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10.声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化.科学家已测得一定温度下声音传播的速度如下表.如果用v(单位:m/s)表示声音在空气中的传播速度,t(单位:℃)表示温度,则v,t满足公式v=at+b(a,b为已知数).
(1)求a,b的值；
(2)当t=25 ℃时,求v的值.
(1)求a,b的值；
(2)当t=25 ℃时,求v的值.
答案
10. 解:将 $t=0,v=330$ 代入 $v=at+b$ 中,得$b=330$,
将 $t=20,v=342$ 代入 $v=at+b$ 中,得 $342=20a+b$,
联立 $\begin{cases}b=330,\\342=20a+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\frac{3}{5},\\b=330.\end{cases}$
(2)由(1)知 $v=\frac{3}{5}t+330$,将 $t=25$ 代入上式,可得 $v=\frac{3}{5}×25+330=345$,
∴当 $t=25 ℃$ 时,$v$ 的值为 345 m/s.
将 $t=20,v=342$ 代入 $v=at+b$ 中,得 $342=20a+b$,
联立 $\begin{cases}b=330,\\342=20a+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=\frac{3}{5},\\b=330.\end{cases}$
(2)由(1)知 $v=\frac{3}{5}t+330$,将 $t=25$ 代入上式,可得 $v=\frac{3}{5}×25+330=345$,
∴当 $t=25 ℃$ 时,$v$ 的值为 345 m/s.
解析
【分析】
本题是一次函数的应用类题目，已知v与t满足一次函数关系v=at+b，其中a、b为未知数：
1. 求解a、b：根据待定系数法的要求，需要两组t和v的对应值代入表达式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到a、b的值，选取t=0的对应值可直接求出b，简化计算步骤。
2. 求t=25℃时的v：在得到v与t的具体函数关系式后，将t=25代入关系式直接计算即可得到v的数值。
【解析】
(1) 将表格中$t=0,v=330$代入$v=at+b$中，可得：
$330=a×0+b$，解得$b=330$；
再将$t=20,v=342$和$b=330$代入$v=at+b$中，可得：
$342=20a+330$，
移项计算得$20a=12$，解得$a=\frac{3}{5}$。
(2) 由(1)可知v与t的关系式为$v=\frac{3}{5}t+330$，将$t=25$代入该式：
$v=\frac{3}{5}×25+330=15+330=345$，单位为$\mathrm{m/s}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}a=\frac{3}{5}\\b=330\end{cases}$
(2) $345\ \mathrm{m/s}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法；一次函数代入求值
【点评】
本题结合声速随温度变化的实际场景考察一次函数基础应用，核心考查待定系数法的使用，计算难度低，解题的关键是从表格中准确选取对应值建立方程。
【难度系数】
0.85
本题是一次函数的应用类题目，已知v与t满足一次函数关系v=at+b，其中a、b为未知数：
1. 求解a、b：根据待定系数法的要求，需要两组t和v的对应值代入表达式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到a、b的值，选取t=0的对应值可直接求出b，简化计算步骤。
2. 求t=25℃时的v：在得到v与t的具体函数关系式后，将t=25代入关系式直接计算即可得到v的数值。
【解析】
(1) 将表格中$t=0,v=330$代入$v=at+b$中，可得：
$330=a×0+b$，解得$b=330$；
再将$t=20,v=342$和$b=330$代入$v=at+b$中，可得：
$342=20a+330$，
移项计算得$20a=12$，解得$a=\frac{3}{5}$。
(2) 由(1)可知v与t的关系式为$v=\frac{3}{5}t+330$，将$t=25$代入该式：
$v=\frac{3}{5}×25+330=15+330=345$，单位为$\mathrm{m/s}$。
【答案】
(1) $\begin{cases}a=\frac{3}{5}\\b=330\end{cases}$
(2) $345\ \mathrm{m/s}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法；一次函数代入求值
【点评】
本题结合声速随温度变化的实际场景考察一次函数基础应用，核心考查待定系数法的使用，计算难度低，解题的关键是从表格中准确选取对应值建立方程。
【难度系数】
0.85
11.在平面直角坐标系中，对于点$ P_n(x,y) $，若点$ Q_n $的坐标为$ (x+y,x-y) $，则称点$ Q_n $为点$ P_n $的“关联点”.例如，点$ P_0(1,2) $，则点$ Q_0(3,-1) $是点$ P_0 $的“关联点”.
(1)若点$ P_1(3,2) $，则点$ P_1 $的“关联点”$ Q_1 $的坐标为
(2)若点$ Q_2 $是点$ P_2(x,y) $的“关联点”，且点$ Q_2 $在$ y $轴上，则$ x,y $满足的关系式为
(3)若点$ Q_3 $是点$ P_3 $的“关联点”，且点$ P_3 $向右平移3个单位长度可与$ Q_3 $重合，求点$ P_3 $的坐标.
(1)若点$ P_1(3,2) $，则点$ P_1 $的“关联点”$ Q_1 $的坐标为
(5,1)
；(2)若点$ Q_2 $是点$ P_2(x,y) $的“关联点”，且点$ Q_2 $在$ y $轴上，则$ x,y $满足的关系式为
$x+y=0$
；(3)若点$ Q_3 $是点$ P_3 $的“关联点”，且点$ P_3 $向右平移3个单位长度可与$ Q_3 $重合，求点$ P_3 $的坐标.
答案
11. 解:(1)(5,1) (2)$x+y=0$
(3)令点 $P_3$ 的坐标为$(a,b)$,
则点 $Q_3$ 的坐标为$(a+b,a-b)$.
将点 $P_3$ 向右平移 3 个单位长度后,所得点的坐标为$(a+3,b)$,因为此点与 $Q_3$ 重合,
所以 $\begin{cases}a+3=a+b,\\b=a-b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=6,\\b=3,\end{cases}$
所以点 $P_3$ 的坐标为$(6,3)$.
(3)令点 $P_3$ 的坐标为$(a,b)$,
则点 $Q_3$ 的坐标为$(a+b,a-b)$.
将点 $P_3$ 向右平移 3 个单位长度后,所得点的坐标为$(a+3,b)$,因为此点与 $Q_3$ 重合,
所以 $\begin{cases}a+3=a+b,\\b=a-b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=6,\\b=3,\end{cases}$
所以点 $P_3$ 的坐标为$(6,3)$.
解析
【分析】
本题是新定义类题目，首先明确“关联点”的运算规则：若原点点坐标为$(x,y)$，则其关联点坐标为$(x+y, x-y)$，再结合各小问条件逐一求解：
(1)直接将$P_1$的横、纵坐标代入关联点的坐标公式计算即可；
(2)$y$轴上点的坐标特征是横坐标为0，因此令$Q_2$的横坐标等于0即可得到$x,y$的关系式；
(3)先设$P_3$的坐标为$(a,b)$，写出其关联点$Q_3$的坐标，再根据点向右平移3个单位的规律：横坐标加3，纵坐标不变，得到平移后$P_3$的坐标，平移后与$Q_3$重合说明两点横、纵坐标分别相等，列方程组求解即可得到$P_3$的坐标。
【解析】
(1)已知$P_1(3,2)$，根据关联点定义，$Q_1$的横坐标为$3+2=5$，纵坐标为$3-2=1$，故$Q_1$坐标为$(5,1)$；
(2)点$P_2(x,y)$的关联点$Q_2$坐标为$(x+y, x-y)$，因为$Q_2$在$y$轴上，$y$轴上点的横坐标为0，因此$x+y=0$；
(3)设点$P_3$的坐标为$(a,b)$，则其关联点$Q_3$的坐标为$(a+b, a-b)$。
点$P_3$向右平移3个单位长度后，横坐标加3，纵坐标不变，所得点的坐标为$(a+3, b)$。
因为平移后的点与$Q_3$重合，所以两点横、纵坐标分别相等，可列方程组：
$\begin{cases}a+3=a+b\\b=a-b\end{cases}$
解第一个方程：$a+3=a+b$，两边消去$a$得$b=3$；
将$b=3$代入第二个方程：$3=a-3$，解得$a=6$。
所以点$P_3$的坐标为$(6,3)$。
【答案】
(1)$(5,1)$；(2)$x+y=0$；(3)$(6,3)$
【知识点】
新定义问题，坐标轴上点的坐标特征，坐标平移规律
【点评】
本题以新定义“关联点”为载体，综合考查平面直角坐标系的基础知识点，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，结合对应知识点列等式求解，注重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
本题是新定义类题目，首先明确“关联点”的运算规则：若原点点坐标为$(x,y)$，则其关联点坐标为$(x+y, x-y)$，再结合各小问条件逐一求解：
(1)直接将$P_1$的横、纵坐标代入关联点的坐标公式计算即可；
(2)$y$轴上点的坐标特征是横坐标为0，因此令$Q_2$的横坐标等于0即可得到$x,y$的关系式；
(3)先设$P_3$的坐标为$(a,b)$，写出其关联点$Q_3$的坐标，再根据点向右平移3个单位的规律：横坐标加3，纵坐标不变，得到平移后$P_3$的坐标，平移后与$Q_3$重合说明两点横、纵坐标分别相等，列方程组求解即可得到$P_3$的坐标。
【解析】
(1)已知$P_1(3,2)$，根据关联点定义，$Q_1$的横坐标为$3+2=5$，纵坐标为$3-2=1$，故$Q_1$坐标为$(5,1)$；
(2)点$P_2(x,y)$的关联点$Q_2$坐标为$(x+y, x-y)$，因为$Q_2$在$y$轴上，$y$轴上点的横坐标为0，因此$x+y=0$；
(3)设点$P_3$的坐标为$(a,b)$，则其关联点$Q_3$的坐标为$(a+b, a-b)$。
点$P_3$向右平移3个单位长度后，横坐标加3，纵坐标不变，所得点的坐标为$(a+3, b)$。
因为平移后的点与$Q_3$重合，所以两点横、纵坐标分别相等，可列方程组：
$\begin{cases}a+3=a+b\\b=a-b\end{cases}$
解第一个方程：$a+3=a+b$，两边消去$a$得$b=3$；
将$b=3$代入第二个方程：$3=a-3$，解得$a=6$。
所以点$P_3$的坐标为$(6,3)$。
【答案】
(1)$(5,1)$；(2)$x+y=0$；(3)$(6,3)$
【知识点】
新定义问题，坐标轴上点的坐标特征，坐标平移规律
【点评】
本题以新定义“关联点”为载体，综合考查平面直角坐标系的基础知识点，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，结合对应知识点列等式求解，注重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
