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5. 一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同. 从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{4}{9}$
D.$\dfrac{5}{9}$
B
）A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{4}{9}$
D.$\dfrac{5}{9}$
答案
5.B
解析
【分析】
这是一道不放回抽样的概率计算问题，解题思路如下：首先明确试验规则，摸出第一个球后不放回，第二次摸球时剩余球数比第一次少1，所有结果都是等可能的；其次可以通过枚举或者画树状图的方式，列出两次摸球全部的等可能结果，统计总结果数；接着筛选出满足“两次恰好有一个红球”的结果数；最后根据古典概型概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数就能得到所求概率，解题时要注意不要误把不放回当成有放回抽样，避免总结果数统计错误。
【解析】
解：枚举所有等可能的两次摸球结果：
第一次摸球有红球、白球、绿球3种可能，由于摸球后不放回，第二次摸球仅剩余2个可选的球，因此全部等可能的结果共6种，分别为：(红,白)、(红,绿)、(白,红)、(白,绿)、(绿,红)、(绿,白)。
其中满足“两次摸到的球恰好有一个红球”的结果为：(红,白)、(红,绿)、(白,红)、(绿,红)，共4种。
根据古典概型概率计算公式：
$P(\mathrm{恰好有一个红球})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】树状图求概率，古典概型计算，不放回试验
【点评】本题是概率模块的基础题型，核心考查不放回抽样的概率计算，最常见的易错点是混淆“不放回”和“有放回”的试验规则，误将总结果数算为9种得到错误结果$\frac{4}{9}$，解题时枚举所有结果做到不重不漏，准确区分放回和不放回的差异即可顺利得分。
【难度系数】0.7
这是一道不放回抽样的概率计算问题，解题思路如下：首先明确试验规则，摸出第一个球后不放回，第二次摸球时剩余球数比第一次少1，所有结果都是等可能的；其次可以通过枚举或者画树状图的方式，列出两次摸球全部的等可能结果，统计总结果数；接着筛选出满足“两次恰好有一个红球”的结果数；最后根据古典概型概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数就能得到所求概率，解题时要注意不要误把不放回当成有放回抽样，避免总结果数统计错误。
【解析】
解：枚举所有等可能的两次摸球结果：
第一次摸球有红球、白球、绿球3种可能，由于摸球后不放回，第二次摸球仅剩余2个可选的球，因此全部等可能的结果共6种，分别为：(红,白)、(红,绿)、(白,红)、(白,绿)、(绿,红)、(绿,白)。
其中满足“两次摸到的球恰好有一个红球”的结果为：(红,白)、(红,绿)、(白,红)、(绿,红)，共4种。
根据古典概型概率计算公式：
$P(\mathrm{恰好有一个红球})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】树状图求概率，古典概型计算，不放回试验
【点评】本题是概率模块的基础题型，核心考查不放回抽样的概率计算，最常见的易错点是混淆“不放回”和“有放回”的试验规则，误将总结果数算为9种得到错误结果$\frac{4}{9}$，解题时枚举所有结果做到不重不漏，准确区分放回和不放回的差异即可顺利得分。
【难度系数】0.7
6.(2025·常州二模)现有三张背面完全一样的扑克牌,它们的正面花色分别为$◆$,$♥$,$♥$.若将这三张扑克牌背面朝上,洗匀后从中随机抽取两张,则抽取的两张牌花色相同的概率为 （
A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
B
）A.$\dfrac{1}{6}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
6.B
解析
【分析】
要计算抽取两张牌花色相同的概率，这是典型的等可能事件概率问题，解题思路可以分为两步：第一步先给三张牌做标记避免重复计数，把唯一的方块记为A，两张红桃分别记为B、C；第二步枚举所有随机抽取两张的等可能结果，先统计总结果数，再从中筛选出两张花色相同的符合条件的结果数，最后代入古典概型的概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能总结果数，就能算出最终结果。抽取两张牌属于不放回抽取，既可以用无序组合计数，也可以用有序排列计数，两种方式可以互相验证避免出错。
【解析】
解：将三张扑克牌分别标记：方块◆记为A，两张红桃♥分别记为B、C。
从三张牌中随机抽取两张，所有等可能出现的组合结果为：(A,B)、(A,C)、(B,C)，总共有3种不同的结果。
其中两张牌花色相同的结果只有(B,C)这1种，即两张均为红桃的情况。
代入等可能事件概率公式计算：
$P(\mathrm{抽取两张牌花色相同})=\frac{\mathrm{花色相同的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{1}{3}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率，古典概型
【点评】
本题是概率模块的基础考题，核心考查学生用列举法计算等可能事件概率的能力，易错点是部分同学误将无序的组合当成有序排列，错误算出总结果数为6种，实际上即使按有序方式计数，总结果为6种，同花色的结果有2种，计算得到的概率依然是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，最终结果不受影响，同学们可以通过两种计数方式互相校验，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
要计算抽取两张牌花色相同的概率，这是典型的等可能事件概率问题，解题思路可以分为两步：第一步先给三张牌做标记避免重复计数，把唯一的方块记为A，两张红桃分别记为B、C；第二步枚举所有随机抽取两张的等可能结果，先统计总结果数，再从中筛选出两张花色相同的符合条件的结果数，最后代入古典概型的概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能总结果数，就能算出最终结果。抽取两张牌属于不放回抽取，既可以用无序组合计数，也可以用有序排列计数，两种方式可以互相验证避免出错。
【解析】
解：将三张扑克牌分别标记：方块◆记为A，两张红桃♥分别记为B、C。
从三张牌中随机抽取两张，所有等可能出现的组合结果为：(A,B)、(A,C)、(B,C)，总共有3种不同的结果。
其中两张牌花色相同的结果只有(B,C)这1种，即两张均为红桃的情况。
代入等可能事件概率公式计算：
$P(\mathrm{抽取两张牌花色相同})=\frac{\mathrm{花色相同的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{1}{3}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率，古典概型
【点评】
本题是概率模块的基础考题，核心考查学生用列举法计算等可能事件概率的能力，易错点是部分同学误将无序的组合当成有序排列，错误算出总结果数为6种，实际上即使按有序方式计数，总结果为6种，同花色的结果有2种，计算得到的概率依然是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，最终结果不受影响，同学们可以通过两种计数方式互相校验，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
7.(2025·常州模拟)中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的概率为
$\frac{1}{6}$
.答案
7.$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
这道题属于古典概型的概率计算问题，解题思路如下：第一步，先明确需要先求出从4部名著中任选2部的所有等可能的基本事件总数；第二步，统计出恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》这一事件包含的基本事件个数；第三步，用符合要求的事件数除以总事件数，即可得到所求概率。这里选2部名著是不计顺序的组合问题，可以通过枚举所有情况快速得到总事件数，避免出错。
【解析】
我们将4部名著分别记为：《周髀算经》为A，《算学启蒙》为B，《测圆海镜》为C，《四元玉鉴》为D。
从4部名著中任选2部，所有等可能的结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种不同的选法。
其中恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的情况只有AB这1种。
根据古典概型的概率计算公式，所求概率$P=\frac{符合条件的事件数}{总事件数}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
古典概型；列举法求概率
【点评】
本题是概率部分的基础题，核心考查古典概型的基本计算，解题时要注意选取两部名著不存在先后顺序，属于组合问题，不要误将有序排列的12种情况作为总事件数，避免得到错误结果$\frac{1}{12}$。
【难度系数】
0.8
这道题属于古典概型的概率计算问题，解题思路如下：第一步，先明确需要先求出从4部名著中任选2部的所有等可能的基本事件总数；第二步，统计出恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》这一事件包含的基本事件个数；第三步，用符合要求的事件数除以总事件数，即可得到所求概率。这里选2部名著是不计顺序的组合问题，可以通过枚举所有情况快速得到总事件数，避免出错。
【解析】
我们将4部名著分别记为：《周髀算经》为A，《算学启蒙》为B，《测圆海镜》为C，《四元玉鉴》为D。
从4部名著中任选2部，所有等可能的结果为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种不同的选法。
其中恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的情况只有AB这1种。
根据古典概型的概率计算公式，所求概率$P=\frac{符合条件的事件数}{总事件数}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
古典概型；列举法求概率
【点评】
本题是概率部分的基础题，核心考查古典概型的基本计算，解题时要注意选取两部名著不存在先后顺序，属于组合问题，不要误将有序排列的12种情况作为总事件数，避免得到错误结果$\frac{1}{12}$。
【难度系数】
0.8
8.(2025·淮安)一个不透明的盒子里装有四张卡片,分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字,卡片除文字外都相同,并将四张卡片充分搅匀.
(1)从盒子中随机抽取1张卡片,恰好抽到“淮”的概率是
(2)一次从盒子中随机抽取2张卡片,用画树状图或列表的方法,求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率.
(1)从盒子中随机抽取1张卡片,恰好抽到“淮”的概率是
$\frac{1}{4}$
;(2)一次从盒子中随机抽取2张卡片,用画树状图或列表的方法,求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率.
答案
8.(1)$\frac{1}{4}$
(2)解:画树状图如答图所示.
开始
第一张 美 好 淮 安
第二张 好 淮 安 美 淮 安 美 好 安 美 好 淮
第8题答图
共有12种等可能的结果,其中抽取的卡片恰好1张为"美"、1张为"好"的结果有2种,$\therefore$抽取的卡片恰好1张为"美"、1张为"好"的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
(2)解:画树状图如答图所示.
开始
第一张 美 好 淮 安
第二张 好 淮 安 美 淮 安 美 好 安 美 好 淮
第8题答图
共有12种等可能的结果,其中抽取的卡片恰好1张为"美"、1张为"好"的结果有2种,$\therefore$抽取的卡片恰好1张为"美"、1张为"好"的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
这是一道初中概率模块的基础题，解题思路非常清晰：
1. 第(1)问属于基础古典概型应用，首先明确随机抽1张卡片时，总共有4种等可能的结果，抽到“淮”的符合条件的结果仅1种，直接代入概率定义公式即可计算出结果。
2. 第(2)问是不放回抽取2张卡片，我们可以通过画树状图的方式，先列出第一次抽取的所有可能，再对应列出第二次抽取剩余卡片的所有可能，统计出全部等可能结果的总数，再从中数出恰好抽到“美”和“好”的结果数量，代入概率公式就能得到最终答案。
【解析】
(1) 盒子中共有4张不同的卡片，随机抽取1张时，总共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“淮”的结果只有1种，根据古典概型概率公式可得：
$P(\mathrm{抽到“淮”})=\frac{1}{4}$。
(2) 按照规则绘制树状图：
开始
第一张卡片： 美 好 淮 安
| | | |
第二张卡片：好 淮 安 美 淮 安 美 好 安 美 好 淮
从树状图可以统计出，全部等可能的结果共有12种，其中恰好1张为“美”、1张为“好”的结果共2种，分别是（美，好）和（好，美），因此：
$P(\mathrm{抽到1张“美”1张“好”})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
古典概型计算，树状图法求概率
【点评】
本题是中考概率部分的高频基础题，考点覆盖概率核心定义和不放回抽样的枚举方法，学生解题时注意不要漏数、重复统计树状图的结果，也可以用无序枚举所有组合的方式验证结果，整体难度低，大部分学生都能顺利完成。
【难度系数】
0.8
这是一道初中概率模块的基础题，解题思路非常清晰：
1. 第(1)问属于基础古典概型应用，首先明确随机抽1张卡片时，总共有4种等可能的结果，抽到“淮”的符合条件的结果仅1种，直接代入概率定义公式即可计算出结果。
2. 第(2)问是不放回抽取2张卡片，我们可以通过画树状图的方式，先列出第一次抽取的所有可能，再对应列出第二次抽取剩余卡片的所有可能，统计出全部等可能结果的总数，再从中数出恰好抽到“美”和“好”的结果数量，代入概率公式就能得到最终答案。
【解析】
(1) 盒子中共有4张不同的卡片，随机抽取1张时，总共有4种等可能的结果，其中恰好抽到“淮”的结果只有1种，根据古典概型概率公式可得：
$P(\mathrm{抽到“淮”})=\frac{1}{4}$。
(2) 按照规则绘制树状图：
开始
第一张卡片： 美 好 淮 安
| | | |
第二张卡片：好 淮 安 美 淮 安 美 好 安 美 好 淮
从树状图可以统计出，全部等可能的结果共有12种，其中恰好1张为“美”、1张为“好”的结果共2种，分别是（美，好）和（好，美），因此：
$P(\mathrm{抽到1张“美”1张“好”})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
古典概型计算，树状图法求概率
【点评】
本题是中考概率部分的高频基础题，考点覆盖概率核心定义和不放回抽样的枚举方法，学生解题时注意不要漏数、重复统计树状图的结果，也可以用无序枚举所有组合的方式验证结果，整体难度低，大部分学生都能顺利完成。
【难度系数】
0.8
9. (2025·无锡)一只不透明的袋子中装有标号分别为1,2,3,4的4个球,这些球除标号外都相同.
(1)将球搅匀,从中任意摸出1个球,摸到标号为2的球的概率是
(2)将球搅匀,从中任意摸出1个球,记录标号后不放回,再从袋子中任意摸出1个球,记录标号.求两次摸到的球标号均小于3的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
(1)将球搅匀,从中任意摸出1个球,摸到标号为2的球的概率是
$\frac{1}{4}$
;(2)将球搅匀,从中任意摸出1个球,记录标号后不放回,再从袋子中任意摸出1个球,记录标号.求两次摸到的球标号均小于3的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
答案
9.(1)$\frac{1}{4}$
(2)解:画树状图如答图所示.
开始
第一个球 1 2 3 4
第二个球 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
第9题答图
共有12种等可能的结果,其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种,
$\therefore$两次摸到的球标号均小于3的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
(2)解:画树状图如答图所示.
开始
第一个球 1 2 3 4
第二个球 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
第9题答图
共有12种等可能的结果,其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种,
$\therefore$两次摸到的球标号均小于3的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
这道题是典型的古典概型概率问题，解题思路如下：
1. 第(1)问属于单次摸球的基础概率计算：首先确定所有等可能的摸球结果总数是4，其中摸到标号为2的球的符合条件的结果只有1种，直接用古典概型概率公式“符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可算出答案。
2. 第(2)问是不放回的两次摸球概率问题，为了不重不漏统计所有可能的结果，我们选择画树状图的方法：先列出第一次摸球的所有4种可能结果，由于摸出球后不放回，第一次摸完后袋中只剩3个球，对应每一种第一次的结果分别列出第二次摸球的所有可能结果，统计出总等可能结果数后，再从中筛选出两次标号都小于3的结果数量，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 袋子中共有4个除标号外完全相同的球，从中任意摸出1个球，共有4种等可能的结果，其中摸到标号为2的球的结果只有1种，因此摸到标号为2的球的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 画树状图分析：
从开始出发，第一个球的可能结果为1、2、3、4；
若第一次摸出1，第二次可摸出2、3、4；
若第一次摸出2，第二次可摸出1、3、4；
若第一次摸出3，第二次可摸出1、2、4；
若第一次摸出4，第二次可摸出1、2、3。
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果为(1,2)、(2,1)，共2种。
因此两次摸到的球标号均小于3的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{1}{6}$
【知识点】
古典概型计算；树状图法求概率
【点评】
本题是概率模块的基础考题，难度较低，第(1)问直接考察古典概型的基本定义，第(2)问重点考察不放回抽样的概率求解，需要学生掌握用树状图/列表枚举所有等可能结果的方法，解题时要注意不放回抽样不会出现两次标号相同的情况，避免出现重复计数的失误。
【难度系数】
0.8
这道题是典型的古典概型概率问题，解题思路如下：
1. 第(1)问属于单次摸球的基础概率计算：首先确定所有等可能的摸球结果总数是4，其中摸到标号为2的球的符合条件的结果只有1种，直接用古典概型概率公式“符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可算出答案。
2. 第(2)问是不放回的两次摸球概率问题，为了不重不漏统计所有可能的结果，我们选择画树状图的方法：先列出第一次摸球的所有4种可能结果，由于摸出球后不放回，第一次摸完后袋中只剩3个球，对应每一种第一次的结果分别列出第二次摸球的所有可能结果，统计出总等可能结果数后，再从中筛选出两次标号都小于3的结果数量，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 袋子中共有4个除标号外完全相同的球，从中任意摸出1个球，共有4种等可能的结果，其中摸到标号为2的球的结果只有1种，因此摸到标号为2的球的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 画树状图分析：
从开始出发，第一个球的可能结果为1、2、3、4；
若第一次摸出1，第二次可摸出2、3、4；
若第一次摸出2，第二次可摸出1、3、4；
若第一次摸出3，第二次可摸出1、2、4；
若第一次摸出4，第二次可摸出1、2、3。
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果为(1,2)、(2,1)，共2种。
因此两次摸到的球标号均小于3的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$；(2)$\frac{1}{6}$
【知识点】
古典概型计算；树状图法求概率
【点评】
本题是概率模块的基础考题，难度较低，第(1)问直接考察古典概型的基本定义，第(2)问重点考察不放回抽样的概率求解，需要学生掌握用树状图/列表枚举所有等可能结果的方法，解题时要注意不放回抽样不会出现两次标号相同的情况，避免出现重复计数的失误。
【难度系数】
0.8
