1.
主题:池塘里有多少条鱼
| 活动一 | 情境引入
问题1:一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个,摸到红球的概率为0.3,则袋子中有红球个;
问题2:在一副不完整的扑克牌中有4张A,任意抽取一张,抽到A的概率为0.2,则这副扑克牌有张; |
| --- | --- |
| 活动二:
摸棋试验 | 分组活动进行摸球试验收集数据,每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋,利用两种方法估计盒中棋子的总数量(将全班的小组分成两部分做不同的试验).
(1)试验并填表记录试验数据:
①方案一:每次摸1个棋子,记下棋子的颜色,放回盒中摇均匀,重复试验多次,计算黑棋出现的频率(可用画正字计算次数).
②方案二:每次摸10个棋子,记下黑棋的个数,放回盒中摇匀,重复试验10次,计算黑棋与样本的比值.
(2)计算试验得出的总棋数(计算结果保留两位小数):
注意:每次试验前是否将盒中的棋子摇匀,每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确,小组成员的参与度等等.
①方案一:

估计摸到黑棋的概率是,棋子总数量是个;
②方案二:试验次数10次,每次摸10个,数据记录如下
| 试验次数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 平均值 | 黑棋与样本的比值 |
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| 黑棋的个数 | 3 | 4 | 4 | 5 | 3 | 2 | 2 | 1 | 3 | 2 | 2.6 | 0.26 | |
| 活动三 | 设计方案:
根据刚才的两种方案,小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目.
(1)先捞出若干条鱼,将它们记上标记,然后再放回鱼塘,等鱼分布均匀后,再捞出一条鱼,观察是否有记号后放回,经过多次重复后,并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例,据此可估计鱼塘中鱼的数量;
(2)先捞出若干条鱼,将它们记上标记,然后再放回鱼塘,等鱼分布均匀后,再从中随机捕捞若干条鱼,并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例,据此可估计鱼塘中鱼的数量; |
| 活动四 | 解决问题:
某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计,第一次捞出100条,并将每条鱼作记号放入水中.当它们完全混合于鱼群后,又捞出300条,其中带有记号的鱼有20条,试估计鱼塘中有多少条鱼? |

1. 活动一:3 20
活动二:0.25 0.25 40
活动四:解:设该鱼塘里有x条鱼，
依题意，得$\dfrac{100}{x}=\dfrac{20}{300}$，解得$x=1500$，
经检验，$x=1500$是所列方程的解且符合题意，
$\therefore$估计鱼塘中有1500条鱼.

【分析】
我们可以按照题目设置的活动顺序逐步推导：
1. 活动一的两个问题直接利用概率的定义公式：某事件发生的概率=该事件对应的个体数量÷总个体数量，变形后即可求出对应数量。
2. 活动二的部分，首先计算200次试验对应的摸到黑棋的频率，观察所有试验的频率，发现随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.25附近，根据频率估计概率的思想，即可得到摸到黑棋的概率；再结合已知黑棋总共有10个，用黑棋数量除以黑棋的概率就能算出棋子总数量。
3. 活动四的估算鱼塘鱼数是典型的标记重捕问题，核心是用样本中带标记鱼的比例估计总体中带标记鱼的比例，据此列分式方程求解，最后检验得到符合实际的结果即可。
【解析】
1. 活动一：
问题1：已知总球数为10，摸到红球概率为0.3，红球数量 = 总球数 × 摸到红球的概率 = 10×0.3 = 3；
问题2：已知A的数量为4，抽到A的概率为0.2，总牌数 = A的数量 ÷ 抽到A的概率 = 4÷0.2 = 20。
2. 活动二①：
首先计算200次试验的摸到黑棋的频率：50÷200=0.25，观察四组试验的频率0.24、0.26、0.253、0.25，随着试验次数增大，频率稳定在0.25，因此估计摸到黑棋的概率为0.25；
已知盒中黑棋共有10个，棋子总数量 = 黑棋总数 ÷ 摸到黑棋的概率 = 10÷0.25 = 40 个。
3. 活动四：
设鱼塘中总共有x条鱼，根据用样本比例估计总体比例的思想，可得：
$\frac{100}{x}=\frac{20}{300}$
交叉相乘得：20x = 100×300，解得x=1500，
经检验，x=1500是所列分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
活动一：3；20
活动二：0.25；0.25；40
活动四：估计鱼塘中有1500条鱼
【知识点】
概率基本运算，频率估计概率，样本估计总体
【点评】
本题从基础概率计算切入，循序渐进引导学生理解频率与概率的关系，最终落实到标记重捕法的实际应用，将统计概率知识和生活实际问题结合，帮助学生深化理解用样本估计总体的核心统计思想，难度适中，适合巩固概率相关的基础应用。
【难度系数】
0.7