sh $；
2. 设水在长方体中的高度为$ h_{水} $，长方体底面积为$ S $，则水的体积也可表示为$ V_{水}=S· h_{水} $；
3. 联立两式得：$ S· h_{水}=\frac{1}{3}Sh $，约去$ S $后解得$ h_{水}=\frac{1}{3}h $，即水位在长方体高度的$\frac{1}{3}$处；
4. 观察选项，只有C选项的阴影部分（水位）位于长方体高度的$\frac{1}{3}$位置，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
圆锥体积、长方体体积
【点评】
本题考查圆锥与长方体体积的关系，核心是利用“等底等高时圆锥体积为长方体体积的$\frac{1}{3}$”推导水位高度，属于基础几何体积应用题型，需牢记体积公式即可解题。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需结合圆锥和长方体的体积公式，利用“等底等高”的条件推导水在长方体中的高度，再匹配对应选项。首先明确：圆锥体积公式为$ V_{锥}=\frac{1}{3}Sh $，长方体体积公式为$ V_{长}=Sh $（$ S $为底面积，$ h $为高）；题目中圆锥与长方体等底等高，因此圆锥体积是长方体体积的$\frac{1}{3}$，将圆锥内的水全部倒入长方体后，水的体积等于圆锥体积，故水在长方体中的高度为长方体总高度的$\frac{1}{3}$，据此判断选项。
【解析】
设圆锥和长方体的底面积为$ S $，高为$ h $：
1. 圆锥体积（即水的体积）：$ V_{水}=V_{锥}=\frac{1}{3}Sh $；
2. 设水在长方体中的高度为$ h_{水} $，长方体底面积为$ S $，则水的体积也可表示为$ V_{水}=S· h_{水} $；
3. 联立两式得：$ S· h_{水}=\frac{1}{3}Sh $，约去$ S $后解得$ h_{水}=\frac{1}{3}h $，即水位在长方体高度的$\frac{1}{3}$处；
4. 观察选项，只有C选项的阴影部分（水位）位于长方体高度的$\frac{1}{3}$位置，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
圆锥体积、长方体体积
【点评】
本题考查圆锥与长方体体积的关系，核心是利用“等底等高时圆锥体积为长方体体积的$\frac{1}{3}$”推导水位高度，属于基础几何体积应用题型，需牢记体积公式即可解题。
【难度系数】
0.5
三、判断题。（正确的打“√”，错误的打“×”，每题1分，共5分）
1. 28名同学在操场上手拉手围成一个正方形，正方形的面积大约是1公顷。 （）
2. $69□÷□4$，商是两位数的可能性比商是一位数的可能性大。 （）
1. 28名同学在操场上手拉手围成一个正方形，正方形的面积大约是1公顷。 （）
2. $69□÷□4$，商是两位数的可能性比商是一位数的可能性大。 （）
答案
1. × 2. √
解析
【分析】
先分析第1题：需先明确1公顷的实际大小，再估算28名同学手拉手围成正方形的面积，对比判断。28人围正方形，每条边人数约为28÷4=7人，结合同学手臂展开长度的常识估算边长，进而计算面积，与1公顷（10000平方米）对比。
再分析第2题：判断商的位数需比较被除数前两位与除数的大小，再分类列举除数的可能情况，统计商是两位数和一位数的情况数，比较可能性大小。
【解析】
1. 首先，1公顷=10000平方米。28名同学围成正方形，每条边人数约为28÷4=7人，假设每个同学手臂展开长度约1.5米，每条边的间隔数为7-1=6，因此正方形边长≈6×1.5=9米，面积≈9×9=81平方米，远小于1公顷，故该题错误，打“×”。
2. 对于算式69□÷□4，除数是两位数，商的位数由被除数前两位（69）与除数的大小决定：当除数＜69时，商是两位数；当除数≥69时，商是一位数。除数的十位数字□可取1~9（两位数最高位不能为0），其中□=1、2、3、4、5、6时，除数分别为14、24、34、44、54、64，均小于69，共6种情况；□=7、8、9时，除数为74、84、94，均≥69，共3种情况。因此商是两位数的可能性更大，该题正确，打“√”。
【答案】
1. × 2. √
【知识点】
面积单位换算；除法中商的位数判断；可能性大小比较
【点评】
本题结合实际场景考查面积估算，同时涉及除法中商的位数判断和可能性大小的分类讨论，需掌握基础单位换算和除法规则，难度适中。
【难度系数】
0.5
先分析第1题：需先明确1公顷的实际大小，再估算28名同学手拉手围成正方形的面积，对比判断。28人围正方形，每条边人数约为28÷4=7人，结合同学手臂展开长度的常识估算边长，进而计算面积，与1公顷（10000平方米）对比。
再分析第2题：判断商的位数需比较被除数前两位与除数的大小，再分类列举除数的可能情况，统计商是两位数和一位数的情况数，比较可能性大小。
【解析】
1. 首先，1公顷=10000平方米。28名同学围成正方形，每条边人数约为28÷4=7人，假设每个同学手臂展开长度约1.5米，每条边的间隔数为7-1=6，因此正方形边长≈6×1.5=9米，面积≈9×9=81平方米，远小于1公顷，故该题错误，打“×”。
2. 对于算式69□÷□4，除数是两位数，商的位数由被除数前两位（69）与除数的大小决定：当除数＜69时，商是两位数；当除数≥69时，商是一位数。除数的十位数字□可取1~9（两位数最高位不能为0），其中□=1、2、3、4、5、6时，除数分别为14、24、34、44、54、64，均小于69，共6种情况；□=7、8、9时，除数为74、84、94，均≥69，共3种情况。因此商是两位数的可能性更大，该题正确，打“√”。
【答案】
1. × 2. √
【知识点】
面积单位换算；除法中商的位数判断；可能性大小比较
【点评】
本题结合实际场景考查面积估算，同时涉及除法中商的位数判断和可能性大小的分类讨论，需掌握基础单位换算和除法规则，难度适中。
【难度系数】
0.5
