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1. 用配方法解方程$2x^{2}-\dfrac{4}{3}x-2=0$，应把它先变形为（
A.$(x-\dfrac{1}{3})^{2}=\dfrac{8}{9}$
B.$(x-\dfrac{2}{3})^{2}=0$
C.$(x-\dfrac{2}{3})^{2}=\dfrac{8}{9}$
D.$(x-\dfrac{1}{3})^{2}=\dfrac{10}{9}$
D
）A.$(x-\dfrac{1}{3})^{2}=\dfrac{8}{9}$
B.$(x-\dfrac{2}{3})^{2}=0$
C.$(x-\dfrac{2}{3})^{2}=\dfrac{8}{9}$
D.$(x-\dfrac{1}{3})^{2}=\dfrac{10}{9}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的变形，解题思路是严格按照配方法的操作步骤逐步推导：第一步先将方程的二次项系数化为1，也就是给方程两边同时除以二次项系数2；第二步将常数项移到等号右侧；第三步在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，合并右侧的常数项后即可得到目标变形结果，再和选项比对选出正确答案。
【解析】
解：对于原方程$2x^{2}-\dfrac{4}{3}x-2=0$，按配方法步骤变形：
1. 方程两边同时除以二次项系数2，将二次项系数化为1：
$$x^{2}-\dfrac{2}{3}x - 1 = 0$2. 移项，把常数项移到等号右侧： $$x^{2}-\dfrac{2}{3}x = 1$
3. 配方：一次项系数为$-\dfrac{2}{3}$，它的一半的平方为$(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，给等号两边同时加上$\dfrac{1}{9}$：
$$x^{2}-\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{9} = 1 + \dfrac{1}{9}$4. 左侧整理为完全平方式，右侧合并同类项： $$(x-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{10}{9}$
因此变形结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解方程，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础题型，易错点集中在两个地方：一是化二次项系数为1时，容易漏除常数项、算错一次项系数，二是配方时记错需要添加的常数项，不少同学会误选A选项，解题时不要跳步，严格按配方法的流程运算即可避免错误。
【难度系数】
0.7
本题考查配方法解一元二次方程的变形，解题思路是严格按照配方法的操作步骤逐步推导：第一步先将方程的二次项系数化为1，也就是给方程两边同时除以二次项系数2；第二步将常数项移到等号右侧；第三步在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，合并右侧的常数项后即可得到目标变形结果，再和选项比对选出正确答案。
【解析】
解：对于原方程$2x^{2}-\dfrac{4}{3}x-2=0$，按配方法步骤变形：
1. 方程两边同时除以二次项系数2，将二次项系数化为1：
$$x^{2}-\dfrac{2}{3}x - 1 = 0$2. 移项，把常数项移到等号右侧： $$x^{2}-\dfrac{2}{3}x = 1$
3. 配方：一次项系数为$-\dfrac{2}{3}$，它的一半的平方为$(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，给等号两边同时加上$\dfrac{1}{9}$：
$$x^{2}-\dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{9} = 1 + \dfrac{1}{9}$4. 左侧整理为完全平方式，右侧合并同类项： $$(x-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{10}{9}$
因此变形结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解方程，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础题型，易错点集中在两个地方：一是化二次项系数为1时，容易漏除常数项、算错一次项系数，二是配方时记错需要添加的常数项，不少同学会误选A选项，解题时不要跳步，严格按配方法的流程运算即可避免错误。
【难度系数】
0.7
2. 在横线上填上适当的数，使下列等式成立：
(1)$-x^{2}+3x-\_\_\_\_\_\_=-(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$；(2)$\dfrac{1}{2}y^{2}-7y+\_\_\_\_\_\_=\dfrac{1}{2}(y-\_\_\_\_\_\_)^{2}$；
(3)$3x^{2}+2x-2=3(x+\_\_\_\_\_\_)^{2}+(\_\_\_\_\_\_).$
(1)$-x^{2}+3x-\_\_\_\_\_\_=-(x-\_\_\_\_\_\_)^{2}$；(2)$\dfrac{1}{2}y^{2}-7y+\_\_\_\_\_\_=\dfrac{1}{2}(y-\_\_\_\_\_\_)^{2}$；
(3)$3x^{2}+2x-2=3(x+\_\_\_\_\_\_)^{2}+(\_\_\_\_\_\_).$
答案
(1)$\frac{9}{4}$ $\frac{3}{2}$ (2)$\frac{49}{2}$ $7$ (3)$\frac{1}{3}$ $-\frac{7}{3}$
解析
【分析】
这道题考查二次三项式的配方运算，核心思路是利用完全平方公式的恒等变形求解。我们既可以把等式右侧的完全平方式展开，通过左右两侧对应项的系数相等建立关系计算，也可以直接按照配方法的标准步骤操作：①如果二次项系数不为1，先将二次项系数提取到括号外；②在括号内加上一次项系数一半的平方，凑出完全平方式；③再对多出来的常数项进行调整，保证等式左右两边恒等，就能依次算出各个空的数值。
【解析】
(1) 设两个空分别为$b$、$a$，将右侧展开：$-(x-a)^2 = -x^2 + 2a x - a^2$，和左侧$-x^2+3x - b$对比：
一次项系数对应得$2a=3$，解得$a=\frac{3}{2}$；
常数项对应得$b=a^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，因此两个空依次为$\frac{9}{4}$、$\frac{3}{2}$。
(2) 设两个空分别为$m$、$n$，将右侧展开：$\frac{1}{2}(y-n)^2=\frac{1}{2}y^2 -n y + \frac{1}{2}n^2$，和左侧$\frac{1}{2}y^2 -7y +m$对比：
一次项系数对应得$-n=-7$，即$n=7$；
常数项对应得$m=\frac{1}{2}n^2=\frac{1}{2}×49=\frac{49}{2}$，因此两个空依次为$\frac{49}{2}$、$7$。
(3) 对左侧式子逐步配方：
$3x^2+2x-2 = 3(x^2+\frac{2}{3}x)-2$
括号内凑完全平方，加上一次项系数一半的平方$(\frac{1}{3})^2$：
$=3[(x+\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}]-2$
展开整理：
$=3(x+\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} -2 = 3(x+\frac{1}{3})^2 -\frac{7}{3}$
因此两个空依次为$\frac{1}{3}$、$-\frac{7}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$；(2)$\frac{49}{2}$，$7$；(3)$\frac{1}{3}$，$-\frac{7}{3}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础专项训练，覆盖了二次项系数为1、不为1的不同配方场景，帮助学生夯实二次三项式配方的基本操作要点，为后续学习一元二次方程求解、二次函数顶点式变形等内容做好铺垫，解题时要注意提取二次项系数后，括号内新增的常数项需要和外层系数相乘，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查二次三项式的配方运算，核心思路是利用完全平方公式的恒等变形求解。我们既可以把等式右侧的完全平方式展开，通过左右两侧对应项的系数相等建立关系计算，也可以直接按照配方法的标准步骤操作：①如果二次项系数不为1，先将二次项系数提取到括号外；②在括号内加上一次项系数一半的平方，凑出完全平方式；③再对多出来的常数项进行调整，保证等式左右两边恒等，就能依次算出各个空的数值。
【解析】
(1) 设两个空分别为$b$、$a$，将右侧展开：$-(x-a)^2 = -x^2 + 2a x - a^2$，和左侧$-x^2+3x - b$对比：
一次项系数对应得$2a=3$，解得$a=\frac{3}{2}$；
常数项对应得$b=a^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，因此两个空依次为$\frac{9}{4}$、$\frac{3}{2}$。
(2) 设两个空分别为$m$、$n$，将右侧展开：$\frac{1}{2}(y-n)^2=\frac{1}{2}y^2 -n y + \frac{1}{2}n^2$，和左侧$\frac{1}{2}y^2 -7y +m$对比：
一次项系数对应得$-n=-7$，即$n=7$；
常数项对应得$m=\frac{1}{2}n^2=\frac{1}{2}×49=\frac{49}{2}$，因此两个空依次为$\frac{49}{2}$、$7$。
(3) 对左侧式子逐步配方：
$3x^2+2x-2 = 3(x^2+\frac{2}{3}x)-2$
括号内凑完全平方，加上一次项系数一半的平方$(\frac{1}{3})^2$：
$=3[(x+\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}]-2$
展开整理：
$=3(x+\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} -2 = 3(x+\frac{1}{3})^2 -\frac{7}{3}$
因此两个空依次为$\frac{1}{3}$、$-\frac{7}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{2}$；(2)$\frac{49}{2}$，$7$；(3)$\frac{1}{3}$，$-\frac{7}{3}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题是配方法的基础专项训练，覆盖了二次项系数为1、不为1的不同配方场景，帮助学生夯实二次三项式配方的基本操作要点，为后续学习一元二次方程求解、二次函数顶点式变形等内容做好铺垫，解题时要注意提取二次项系数后，括号内新增的常数项需要和外层系数相乘，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 把方程$2x^{2}+4x-1=0$配方后得$(x+m)^{2}=k$，则$m=$
1
，$k=$$\frac{3}{2}$
。答案
$1$ $\frac{3}{2}$
解析
【分析】
这道题需要把给定的一元二次方程配成指定的完全平方形式，我们可以按照配方法的标准步骤逐步推导：首先把原方程的常数项移到等号右侧，接着将二次项的系数化为1，也就是方程两边同时除以二次项系数，之后在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，整理后和给出的$(x+m)^2=k$的形式做对比，就能直接得到m和k的数值。
【解析】
解：对原方程$2x^2+4x-1=0$逐步配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$2x^2 + 4x = 1$
2. 方程两边同时除以二次项系数2，把二次项系数化为1：
$x^2 + 2x = \frac{1}{2}$
3. 等式两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即$1^2=1$，凑出完全平方式：
$x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$
4. 左侧用完全平方公式变形，右侧合并计算：
$(x+1)^2 = \frac{3}{2}$
将得到的式子和$(x+m)^2=k$对比，可得$m=1$，$k=\frac{3}{2}$。
【答案】
$1$；$\frac{3}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程配方的基础题型，核心考察配方法的常规操作流程，易错点是部分同学会忽略先将二次项系数化为1，直接对原方程的一次项系数取半平方，导致计算结果出错，严格遵循配方法的步骤即可顺利得到正确答案。
【难度系数】
0.8
这道题需要把给定的一元二次方程配成指定的完全平方形式，我们可以按照配方法的标准步骤逐步推导：首先把原方程的常数项移到等号右侧，接着将二次项的系数化为1，也就是方程两边同时除以二次项系数，之后在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧凑成完全平方式，整理后和给出的$(x+m)^2=k$的形式做对比，就能直接得到m和k的数值。
【解析】
解：对原方程$2x^2+4x-1=0$逐步配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：
$2x^2 + 4x = 1$
2. 方程两边同时除以二次项系数2，把二次项系数化为1：
$x^2 + 2x = \frac{1}{2}$
3. 等式两边同时加上一次项系数2的一半的平方，即$1^2=1$，凑出完全平方式：
$x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$
4. 左侧用完全平方公式变形，右侧合并计算：
$(x+1)^2 = \frac{3}{2}$
将得到的式子和$(x+m)^2=k$对比，可得$m=1$，$k=\frac{3}{2}$。
【答案】
$1$；$\frac{3}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是一元二次方程配方的基础题型，核心考察配方法的常规操作流程，易错点是部分同学会忽略先将二次项系数化为1，直接对原方程的一次项系数取半平方，导致计算结果出错，严格遵循配方法的步骤即可顺利得到正确答案。
【难度系数】
0.8
4. 用配方法解下列方程：
(1)$2x^{2}-4x+1=0$;
(2)$2x^{2}-5x=-1$;
(3)$\dfrac{1}{3}x^{2}+2x+1=0$;
(4)$-\dfrac{1}{4}x^{2}+6x-3=0$.
(1)$2x^{2}-4x+1=0$;
(2)$2x^{2}-5x=-1$;
(3)$\dfrac{1}{3}x^{2}+2x+1=0$;
(4)$-\dfrac{1}{4}x^{2}+6x-3=0$.
答案
(1)$x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2)$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
(3)$x_1=-3+\sqrt{6},x_2=-3-\sqrt{6}$
(4)$x_1=12+2\sqrt{33},x_2=12-2\sqrt{33}$
(2)$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
(3)$x_1=-3+\sqrt{6},x_2=-3-\sqrt{6}$
(4)$x_1=12+2\sqrt{33},x_2=12-2\sqrt{33}$
解析
【分析】
我们用配方法解一元二次方程的核心思路是把方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再直接开平方求解，通用步骤如下：①先将方程二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数；②移项，将常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在等号左侧；③配方，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧改写为完全平方式；④计算右侧常数项，若右侧非负则直接开平方，求解得到两个根。我们按照这个步骤依次处理4个方程即可。
【解析】
(1) 解方程$2x^2-4x+1=0$
将二次项系数化为1，两边同时除以2：
$x^2 - 2x + \frac{1}{2}=0$
移项得：$x^2 - 2x = -\frac{1}{2}$
配方，一次项系数为$-2$，其一半的平方为$1$，两边同时加1：
$x^2 - 2x + 1 = -\frac{1}{2} + 1$
整理得完全平方式：$(x-1)^2=\frac{1}{2}$
开平方：$x-1=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得：$x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) 解方程$2x^2-5x=-1$
将二次项系数化为1，两边同时除以2：
$x^2 - \frac{5}{2}x = -\frac{1}{2}$
配方，一次项系数为$-\frac{5}{2}$，其一半的平方为$\frac{25}{16}$，两边同时加$\frac{25}{16}$：
$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = -\frac{1}{2} + \frac{25}{16}$
整理得完全平方式：$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{17}{16}$
开平方：$x-\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$
解得：$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
(3) 解方程$\frac{1}{3}x^2+2x+1=0$
将二次项系数化为1，两边同时乘3：
$x^2 + 6x + 3 = 0$
移项得：$x^2 + 6x = -3$
配方，一次项系数为$6$，其一半的平方为$9$，两边同时加9：
$x^2 + 6x + 9 = -3 + 9$
整理得完全平方式：$(x+3)^2=6$
开平方：$x+3=\pm\sqrt{6}$
解得：$x_1=-3+\sqrt{6},x_2=-3-\sqrt{6}$
(4) 解方程$-\frac{1}{4}x^2+6x-3=0$
将二次项系数化为1，两边同时乘$-4$：
$x^2 - 24x + 12 = 0$
移项得：$x^2 - 24x = -12$
配方，一次项系数为$-24$，其一半的平方为$144$，两边同时加144：
$x^2 - 24x + 144 = -12 + 144$
整理得完全平方式：$(x-12)^2=132$
开平方：$x-12=\pm2\sqrt{33}$
解得：$x_1=12+2\sqrt{33},x_2=12-2\sqrt{33}$
【答案】
(1)$x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2)$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
(3)$x_1=-3+\sqrt{6},x_2=-3-\sqrt{6}$
(4)$x_1=12+2\sqrt{33},x_2=12-2\sqrt{33}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，涵盖了二次项系数为正整数、分数、负分数的不同题型，解题时要注意化二次项系数为1的运算准确性，配方时正确计算一次项系数一半的平方，开平方时不要遗漏正负号，是巩固配方法步骤的典型习题。
【难度系数】
0.7
我们用配方法解一元二次方程的核心思路是把方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再直接开平方求解，通用步骤如下：①先将方程二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数；②移项，将常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在等号左侧；③配方，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧改写为完全平方式；④计算右侧常数项，若右侧非负则直接开平方，求解得到两个根。我们按照这个步骤依次处理4个方程即可。
【解析】
(1) 解方程$2x^2-4x+1=0$
将二次项系数化为1，两边同时除以2：
$x^2 - 2x + \frac{1}{2}=0$
移项得：$x^2 - 2x = -\frac{1}{2}$
配方，一次项系数为$-2$，其一半的平方为$1$，两边同时加1：
$x^2 - 2x + 1 = -\frac{1}{2} + 1$
整理得完全平方式：$(x-1)^2=\frac{1}{2}$
开平方：$x-1=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$
解得：$x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2) 解方程$2x^2-5x=-1$
将二次项系数化为1，两边同时除以2：
$x^2 - \frac{5}{2}x = -\frac{1}{2}$
配方，一次项系数为$-\frac{5}{2}$，其一半的平方为$\frac{25}{16}$，两边同时加$\frac{25}{16}$：
$x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16} = -\frac{1}{2} + \frac{25}{16}$
整理得完全平方式：$(x-\frac{5}{4})^2=\frac{17}{16}$
开平方：$x-\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{17}}{4}$
解得：$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
(3) 解方程$\frac{1}{3}x^2+2x+1=0$
将二次项系数化为1，两边同时乘3：
$x^2 + 6x + 3 = 0$
移项得：$x^2 + 6x = -3$
配方，一次项系数为$6$，其一半的平方为$9$，两边同时加9：
$x^2 + 6x + 9 = -3 + 9$
整理得完全平方式：$(x+3)^2=6$
开平方：$x+3=\pm\sqrt{6}$
解得：$x_1=-3+\sqrt{6},x_2=-3-\sqrt{6}$
(4) 解方程$-\frac{1}{4}x^2+6x-3=0$
将二次项系数化为1，两边同时乘$-4$：
$x^2 - 24x + 12 = 0$
移项得：$x^2 - 24x = -12$
配方，一次项系数为$-24$，其一半的平方为$144$，两边同时加144：
$x^2 - 24x + 144 = -12 + 144$
整理得完全平方式：$(x-12)^2=132$
开平方：$x-12=\pm2\sqrt{33}$
解得：$x_1=12+2\sqrt{33},x_2=12-2\sqrt{33}$
【答案】
(1)$x_1=1-\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
(2)$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
(3)$x_1=-3+\sqrt{6},x_2=-3-\sqrt{6}$
(4)$x_1=12+2\sqrt{33},x_2=12-2\sqrt{33}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练题，涵盖了二次项系数为正整数、分数、负分数的不同题型，解题时要注意化二次项系数为1的运算准确性，配方时正确计算一次项系数一半的平方，开平方时不要遗漏正负号，是巩固配方法步骤的典型习题。
【难度系数】
0.7
5. 已知把方程$2x^{2}-6x+p=0$配方，得到$(x+m)^{2}=\dfrac{1}{2}.$
求:(1)常数$p$与$m$的值；
(2)此方程的解.
求:(1)常数$p$与$m$的值；
(2)此方程的解.
答案
解:(1)$\because (x+m)^2=\frac{1}{2},\therefore x^2+2mx+m^2=\frac{1}{2},$
$\therefore x^2+2mx+m^2-\frac{1}{2}=0,\therefore 2x^2+4mx+2m^2-1=0,$
$\therefore 4m=-6,2m^2-1=p$,解得$m=-\frac{3}{2},p=\frac{7}{2}.$
(2)由(1)得$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{1}{2},\therefore x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2},$
解得$x_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{2}}{2}.$
$\therefore x^2+2mx+m^2-\frac{1}{2}=0,\therefore 2x^2+4mx+2m^2-1=0,$
$\therefore 4m=-6,2m^2-1=p$,解得$m=-\frac{3}{2},p=\frac{7}{2}.$
(2)由(1)得$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{1}{2},\therefore x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2},$
解得$x_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{2}}{2}.$
解析
【分析】
这道题的核心思路是利用等价一元二次方程对应系数完全相等的性质求解参数，再用直接开平方法求方程的根。首先思考第一问：我们可以先把题目给出的配方后的方程展开、整理成和原方程$2x^2-6x+p=0$二次项系数相同的标准形式，让两个方程的一次项系数、常数项分别对应相等，就能列出关于m和p的方程，直接求解得到两个常数的值；也可以选择直接对原方程自主配方，得到的结果和题目给出的配方形式直接对比，同样能求出m和p。第二问直接利用已经完成配方的式子，左右同时开平方，注意保留正负号，移项就能得到方程的两个解。
【解析】
(1) 先将配方后的方程展开整理：
$\because (x+m)^2=\frac{1}{2}$，
$\therefore x^2+2mx+m^2=\frac{1}{2}$，
移项得$x^2+2mx+m^2-\frac{1}{2}=0$，
方程两边同时乘以2，将二次项系数化为和原方程一致的2，得：
$2x^2+4mx+2m^2-1=0$，
将该式和原方程$2x^2-6x+p=0$对比，对应项系数相等，可得：
一次项系数满足$4m=-6$，常数项满足$2m^2-1=p$，
解得$m=-\frac{3}{2}$，代入常数项等式得$p=2×(-\frac{3}{2})^2 -1=\frac{7}{2}$。
(2) 将$m=-\frac{3}{2}$代入配方后的方程，得：
$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{1}{2}$，
左右两边同时开平方，得$x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，
分别移项求解：
取正号时，$x_1=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3+\sqrt{2}}{2}$，
取负号时，$x_2=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $m=-\frac{3}{2}$，$p=\frac{7}{2}$；(2) 方程的解为$x_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
完全平方公式，一元二次方程配方，直接开平方法
【点评】
本题是配方法的基础应用题，难度较低，既可以通过展开配方式对比系数求解参数，也可以自主对原方程配方后直接对比得到结果，解题时注意开平方不要遗漏正负号，配方过程中二次项系数化为1的步骤不要出错，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
这道题的核心思路是利用等价一元二次方程对应系数完全相等的性质求解参数，再用直接开平方法求方程的根。首先思考第一问：我们可以先把题目给出的配方后的方程展开、整理成和原方程$2x^2-6x+p=0$二次项系数相同的标准形式，让两个方程的一次项系数、常数项分别对应相等，就能列出关于m和p的方程，直接求解得到两个常数的值；也可以选择直接对原方程自主配方，得到的结果和题目给出的配方形式直接对比，同样能求出m和p。第二问直接利用已经完成配方的式子，左右同时开平方，注意保留正负号，移项就能得到方程的两个解。
【解析】
(1) 先将配方后的方程展开整理：
$\because (x+m)^2=\frac{1}{2}$，
$\therefore x^2+2mx+m^2=\frac{1}{2}$，
移项得$x^2+2mx+m^2-\frac{1}{2}=0$，
方程两边同时乘以2，将二次项系数化为和原方程一致的2，得：
$2x^2+4mx+2m^2-1=0$，
将该式和原方程$2x^2-6x+p=0$对比，对应项系数相等，可得：
一次项系数满足$4m=-6$，常数项满足$2m^2-1=p$，
解得$m=-\frac{3}{2}$，代入常数项等式得$p=2×(-\frac{3}{2})^2 -1=\frac{7}{2}$。
(2) 将$m=-\frac{3}{2}$代入配方后的方程，得：
$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{1}{2}$，
左右两边同时开平方，得$x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$，
分别移项求解：
取正号时，$x_1=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3+\sqrt{2}}{2}$，
取负号时，$x_2=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1) $m=-\frac{3}{2}$，$p=\frac{7}{2}$；(2) 方程的解为$x_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
完全平方公式，一元二次方程配方，直接开平方法
【点评】
本题是配方法的基础应用题，难度较低，既可以通过展开配方式对比系数求解参数，也可以自主对原方程配方后直接对比得到结果，解题时注意开平方不要遗漏正负号，配方过程中二次项系数化为1的步骤不要出错，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
6. (2025·新吴区月考)关于$x$的一元二次方程的新定义:若关于$x$的一元二次方程:$a_1(x-m)^2+ n=0$与$a_2(x-m)^2+n=0$称为“同族二次方程”,如$2(x-3)^2+4=0$与$3(x-3)^2+4=0$就是“同族二次方程”.现有关于$x$的一元二次方程:$2(x-1)^2+1=0$与$(a+2)x^2+(b-4)x+8=0$是“同族二次方程”.那么代数式$ax^2+bx+2031$能取的最小值是（
A.2026
B.2023
C.2028
D.2025
A
）A.2026
B.2023
C.2028
D.2025
答案
A
解析
【分析】
首先先明确题目给出的“同族二次方程”的核心特征：两个一元二次方程写成顶点式$a_1(x-m)^2+n=0$和$a_2(x-m)^2+n=0$后，顶点对应的参数$m$和常数项$n$完全相同，仅二次项系数不同。解题思路分四步走：第一步，从已知的同族方程$2(x-1)^2+1=0$直接得到$m=1$，$n=1$，说明另一个同族方程的顶点式必然为$k(x-1)^2+1=0$（$k\ne0$）；第二步，将该顶点式展开为一般式，和题目给出的第二个方程的一般式做对比，对应系数相等，列出关于$a$、$b$的方程；第三步，解方程求出$a$和$b$的具体数值；第四步，将$a$、$b$代入目标代数式，通过配方法求二次多项式的最小值即可得到答案。
【解析】
解：根据“同族二次方程”的定义，方程$(a+2)x^2+(b-4)x+8=0$可写为：
$(a+2)(x-1)^2 + 1 = 0$
将上式展开整理：
$\begin{aligned}(a+2)(x^2-2x+1)+1&=0\\(a+2)x^2 -2(a+2)x + (a+2) +1&=0\\(a+2)x^2 -2(a+2)x +a+3&=0\end{aligned}$
将该式与已知的一般式$(a+2)x^2+(b-4)x+8=0$对比，对应系数相等：
1. 常数项相等：$a+3=8$，解得$a=5$
2. 一次项系数相等：$-2(a+2)=b-4$，把$a=5$代入得：$-2×7 = b-4$，解得$b=-10$
将$a=5$，$b=-10$代入代数式$ax^2+bx+2031$，得：
$5x^2 -10x +2031$
对该式配方求最小值：
$\begin{aligned}5x^2-10x+2031&=5(x^2-2x)+2031\\&=5(x^2-2x+1 -1)+2031\\&=5(x-1)^2 -5 +2031\\&=5(x-1)^2 +2026\end{aligned}$
由于二次项系数$5＞0$，因此当$x=1$时，该代数式取得最小值2026。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程顶点式，二次函数最值，新定义运算
【点评】
本题属于新定义结合二次函数的综合题，解题核心是透过定义抓住“同族二次方程”的本质：顶点式的$m$、$n$完全相同，通过一般式和顶点式的系数对应相等求出参数，再用配方法求二次多项式的最小值，整体思路清晰，只要准确理解新定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先先明确题目给出的“同族二次方程”的核心特征：两个一元二次方程写成顶点式$a_1(x-m)^2+n=0$和$a_2(x-m)^2+n=0$后，顶点对应的参数$m$和常数项$n$完全相同，仅二次项系数不同。解题思路分四步走：第一步，从已知的同族方程$2(x-1)^2+1=0$直接得到$m=1$，$n=1$，说明另一个同族方程的顶点式必然为$k(x-1)^2+1=0$（$k\ne0$）；第二步，将该顶点式展开为一般式，和题目给出的第二个方程的一般式做对比，对应系数相等，列出关于$a$、$b$的方程；第三步，解方程求出$a$和$b$的具体数值；第四步，将$a$、$b$代入目标代数式，通过配方法求二次多项式的最小值即可得到答案。
【解析】
解：根据“同族二次方程”的定义，方程$(a+2)x^2+(b-4)x+8=0$可写为：
$(a+2)(x-1)^2 + 1 = 0$
将上式展开整理：
$\begin{aligned}(a+2)(x^2-2x+1)+1&=0\\(a+2)x^2 -2(a+2)x + (a+2) +1&=0\\(a+2)x^2 -2(a+2)x +a+3&=0\end{aligned}$
将该式与已知的一般式$(a+2)x^2+(b-4)x+8=0$对比，对应系数相等：
1. 常数项相等：$a+3=8$，解得$a=5$
2. 一次项系数相等：$-2(a+2)=b-4$，把$a=5$代入得：$-2×7 = b-4$，解得$b=-10$
将$a=5$，$b=-10$代入代数式$ax^2+bx+2031$，得：
$5x^2 -10x +2031$
对该式配方求最小值：
$\begin{aligned}5x^2-10x+2031&=5(x^2-2x)+2031\\&=5(x^2-2x+1 -1)+2031\\&=5(x-1)^2 -5 +2031\\&=5(x-1)^2 +2026\end{aligned}$
由于二次项系数$5＞0$，因此当$x=1$时，该代数式取得最小值2026。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程顶点式，二次函数最值，新定义运算
【点评】
本题属于新定义结合二次函数的综合题，解题核心是透过定义抓住“同族二次方程”的本质：顶点式的$m$、$n$完全相同，通过一般式和顶点式的系数对应相等求出参数，再用配方法求二次多项式的最小值，整体思路清晰，只要准确理解新定义即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
7. 小伟同学在解关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-3x+m=0$ 时,误将 $-3x$ 看作 $+3x$,结果解得 $x_1=$$1,x_2=-4$,则原方程的解为
$x_1=4,x_2=-1$
.答案
$x_1=4,x_2=-1$
解析
【分析】
首先理清解题思路：小伟误将一次项-3x看成+3x，因此他求解的并不是原方程，而是错误方程$x^2+3x+m=0$，他得到的两个根仅满足这个错误方程。我们可以利用这两个错误的根，通过一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出参数m的正确取值，得到完整的原一元二次方程后，再求解原方程即可得到正确的解，不需要将根直接代入原方程，利用韦达定理求m是最简便的方法。
【解析】
1. 确定小伟求解的错误方程：
小伟看错一次项符号后，解的方程为 $x^2 + 3x + m = 0$，他得到的根$x_1=1$、$x_2=-4$是该方程的两个实根。
2. 利用韦达定理求m的值：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之积为$\frac{c}{a}$，此处错误方程中$a=1$，$c=m$，因此：
$x_1 · x_2 = m$
代入根的数值：$1 × (-4) = m$，解得$m=-4$。
3. 得到原方程并求解：
将$m=-4$代入原方程$x^2-3x+m=0$，得正确的原方程为：
$x^2 - 3x - 4 = 0$
对左侧因式分解得：$(x-4)(x+1)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=4,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程韦达定理；解一元二次方程
【点评】
本题属于易错题，核心陷阱是很多同学会直接把看错得到的根代入原方程求参数，忽略了看错的根仅满足看错后的方程，本题重点考察学生对一元二次方程根的性质、韦达定理的理解与灵活运用，解题的关键是先通过错误方程求出正确的参数值，再解原方程。
【难度系数】
0.7
首先理清解题思路：小伟误将一次项-3x看成+3x，因此他求解的并不是原方程，而是错误方程$x^2+3x+m=0$，他得到的两个根仅满足这个错误方程。我们可以利用这两个错误的根，通过一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出参数m的正确取值，得到完整的原一元二次方程后，再求解原方程即可得到正确的解，不需要将根直接代入原方程，利用韦达定理求m是最简便的方法。
【解析】
1. 确定小伟求解的错误方程：
小伟看错一次项符号后，解的方程为 $x^2 + 3x + m = 0$，他得到的根$x_1=1$、$x_2=-4$是该方程的两个实根。
2. 利用韦达定理求m的值：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之积为$\frac{c}{a}$，此处错误方程中$a=1$，$c=m$，因此：
$x_1 · x_2 = m$
代入根的数值：$1 × (-4) = m$，解得$m=-4$。
3. 得到原方程并求解：
将$m=-4$代入原方程$x^2-3x+m=0$，得正确的原方程为：
$x^2 - 3x - 4 = 0$
对左侧因式分解得：$(x-4)(x+1)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=-1$。
【答案】
$x_1=4,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程韦达定理；解一元二次方程
【点评】
本题属于易错题，核心陷阱是很多同学会直接把看错得到的根代入原方程求参数，忽略了看错的根仅满足看错后的方程，本题重点考察学生对一元二次方程根的性质、韦达定理的理解与灵活运用，解题的关键是先通过错误方程求出正确的参数值，再解原方程。
【难度系数】
0.7
