登录
1.如图,两个天平都平衡,则与1个“●”质量相等的“□”的个数为 (
A.4
B.3
C.2
D.1
C
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先利用天平平衡表示出两组等量关系，首先从第一个天平得出圆形和三角形的质量关系，再从第二个天平得出正方形和三角形的质量关系，最后将三角形作为中间量进行等量代换，就能推出1个圆形对应的正方形个数。具体步骤：第一步根据第一个天平的平衡关系，结合等式的性质化简得到1个圆形等于几个三角形；第二步根据第二个天平的平衡关系化简得到1个正方形等于几个三角形；第三步把三角形替换成正方形，就能得到最终的数量关系。
【解析】
根据天平平衡时左右两边质量相等，可得：
1. 观察第一个天平：2个●的质量 = 4个△的质量，等式两边同时除以2，得1个●的质量 = 2个△的质量；
2. 观察第二个天平：2个□的质量 = 2个△的质量，等式两边同时除以2，得1个□的质量 = 1个△的质量；
3. 进行等量代换，把△替换成□，可得1个●的质量 = 2个□的质量。
因此与1个“●”质量相等的“□”的个数为2。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质，等量代换
【点评】
本题属于基础的等量推导类题目，核心是抓住天平平衡即左右质量相等的特点，以三角形为中间量搭建关联，即可顺利求出结果，解题时注意计算不要出错。
【难度系数】
0.8
解题时先利用天平平衡表示出两组等量关系，首先从第一个天平得出圆形和三角形的质量关系，再从第二个天平得出正方形和三角形的质量关系，最后将三角形作为中间量进行等量代换，就能推出1个圆形对应的正方形个数。具体步骤：第一步根据第一个天平的平衡关系，结合等式的性质化简得到1个圆形等于几个三角形；第二步根据第二个天平的平衡关系化简得到1个正方形等于几个三角形；第三步把三角形替换成正方形，就能得到最终的数量关系。
【解析】
根据天平平衡时左右两边质量相等，可得：
1. 观察第一个天平：2个●的质量 = 4个△的质量，等式两边同时除以2，得1个●的质量 = 2个△的质量；
2. 观察第二个天平：2个□的质量 = 2个△的质量，等式两边同时除以2，得1个□的质量 = 1个△的质量；
3. 进行等量代换，把△替换成□，可得1个●的质量 = 2个□的质量。
因此与1个“●”质量相等的“□”的个数为2。
【答案】
C
【知识点】
等式的性质，等量代换
【点评】
本题属于基础的等量推导类题目，核心是抓住天平平衡即左右质量相等的特点，以三角形为中间量搭建关联，即可顺利求出结果，解题时注意计算不要出错。
【难度系数】
0.8
2.解方程组$\begin{cases}2x+y-3z=5,\\-4x-y+2z=12,\\5x+y+7z=14,\end{cases}$最简便的消元方法是 （ ）
A.先消去x
B.先消去y
C.先消去z
D.先消去常数项
A.先消去x
B.先消去y
C.先消去z
D.先消去常数项
答案
2.B
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心是消元，要把三元转化为二元再求解，消元时优先选择系数特点最简单的未知数，能减少计算量。观察本题三个方程中各未知数的系数：y的系数分别是1、-1、1，要么相等要么互为相反数，直接用加减消元法就能快速消去y，不需要额外给方程乘系数，是最简便的消元思路。如果选择消x或z，都需要先找对应系数的最小公倍数，给方程乘相应的系数才能消元，计算步骤更多；消去常数项不属于常规的消元思路，也不简便。
【解析】
观察方程组中三个方程的y的系数：第一个方程y的系数为1，第二个方程y的系数为-1，第三个方程y的系数为1。
将第一个方程和第二个方程相加，可直接消去y，得到仅含x和z的方程：$(2x+y-3z)+(-4x-y+2z)=5+12$，即$-2x-z=17$；
将第二个方程和第三个方程相加，也可直接消去y，得到另一个仅含x和z的方程：$(-4x-y+2z)+(5x+y+7z)=12+14$，即$x+9z=26$；
仅需两次加法运算就能将三元方程组转化为关于x、z的二元一次方程组，不需要额外乘系数，计算最简便。因此最简便的消元方法是先消去y。
【答案】
B
【知识点】
1.三元一次方程组的解法 2.加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的消元技巧，解题时要先观察各未知数的系数特征，优先消去系数为±1，或系数互为相反数、相等的未知数，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.85
解三元一次方程组的核心是消元，要把三元转化为二元再求解，消元时优先选择系数特点最简单的未知数，能减少计算量。观察本题三个方程中各未知数的系数：y的系数分别是1、-1、1，要么相等要么互为相反数，直接用加减消元法就能快速消去y，不需要额外给方程乘系数，是最简便的消元思路。如果选择消x或z，都需要先找对应系数的最小公倍数，给方程乘相应的系数才能消元，计算步骤更多；消去常数项不属于常规的消元思路，也不简便。
【解析】
观察方程组中三个方程的y的系数：第一个方程y的系数为1，第二个方程y的系数为-1，第三个方程y的系数为1。
将第一个方程和第二个方程相加，可直接消去y，得到仅含x和z的方程：$(2x+y-3z)+(-4x-y+2z)=5+12$，即$-2x-z=17$；
将第二个方程和第三个方程相加，也可直接消去y，得到另一个仅含x和z的方程：$(-4x-y+2z)+(5x+y+7z)=12+14$，即$x+9z=26$；
仅需两次加法运算就能将三元方程组转化为关于x、z的二元一次方程组，不需要额外乘系数，计算最简便。因此最简便的消元方法是先消去y。
【答案】
B
【知识点】
1.三元一次方程组的解法 2.加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的消元技巧，解题时要先观察各未知数的系数特征，优先消去系数为±1，或系数互为相反数、相等的未知数，可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.85
3.已知方程组$\begin{cases}x+y=4,\\y+z=-6,\\z+x=8,\end{cases}$则$x+y+z$的值是（ ）
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
3.A
解析
【分析】
观察给定的三元一次方程组，三个方程左边分别是x+y、y+z、z+x，若将三个方程左右两边同时相加，左边会出现2个x、2个y、2个z，即2(x+y+z)，只需先算出右侧三个常数的和，再除以2就能直接得到x+y+z的值，不需要单独求解每个未知数，计算更简便。
【解析】
将方程组的三个方程左右两边分别相加：
$\begin{aligned}(x+y)+(y+z)+(z+x)&=4+(-6)+8\\2x+2y+2z&=6\\2(x+y+z)&=6\end{aligned}$
等式两边同时除以2，可得$x+y+z=3$。
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程组的解法；整体思想求值
【点评】
本题考查三元一次方程组的相关计算，巧妙运用整体相加的方法可快速得出结果，避免了分别求解未知数的繁琐计算，能很好地锻炼学生的整体思维能力。
【难度系数】
0.8
观察给定的三元一次方程组，三个方程左边分别是x+y、y+z、z+x，若将三个方程左右两边同时相加，左边会出现2个x、2个y、2个z，即2(x+y+z)，只需先算出右侧三个常数的和，再除以2就能直接得到x+y+z的值，不需要单独求解每个未知数，计算更简便。
【解析】
将方程组的三个方程左右两边分别相加：
$\begin{aligned}(x+y)+(y+z)+(z+x)&=4+(-6)+8\\2x+2y+2z&=6\\2(x+y+z)&=6\end{aligned}$
等式两边同时除以2，可得$x+y+z=3$。
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程组的解法；整体思想求值
【点评】
本题考查三元一次方程组的相关计算，巧妙运用整体相加的方法可快速得出结果，避免了分别求解未知数的繁琐计算，能很好地锻炼学生的整体思维能力。
【难度系数】
0.8
4.解三元一次方程组$\begin{cases}x+y+z=3,① \\3x+2y+z=10,② \\2x-y+z=-1,③\end{cases}$若消掉未知数$z$，则应对方程组变形为（ ）
A.①$+$③，①$×2-$②
B.①$+$③，③$×2+$②
C.②$-$①，②$-$③
D.①$-$②，①$×2-$③
A.①$+$③，①$×2-$②
B.①$+$③，③$×2+$②
C.②$-$①，②$-$③
D.①$-$②，①$×2-$③
答案
4.C
解析
【分析】
要消掉未知数z，需使用加减消元法，核心是让两个方程中z的系数相等或互为相反数，再通过加减运算抵消z。本题三个方程里z的系数都是1，因此任意两个方程直接相减即可消去z，我们只需逐一验证选项的变形是否能消去z即可。
【解析】
观察方程组中三个方程的z的系数均为1：
1. 验证②-①：左边=(3x+2y+z)-(x+y+z)=2x+y，右边=10-3=7，z完全抵消，成功消去z；
2. 验证②-③：左边=(3x+2y+z)-(2x-y+z)=x+3y，右边=10-(-1)=11，z完全抵消，成功消去z；
再逐一排查其他选项：
A选项：①+③后z的系数为2，没有消去z，错误；
B选项：①+③没有消去z，错误；
D选项：①×2-③后z的系数为1，没有消去z，错误。
因此只有C选项的变形可消掉z。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法；三元一次方程组解法
【点评】
本题考查三元一次方程组消元的基础操作，解题关键是观察待消未知数的系数特征，选择合适的加减运算消元，属于消元法的常规应用题型。
【难度系数】
0.8
要消掉未知数z，需使用加减消元法，核心是让两个方程中z的系数相等或互为相反数，再通过加减运算抵消z。本题三个方程里z的系数都是1，因此任意两个方程直接相减即可消去z，我们只需逐一验证选项的变形是否能消去z即可。
【解析】
观察方程组中三个方程的z的系数均为1：
1. 验证②-①：左边=(3x+2y+z)-(x+y+z)=2x+y，右边=10-3=7，z完全抵消，成功消去z；
2. 验证②-③：左边=(3x+2y+z)-(2x-y+z)=x+3y，右边=10-(-1)=11，z完全抵消，成功消去z；
再逐一排查其他选项：
A选项：①+③后z的系数为2，没有消去z，错误；
B选项：①+③没有消去z，错误；
D选项：①×2-③后z的系数为1，没有消去z，错误。
因此只有C选项的变形可消掉z。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法；三元一次方程组解法
【点评】
本题考查三元一次方程组消元的基础操作，解题关键是观察待消未知数的系数特征，选择合适的加减运算消元，属于消元法的常规应用题型。
【难度系数】
0.8
5. 三元一次方程组$\begin{cases}2x=3y=6z, \\x+2y+z=16\end{cases}$的解是（ ）
A.$\begin{cases}x=1, \\y=3, \\z=5 \end{cases}$
B.$\begin{cases}x=6, \\y=3, \\z=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases}x=6, \\y=4, \\z=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases}x=4, \\y=5, \\z=6 \end{cases}$
A.$\begin{cases}x=1, \\y=3, \\z=5 \end{cases}$
B.$\begin{cases}x=6, \\y=3, \\z=2 \end{cases}$
C.$\begin{cases}x=6, \\y=4, \\z=2 \end{cases}$
D.$\begin{cases}x=4, \\y=5, \\z=6 \end{cases}$
答案
5.C
解析
【分析】
观察方程组的特点，第一个方程是连等式，属于特殊形式的三元一次方程组。解题时有两种常用思路：一是先将x、y都用含z的代数式表示，再代入第二个方程，把三元一次方程组转化为一元一次方程求解；二是直接将各个选项代入两个方程验证，快速排除错误选项得到答案，两种方法都符合要求。
【解析】
解法1：由$2x=6z$，两边同时除以2得$x=3z$；由$3y=6z$，两边同时除以3得$y=2z$。
将$x=3z$、$y=2z$代入$x+2y+z=16$，可得：
$3z + 2×2z + z = 16$
合并同类项得$8z=16$，解得$z=2$。
把$z=2$分别代入$x=3z$、$y=2z$，得$x=3×2=6$，$y=2×2=4$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=6 \\y=4 \\z=2 \end{cases}$。
解法2（代入排除法）：
将各选项代入$2x=3y=6z$验证：
A选项：$2×1=2$，$3×3=9$，$2≠9$，排除；
B选项：$2×6=12$，$3×3=9$，$12≠9$，排除；
C选项：$2×6=12$，$3×4=12$，$6×2=12$，满足$2x=3y=6z$，再代入第二个方程得$6+2×4+2=16$，符合要求；
D选项：$2×4=8$，$3×5=15$，$8≠15$，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组求解，代入消元法
【点评】
本题是三元一次方程组的基础考查题，针对连等形式的特殊方程，既可以用统一未知数后代入消元的常规方法求解，也可以用代入排除法快速得出结果，解题时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
观察方程组的特点，第一个方程是连等式，属于特殊形式的三元一次方程组。解题时有两种常用思路：一是先将x、y都用含z的代数式表示，再代入第二个方程，把三元一次方程组转化为一元一次方程求解；二是直接将各个选项代入两个方程验证，快速排除错误选项得到答案，两种方法都符合要求。
【解析】
解法1：由$2x=6z$，两边同时除以2得$x=3z$；由$3y=6z$，两边同时除以3得$y=2z$。
将$x=3z$、$y=2z$代入$x+2y+z=16$，可得：
$3z + 2×2z + z = 16$
合并同类项得$8z=16$，解得$z=2$。
把$z=2$分别代入$x=3z$、$y=2z$，得$x=3×2=6$，$y=2×2=4$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=6 \\y=4 \\z=2 \end{cases}$。
解法2（代入排除法）：
将各选项代入$2x=3y=6z$验证：
A选项：$2×1=2$，$3×3=9$，$2≠9$，排除；
B选项：$2×6=12$，$3×3=9$，$12≠9$，排除；
C选项：$2×6=12$，$3×4=12$，$6×2=12$，满足$2x=3y=6z$，再代入第二个方程得$6+2×4+2=16$，符合要求；
D选项：$2×4=8$，$3×5=15$，$8≠15$，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组求解，代入消元法
【点评】
本题是三元一次方程组的基础考查题，针对连等形式的特殊方程，既可以用统一未知数后代入消元的常规方法求解，也可以用代入排除法快速得出结果，解题时注意计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
